Сфероид

Поверхность, образованная вращением эллипса

Сфероид , также известный как эллипсоид вращения или эллипсоид вращения , представляет собой квадратическую поверхность , полученную вращением эллипса вокруг одной из его главных осей; другими словами, эллипсоид с двумя равными полудиаметрами . Сфероид обладает круговой симметрией .

Если эллипс повернуть вокруг своей большой оси , в результате получится вытянутый сфероид , вытянутый, как мяч для регби . Американский футбол похож, но имеет более заостренный конец, чем сфероид. Если эллипс повернуть вокруг своей малой оси , в результате получится сплюснутый сфероид , сплющенный, как чечевица или простые конфеты M&M . Если образующий эллипс представляет собой круг, результатом является сфера .

Из-за совместного воздействия гравитации и вращения фигура Земли (и всех планет ) не совсем сфера, а слегка сплющена в направлении оси вращения. По этой причине в картографии и геодезии Землю часто аппроксимируют сплюснутым сфероидом, известным как опорный эллипсоид , а не сферой. Текущая модель Всемирной геодезической системы использует сфероид, радиус которого составляет 6 378,137 км (3 963,191 мили) на экваторе и 6 356,752 км (3 949,903 мили) на полюсах .

Слово сфероид первоначально означало «приблизительно сферическое тело», допускающее неровности даже за пределами двух- или трехосной эллипсоидной формы; именно так этот термин используется в некоторых старых статьях по геодезии (например, в отношении усеченных сферических гармонических расширений гравитационной геопотенциальной модели Земли ). ^[1]

Уравнение

Назначение полуосей на сфероиде. Он сплющен, если c < a (слева), и вытянут, если c > a (справа).

Уравнение трехосного эллипсоида с центром в начале координат и полуосями a , b и c , выровненными вдоль осей координат:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

Уравнение сфероида с z в качестве оси симметрии задается, полагая a = b :

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

Полуось а — это экваториальный радиус сфероида, а с — расстояние от центра до полюса по оси симметрии. Возможны два случая:

• c < a : сплюснутый сфероид
• c > a : вытянутый сфероид

Случай a = c сводится к сфере.

Характеристики

Область

Сплюснутый сфероид с c < a имеет площадь поверхности

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {arctanh} e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\qquad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}.}$

Сплющенный сфероид создается вращением вокруг оси z эллипса с большой полуосью a и малой полуосью c , поэтому e можно идентифицировать как эксцентриситет . (См. эллипс .) ^[2]

Вытянутый сфероид с c > a имеет площадь поверхности

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}$

Вытянутый сфероид создается вращением вокруг оси z эллипса с большой полуосью c и малой полуосью a ; следовательно, e снова можно идентифицировать как эксцентриситет . (См. эллипс .) ^[3]

Эти формулы идентичны в том смысле, что формулу для _сжатия S можно использовать для расчета площади поверхности вытянутого сфероида и наоборот. Однако тогда е становится мнимым и уже не может напрямую отождествляться с эксцентриситетом. Оба этих результата можно преобразовать во многие другие формы, используя стандартные математические тождества и отношения между параметрами эллипса.

Объем

Объем внутри сфероида (любого вида) равен

${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\approx 4.19a^{2}c.}$

Если A = 2a — экваториальный диаметр, а C = 2c — полярный диаметр, объём равен

${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}A^{2}C\approx 0.523A^{2}C.}$

Кривизна

Пусть сфероид параметризован как

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta ),}$

где β — приведенная широта или параметрическая широта , λ — долгота , и —π/2< β < +π/2и -π < λ < +π . Тогда гауссова кривизна сфероида равна

${\displaystyle K(\beta ,\lambda )={\frac {c^{2}}{\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{2}}},}$

а его средняя кривизна равна

${\displaystyle H(\beta ,\lambda )={\frac {c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)}{2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Обе эти кривизны всегда положительны, так что каждая точка сфероида имеет эллиптическую форму.

Соотношение сторон

Соотношение сторон сплюснутого сфероида/эллипса c  : a представляет собой отношение полярной и экваториальной длин, а уплощение ( также называемое сжатием) f — это отношение разницы экваториально-полярных длин к экваториальной длине:

${\displaystyle f={\frac {a-c}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.}$

Первый эксцентриситет (обычно просто эксцентриситет, как указано выше) часто используется вместо сплющивания. ^[4] Это определяется:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

Отношения между эксцентриситетом и уплощением таковы:

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\sqrt {2f-f^{2}}}\\f&=1-{\sqrt {1-e^{2}}}\end{aligned}}}$

Все современные геодезические эллипсоиды определяются большой полуосью плюс либо малой полуосью (определяющей соотношение сторон), либо уплощением, либо первым эксцентриситетом. Хотя эти определения математически взаимозаменяемы, реальные расчеты должны потерять некоторую точность. Чтобы избежать путаницы, эллипсоидное определение считает свои собственные значения точными в той форме, которую оно дает.

Приложения

Наиболее распространенными формами распределения плотности протонов и нейтронов в атомном ядре являются сферическая , вытянутая и сплющенная сфероидальная форма, где полярной осью считается ось вращения (или направление вектора углового момента вращения ). Деформированные формы ядер возникают в результате конкуренции между электромагнитным отталкиванием между протонами, поверхностным натяжением и эффектами квантовой оболочки .

Сплющенные сфероиды

Планета Юпитер представляет собой слегка сплюснутый сфероид с уплощением 0,06487.

Сплющенный сфероид — это приблизительная форма вращающихся планет и других небесных тел , включая Землю, Сатурн , Юпитер и быстро вращающуюся звезду Альтаир . Сатурн — самая сплюснутая планета Солнечной системы , сплюснутая на 0,09796. Подробности см. в разделе «Уплощение планет и экваториальная выпуклость» .

Ученый- просветитель Исаак Ньютон , опираясь на эксперименты Жана Ришера с маятником и теории Христиана Гюйгенса для их интерпретации, пришел к выводу, что Юпитер и Земля представляют собой сплюснутые сфероиды из-за их центробежной силы . ^{[5] [6]} Разнообразные картографические и геодезические системы Земли основаны на опорных эллипсоидах , все из которых имеют сплюснутую форму.

Вытянутые сфероиды

Мяч для регби .

Вытянутый сфероид — это приблизительная форма мяча в некоторых видах спорта, например, в мяче для регби .

Некоторые спутники Солнечной системы по форме напоминают вытянутые сфероиды, хотя на самом деле они представляют собой трехосные эллипсоиды . Примерами являются спутники Сатурна Мимас , Энцелад и Тефия , а также спутник Урана Миранда .

В отличие от искажения в сплюснутые сфероиды из-за быстрого вращения, небесные объекты слегка искажаются в вытянутые сфероиды из-за приливных сил , когда они вращаются вокруг массивного тела по близкой орбите. Самый крайний пример — спутник Юпитера Ио , который становится немного более или менее вытянутым на своей орбите из-за небольшого эксцентриситета, вызывающего интенсивный вулканизм . В этом случае главная ось вытянутого сфероида проходит не через полюса спутника, а через две точки на его экваторе, обращенные непосредственно к главному спутнику и от него. В сочетании с меньшим сжатием, вызванным синхронным вращением, это приводит к тому, что тело становится трехосным.

Этот термин также используется для описания формы некоторых туманностей , таких как Крабовидная туманность . ^[7] Зоны Френеля , используемые для анализа распространения волн и помех в космосе, представляют собой серию концентрических вытянутых сфероидов с главными осями, выровненными вдоль прямой видимости между передатчиком и приемником.

Атомные ядра актинидов и лантаноидов имеют форму вытянутых сфероидов . ^[8] В анатомии почти сфероидные органы, такие как яички, можно измерять по их длинной и короткой осям . ^[9]

Многие подводные лодки имеют форму, которую можно охарактеризовать как вытянутый сфероид. ^[10]

Динамические свойства

Для сфероида, имеющего однородную плотность, момент инерции такой же, как у эллипсоида с дополнительной осью симметрии. Учитывая описание сфероида как имеющего большую ось c и малые оси a = b , моменты инерции вдоль этих главных осей равны C , A и B. Однако в сфероиде малые оси симметричны. Следовательно, наши инерционные члены вдоль больших осей таковы: ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}A=B&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+c^{2}\right),\\C&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+b^{2}\right)={\tfrac {2}{5}}M\left(a^{2}\right),\end{aligned}}}$

где М — масса тела, определяемая как

${\displaystyle M={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\rho .}$

Смотрите также

• Эллипсоидный купол
• Экваториальная выпуклость
• Большой эллипс
• Чечевицеобразный
• Сплющенные сфероидальные координаты
• овоидный
• Вытянутые сфероидальные координаты
• Вращение осей
• Перевод осей

Рекомендации

1. Торге, Вольфганг (2001). Геодезия (3-е изд.). Вальтер де Грюйтер . п. 104. ИСБН 9783110170726.
2. Вывод этого результата можно найти в разделе «Сплюснутый сфероид - из Wolfram MathWorld». Mathworld.wolfram.com . Проверено 24 июня 2014 г.
3. Вывод этого результата можно найти в «Вытянутом сфероиде - из Wolfram MathWorld». Mathworld.wolfram.com. 7 октября 2003 г. Проверено 24 июня 2014 г.
4. Бриал П., Шаалан К. (2009), Введение в геодезию и геопозиционирование через спутники, стр.8
5. Гринбург, Джон Л. (1995). «Исаак Ньютон и проблема формы Земли». История точных наук . Спрингер. 49 (4): 371–391. дои : 10.1007/BF00374704. JSTOR  41134011. S2CID  121268606.
6. Дюрант, Уилл; Дюрант, Ариэль (28 июля 1997 г.). История цивилизации: эпоха Людовика XIV . Книги МДФ. ISBN 1567310192.
7. Тримбл, Вирджиния Луиза (октябрь 1973 г.), «Расстояние до Крабовидной туманности и NP 0532», Публикации Тихоокеанского астрономического общества , 85 (507): 579, Бибкод : 1973PASP...85..579T, doi : 10.1086/129507
8. «Деление ядра - Теория деления». Британская энциклопедия .
9. Страница 559 в: Джон Пеллерито, Джозеф Ф. Полак (2012). Введение в сосудистую ультрасонографию (6-е изд.). Elsevier Науки о здоровье. ISBN 9781455737666.
10. «Что общего между подводной лодкой, ракетой и футболом?» Научный американец . 8 ноября 2010 года . Проверено 13 июня 2015 г.
11. Вайсштейн, Эрик В. «Сфероид». MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 16 мая 2018 г.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные со сфероидами, на Викискладе?
• «Сфероид»  . Британская энциклопедия (11-е изд.). 1911.