Земной эллипсоид

Геометрическая фигура, приблизительно повторяющая форму Земли.

Масштабная диаграмма сжатия эталонного эллипсоида IERS 2003 года .

  Эллипс с таким же эксцентриситетом , как у Земли, с севером вверху.

 Круг диаметром, равным малой оси  эллипса.

  Линия Кармана , 100 км (62 мили) над уровнем моря.

  Высотный диапазон МКС на низкой околоземной орбите

Земной эллипсоид или земной сфероид — это математическая фигура, аппроксимирующая форму Земли , используемая в качестве системы отсчета для вычислений в геодезии , астрономии и науках о Земле . В качестве приближений использовались различные эллипсоиды .

Это сфероид (эллипсоид вращения ), малая ось которого (более короткий диаметр), соединяющая географические Северный и Южный полюса , примерно совмещена с осью вращения Земли. Эллипсоид определяется экваториальной осью ( а ) и полярной осью ( б ); их радиальная разность чуть больше 21 км, или 0,335% а ( что не совсем 6400 км).

Существует множество методов определения осей земного эллипсоида, от дуг меридианов до современной спутниковой геодезии или анализа и взаимосвязи континентальных геодезических сетей . Среди различных наборов данных, используемых в национальных исследованиях, есть несколько особо важных: эллипсоид Бесселя 1841 года, международный эллипсоид Хейфорда 1924 года и (для GPS- позиционирования) эллипсоид WGS84 .

Типы

Существует два типа эллипсоида: средний и опорный.

Набор данных, который описывает глобальное среднее значение кривизны поверхности Земли, называется средним земным эллипсоидом . Это относится к теоретической связи между географической широтой и меридиональной кривизной геоида . Последний близок к среднему уровню моря , и поэтому идеальный земной эллипсоид имеет тот же объем , что и геоид.

Хотя средний земной эллипсоид является идеальной основой глобальной геодезии, для региональных сетей лучшим выбором может быть так называемый опорный эллипсоид . ^[1] Когда геодезические измерения должны быть рассчитаны на математической эталонной поверхности, эта поверхность должна иметь такую ​​же кривизну, как и региональный геоид; в противном случае приведение измерений приведет к небольшим искажениям.

В этом причина «долгой жизни» прежних опорных эллипсоидов вроде эллипсоида Хейфорда или Бесселя , несмотря на то, что их главные оси отклоняются на несколько сотен метров от современных значений. Другая причина — судебная: координаты миллионов пограничных камней должны оставаться фиксированными в течение длительного периода. Если меняется их опорная поверхность, изменяются и сами координаты.

Однако для международных сетей, GPS- позиционирования или космонавтики эти региональные причины менее актуальны. Поскольку знания о фигуре Земли становятся все более точными, Международный геонаучный союз IUGG обычно адаптирует оси земного эллипсоида в соответствии с лучшими доступными данными.

Справочный эллипсоид

Сплющенная сфера

В геодезии опорный эллипсоид — это математически определенная поверхность, которая аппроксимирует геоид , который является более точной, несовершенной фигурой Земли или другого планетарного тела, в отличие от идеальной, гладкой и неизмененной сферы, которая учитывает волнистость поверхности. гравитация тел из-за изменений в составе и плотности внутренней части , а также последующее уплощение , вызванное центробежной силой от вращения этих массивных объектов (для планетарных тел, которые действительно вращаются). Из-за своей относительной простоты опорные эллипсоиды используются в качестве предпочтительной поверхности, на которой выполняются вычисления геодезической сети и определяются координаты точек, такие как широта , долгота и высота .

В контексте стандартизации и географических приложений геодезический опорный эллипсоид представляет собой математическую модель, используемую в качестве основы для пространственной системы отсчета или определений геодезических данных .

Параметры эллипсоида

В 1687 году Исаак Ньютон опубликовал « Начала» , в которые он включил доказательство того, что вращающееся самогравитирующее жидкое тело в равновесии принимает форму сплющенного («сплющенного») эллипсоида вращения, образованного эллипсом , вращающимся вокруг своего меньшего диаметра; форму, которую он назвал сплюснутым сфероидом . ^{[2] [3]}

В геофизике, геодезии и смежных областях слово «эллипсоид» понимается как «сплюснутый эллипсоид вращения», а более старый термин «сплюснутый сфероид» практически не используется. ^{[4] [5]} Для тел, которые не могут быть хорошо аппроксимированы эллипсоидом вращения, используется трехосный (или разносторонний) эллипсоид.

Форма эллипсоида вращения определяется параметрами формы этого эллипса . Большая полуось эллипса a становится экваториальным радиусом эллипсоида: малая полуось эллипса b ​​становится расстоянием от центра до любого полюса. Эти две длины полностью определяют форму эллипсоида.

Однако в геодезических публикациях обычно указывают большую полуось (экваториальный радиус) a и сплющивание f , определяемые как:

${\displaystyle f={\frac {a-b}{a}}.}$

То есть f — это степень сплющивания на каждом полюсе относительно радиуса на экваторе. Это часто выражается дробью 1/ m ; m = 1/ f тогда является «обратным сглаживанием». В геодезии используется множество других параметров эллипса , но все они могут быть связаны с одним или двумя наборами a , b и f .

В прошлом для моделирования Земли использовалось очень много эллипсоидов с разными предполагаемыми значениями a и b , а также с разными предполагаемыми положениями центра и различной ориентацией осей относительно твердой Земли. Начиная с конца двадцатого века, улучшенные измерения спутниковых орбит и положений звезд обеспечили чрезвычайно точные определения центра масс Земли и ее оси вращения; и эти параметры были приняты также для всех современных опорных эллипсоидов.

Эллипсоид WGS-84 , широко используемый для картографирования и спутниковой навигации , имеет f , близкую к 1/300 (точнее, 1/298,257223563 по определению), что соответствует разнице большой и малой полуосей примерно в 21 км (13 миль) (точнее, 21,3846857548205 км). Для сравнения, Луна Земли еще менее эллиптическая, с уплощением менее 1/825, в то время как Юпитер заметно сплюснут примерно на 1/15, а один из трехосных спутников Сатурна , Телесто , сильно сплюснут, с f от 1/3 до 1/15. 1/2 (это означает, что полярный диаметр составляет от 50% до 67% экваториального.

Определение

Измерение дуги — это исторический метод определения эллипсоида. Два измерения дуги меридиана позволят получить два параметра, необходимые для определения опорного эллипсоида . Например, если бы измерения гипотетически проводились точно над плоскостью экватора и над любым географическим полюсом, полученные таким образом радиусы кривизны были бы связаны с экваториальным радиусом и полярным радиусом, соответственно a и b (см.: Полярный и экваториальный радиус Земли кривизна ). Тогда сглаживание будет легко следовать из его определения:

${\displaystyle f=(a-b)/a}$.

Для двух дуговых измерений, каждое на произвольных средних широтах , решение начинается с начального приближения для экваториального радиуса и уплощения . Теоретический меридиональный радиус кривизны Земли можно рассчитать на широте каждого измерения дуги как: ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle i=1,\,2}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}(\varphi _{i})}$

${\displaystyle M_{0}(\varphi _{i})={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e_{0}^{2}\sin ^{2}\varphi _{i})^{\frac {3}{2}}}}}$

где . ^[6] Тогда расхождения между эмпирическими и теоретическими значениями радиуса кривизны могут быть сформированы как . Наконец, поправки на начальный экваториальный радиус и уплощение могут быть решены с помощью системы линейных уравнений, сформулированной путем линеаризации : [ ^7] ${\displaystyle e_{0}^{2}=2f_{0}-f_{0}^{2}}$ ${\displaystyle \delta M_{i}=M_{i}-M_{0}(\varphi _{i})}$ ${\displaystyle \delta a}$ ${\displaystyle \delta f}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \delta M_{i}\approx \delta a(\partial M/\partial a)+\delta f(\partial M/\partial f)}$

где частные производные: ^[7]

${\displaystyle \partial M/\partial a\approx 1}$

${\displaystyle \partial M/\partial f\approx -2a_{0}(1-1.5\sin ^{2}\varphi _{i})}$

Более длинные дуги с несколькими определениями промежуточных широт могут полностью определить эллипсоид, который лучше всего соответствует исследуемому региону. На практике для определения параметров эллипсоида методом наименьших квадратов используются многократные дуговые измерения . Определяемыми параметрами обычно являются большая полуось , и любая из малых полуосей , сплющивание или эксцентриситет. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Систематические эффекты регионального масштаба , наблюдаемые в радиусе измерений кривизны, отражают волнистость геоида и отклонение вертикали , как это было исследовано при астрогеодезическом нивелировании .

Гравиметрия — еще один метод определения уплощения Земли согласно теореме Клеро .

Современная геодезия больше не использует простые дуги меридианов или сети наземной триангуляции, а использует методы спутниковой геодезии , особенно спутниковую гравиметрию .

Геодезические координаты

Геодезические координаты P( ɸ , λ , h )

Геодезические координаты — это тип криволинейной ортогональной системы координат , используемой в геодезии на основе опорного эллипсоида . Они включают геодезическую широту (север/юг) φ , долготу (восток/запад) λ и эллипсоидную высоту h (также известную как геодезическая высота ^[8] ).

Триада также известна как эллипсоидные координаты Земли ^[9] (не путать с эллипсоидально-гармоническими координатами или эллипсоидными координатами ).

Исторические земные эллипсоиды

Экваториальный ( а ), полярный ( б ) и средний радиусы Земли, как они определены в редакции Всемирной геодезической системы 1984 года (не в масштабе)

Перечисленные ниже модели опорных эллипсоидов пригодились в геодезических работах, и многие из них используются до сих пор. Старые эллипсоиды названы в честь человека, который их создал, и указан год их разработки. В 1887 году английский геодезист полковник Александр Росс Кларк CB FRS RE был награжден Золотой медалью Королевского общества за работу по определению фигуры Земли. Международный эллипсоид был разработан Джоном Филлмором Хейфордом в 1910 году и принят Международным союзом геодезии и геофизики (IUGG) в 1924 году, который рекомендовал его для международного использования.

На заседании IUGG 1967 года, проходившем в Люцерне, Швейцария, эллипсоид под названием GRS-67 ( Геодезическая система отсчета 1967 года) был рекомендован к принятию. Новый эллипсоид не рекомендовался для замены Международного эллипсоида (1924 г.), но предлагался для использования там, где требуется более высокая степень точности. Он стал частью ГРС-67, которая была одобрена и принята на заседании IUGG в Москве в 1971 году. Он используется в Австралии для австралийских геодезических данных и в южноамериканских датумах 1969 года.

GRS-80 (Геодезическая справочная система 1980 г.), одобренная и принятая IUGG на встрече в Канберре, Австралия, в 1979 г., основана на экваториальном радиусе (большой полуоси земного эллипсоида), общей массе , динамическом форм-факторе и угловой скорости. вращения , что делает обратное сглаживание производной величиной. Незначительная разница между GRS-80 и WGS-84 является результатом непреднамеренного усечения определяющих констант последнего: в то время как WGS-84 был разработан так, чтобы максимально соответствовать GRS-80, случайно полученное из WGS-84 сглаживание оказалось немного отличаются от уплощения GRS-80, поскольку нормализованный коэффициент зональной гармоники второй степени, полученный из значения GRS-80 для , был усечен до восьми значащих цифр в процессе нормализации. ^[10] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle GM}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle J_{2}}$

Эллипсоидальная модель описывает только геометрию эллипсоида и соответствующую ей формулу нормального гравитационного поля. Обычно эллипсоидная модель является частью более обширной геодезической базы данных . Например, более старый ED-50 ( Европейский датум 1950 года ) основан на Хейфордском или международном эллипсоиде . WGS-84 отличается тем, что одно и то же имя используется как для полной геодезической системы отсчета, так и для ее составной эллипсоидной модели. Тем не менее, две концепции – эллипсоидальная модель и геодезическая система отсчета – остаются разными.

Обратите внимание, что один и тот же эллипсоид может иметь разные названия. Для однозначной идентификации лучше всего упомянуть определяющие константы.

Смотрите также

• Экваториальная выпуклость
• Радиус кривизны Земли
• Геодезические данные
• Большой эллипс
• Меридианная дуга
• Нормальная гравитация
• Планетарная система координат
• История геодезии
• Планетарный эллипсоид

Рекомендации

1. Александр, JC (1985). «Численные вычисления геодезических эллипсоидов». Обзор СИАМ . 27 (2): 241–247. Бибкод : 1985SIAMR..27..241A. дои : 10.1137/1027056.
2. Хейне, Джордж (сентябрь 2013 г.). «Эйлер и уплощение Земли». Математические горизонты . 21 (1): 25–29. дои : 10.4169/mathhorizons.21.1.25. S2CID  126412032.
3. Чой, Чарльз К. (12 апреля 2007 г.). «Странно, но факт: Земля не круглая». Научный американец . Проверено 4 мая 2021 г.
4. Торге, W (2001) Геодезия (3-е издание), опубликовано де Грюйтером, ISBN 3-11-017072-8 
5. Снайдер, Джон П. (1993). Выравнивание Земли: две тысячи лет картографических проекций . Издательство Чикагского университета. п. 82. ИСБН 0-226-76747-7.
6. Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции — Рабочее руководство . Профессиональный документ USGS 1395. Вашингтон, округ Колумбия: Государственная типография. п. 17.
7. Бомфорд, Г. (1952). Геодезия .
8. Национальная геодезическая служба (США) .; Национальная геодезическая служба (США) (1986). Геодезический словарь. Технические публикации NOAA. Министерство торговли США, Национальное управление океанических и атмосферных исследований, Национальная океаническая служба, картографическая и геодезическая службы. п. 107 . Проверено 24 октября 2021 г.
9. Аванж, JL; Графаренд, EW; Паланц, Б.; Залетник, П. (2010). Алгебраическая геодезия и геоинформатика. Шпрингер Берлин Гейдельберг. п. 156. ИСБН 978-3-642-12124-1. Проверено 24 октября 2021 г.
10. Технический отчет NIMA TR8350.2, «Мировая геодезическая система Министерства обороны 1984 г., ее определение и связь с местными геодезическими системами», третье издание, 4 июля 1997 г. [1]
11. Обратите внимание, что текущие лучшие оценки, данные Конвенциями IERS, «не следует путать с традиционными значениями, такими как значения Геодезической базовой системы GRS80 ... которые, например, используются для выражения географических координат» (глава .1); обратите внимание также, что «решения ITRF задаются декартовыми экваториальными координатами X, Y и Z. При необходимости они могут быть преобразованы в географические координаты (λ, φ, h), относящиеся к эллипсоиду. В этом случае рекомендуется эллипсоид GRS80». (гл. 4).
12. IERS Conventions (2003). Архивировано 19 апреля 2014 г. в Wayback Machine (глава 1, стр. 12).

Библиография

• П.К. Зайдельманн (председатель) и др. (2005), «Отчет рабочей группы IAU/IAG по картографическим координатам и элементам вращения: 2003», « Небесная механика и динамическая астрономия» , 91, стр. 203–215.
  • Веб-адрес: https://astrogeology.usgs.gov/Projects/WGCCRE.
• Спецификация реализации OpenGIS для географической информации – Простой доступ к функциям – Часть 1: Общая архитектура , Приложение B.4. 2005-11-30
  • Веб-адрес: http://www.opengeospatial.org.

Внешние ссылки

• Географическая система координат
• Системы координат и преобразования ( страница помощи SPENVIS )
• Системы координат, рамки и базы данных