Поверхность революции

Поверхность, созданная вращением кривой вокруг оси.

Часть кривой x = 2 + cos( z ) повернута вокруг оси z .

Тор как квадрат вращался вокруг оси по диагонали квадрата.

Поверхность вращения — это поверхность в евклидовом пространстве , созданная вращением кривой ( образующей ) на один полный оборот вокруг оси вращения (обычно не пересекающей образующую, за исключением ее конечных точек). ^[1] Объем, ограниченный поверхностью, созданной в результате этого вращения, является телом вращения .

Примерами поверхностей вращения, образуемых прямой линией, являются цилиндрические и конические поверхности в зависимости от того, параллельна ли линия оси или нет. Круг, вращающийся вокруг любого диаметра, порождает сферу, в которой он тогда является большим кругом , а если круг вращается вокруг оси, которая не пересекает внутреннюю часть круга, то он порождает тор , который не пересекает сам себя ( кольцевой тор ).

Характеристики

Сечения поверхности вращения, выполненные плоскостями, проходящими через ось, называются меридиональными сечениями . Любое меридиональное сечение можно рассматривать как образующую в плоскости, определяемой им и осью. ^[2]

Сечения поверхности вращения, образованные плоскостями, перпендикулярными оси, представляют собой окружности.

Некоторые частные случаи гиперболоидов (одно- или двухлистных) и эллиптических параболоидов представляют собой поверхности вращения. Их можно определить как квадратичные поверхности, все сечения которых , перпендикулярные оси, являются круглыми.

Формула площади

Если кривая описывается параметрическими функциями x ( t ) , y ( t ) , где t находится в пределах некоторого интервала [ a , b ] , а ось вращения - ось y , то площадь поверхности A _y задается интегралом _

${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,}$

при условии, что x ( t ) никогда не бывает отрицательным между конечными точками a и b . Эта формула является эквивалентом теоремы Паппа о центроиде . ^[3] Количество

${\displaystyle {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}}$

происходит из теоремы Пифагора и представляет собой небольшой сегмент дуги кривой, как в формуле длины дуги . Величина 2π x ( t ) — это путь (центр тяжести) этого небольшого отрезка, как того требует теорема Паппа.

Аналогично, когда осью вращения является ось x и при условии, что y ( t ) никогда не бывает отрицательным, площадь определяется выражением ^[4]

${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}$

Если непрерывная кривая описывается функцией y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b , то интеграл принимает вид

${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx}$

для вращения вокруг оси x , и

${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$

для вращения вокруг оси y (при условии a ≥ 0 ). Они берутся из приведенной выше формулы. ^[5]

Это также может быть получено путем многовариантной интеграции. Если задана плоская кривая, то соответствующая ей поверхность вращения при вращении вокруг оси x имеет декартовы координаты, заданные с . Тогда площадь поверхности определяется поверхностным интегралом ${\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle }$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$

${\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt}$.

Вычисление результатов частных производных

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\rangle }$,

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\rangle }$

и вычисляем доходность перекрестного произведения

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\rangle =y\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\rangle }$

где использовалось тригонометрическое тождество . Используя это векторное произведение, мы получаем ${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$

${\displaystyle A_{x}=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\rangle \right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt}$

${\displaystyle =\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt}$

где снова использовалось то же тригонометрическое тождество. Вывод для поверхности, полученной вращением вокруг оси y, аналогичен.

Например, сферическая поверхность с единичным радиусом генерируется кривой y ( t ) = sin( t ) , x ( t ) = cos( t ) , когда t находится в пределах [0,π] . Следовательно, его площадь

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}$

Для случая сферической кривой с радиусом r y ( x ) = √ r ² − x ^2, повернутой вокруг оси x .

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&{}=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}$

Минимальная поверхность вращения — это поверхность вращения кривой между двумя заданными точками, которая минимизирует площадь поверхности . ^[6] Основная проблема вариационного исчисления — найти кривую между двумя точками, которая образует минимальную поверхность вращения. ^[6]

Существует только две минимальные поверхности вращения ( поверхности вращения , которые также являются минимальными поверхностями): плоскость и катеноид . ^[7]

Координатные выражения

Поверхность вращения, заданная вращением кривой, описываемой вокруг оси x, проще всего может быть описана как . Это дает параметризацию в терминах и as . Если вместо этого мы вращаем кривую вокруг оси Y, то кривая описывается как , что дает выражение через параметры и . ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (x,f(x)\cos(\theta ),f(x)\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle y=f({\sqrt {x^{2}+z^{2}}})}$ ${\displaystyle (x\cos(\theta ),f(x),x\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$

Если x и y определены через параметр , то мы получаем параметризацию через и . Если и являются функциями , то поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси x, описывается , а поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси y, описывается . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (x(t),y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle (x(t)\cos(\theta ),y(t),x(t)\sin(\theta ))}$

Геодезика

Меридианы всегда являются геодезическими на поверхности вращения. Другие геодезические подчиняются соотношению Клеро . ^[8]

Тороиды

Тороид, созданный из квадрата

Поверхность вращения с отверстием, ось вращения которого не пересекает поверхность, называется тороидом. ^[9] Например, когда прямоугольник вращается вокруг оси, параллельной одному из его краев, получается полое кольцо квадратного сечения. Если вращающаяся фигура представляет собой круг , то объект называется тором .

Приложения

Использование поверхностей вращения имеет важное значение во многих областях физики и техники. Когда определенные объекты проектируются в цифровом формате, подобные обороты можно использовать для определения площади поверхности без измерения длины и радиуса проектируемого объекта.

Смотрите также

• Поверхность канала , обобщение поверхности вращения.
• Рог Габриэля
• Обобщенный геликоид
• Лимон (геометрия) , поверхность вращения дуги окружности
• Поверхность Лиувилля , еще одно обобщение поверхности вращения.
• Сфероид
• Поверхностный интеграл
• Поверхность перевода (дифференциальная геометрия)

Рекомендации

1. Миддлмисс; Метки; Умный. «15-4. Поверхности революции». Аналитическая геометрия (3-е изд.). п. 378. LCCN  68015472.
2. Уилсон, Вашингтон; Трейси, Дж.И. (1925), Аналитическая геометрия (пересмотренная редакция), DC Heath and Co., стр. 227
3. Томас, Джордж Б. «6.7: Площадь поверхности вращения; 6.11: Теоремы Паппа». Исчисление (3-е изд.). стр. 206–209, 217–219. LCCN  69016407.
4. Сингх, Р.Р. (1993). Инженерная математика (6-е изд.). Тата МакГроу-Хилл. п. 6.90. ISBN 0-07-014615-2.
5. Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Prindle, Weber & Schmidt, p. 617, ISBN 0-87150-341-7
6. Вайсштейн, Эрик В. «Минимальная поверхность революции». Математический мир .
7. Вайсштейн, Эрик В. «Катеноид». Математический мир .
8. Прессли, Эндрю. «Глава 9 – Геодезика». Элементарная дифференциальная геометрия , 2-е изд., Springer, Лондон, 2012, стр. 227–230.
9. Вайсштейн, Эрик В. «Тороид». Математический мир .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Поверхность революции». Математический мир .
• «Поверхность революции». Энциклопедия математических форм Remarquables (на французском языке).