Гидростатическое равновесие

Состояние баланса между внешними силами, действующими на жидкость, и градиентом внутреннего давления.

Схема вновь образовавшейся планеты в состоянии гидростатического равновесия.

В механике жидкости гидростатическое равновесие ( гидростатический баланс , гидростазия ) — это состояние жидкости или пластического твердого тела в состоянии покоя, которое возникает, когда внешние силы, такие как гравитация , уравновешиваются силой градиента давления . ^[1] В планетарной физике Земли сила градиента давления не позволяет гравитации схлопнуть планетарную атмосферу в тонкую, плотную оболочку, тогда как гравитация предотвращает диффузию силы градиента давления в космическое пространство . ^{[2] [3]} В общем, именно это заставляет объекты в космосе иметь сферическую форму.

Гидростатическое равновесие является отличительным критерием между карликовыми планетами и малыми телами Солнечной системы , а также особенностями астрофизики и планетарной геологии . Указанная характеристика равновесия указывает на то, что форма объекта симметрично округлена, главным образом из-за вращения , в эллипсоид , где любые неровные особенности поверхности являются следствием относительно тонкой твердой корки . Помимо Солнца, существует около дюжины равновесных объектов, существование которых подтверждено в Солнечной системе .

Математическое рассмотрение

Если выделенный объем жидкости не ускоряется, силы, действующие на него вверх, должны равняться силам, направленным вниз.

Для гидростатической жидкости на Земле:

$${\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}$$

Вывод из суммирования сил

Законы движения Ньютона гласят, что объем жидкости, который не находится в движении или находится в состоянии постоянной скорости, должен иметь нулевую результирующую силу. Это означает, что сумме сил в данном направлении должна противодействовать равная сумма сил в противоположном направлении. Этот баланс сил называется гидростатическим равновесием.

Жидкость можно разделить на большое количество элементов кубовидного объема; рассматривая один элемент, можно определить действие жидкости.

Существует три силы: сила, направленная вниз на вершину кубоида от давления P жидкости над ним, согласно определению давления ,

$${\displaystyle F_{\text{top}}=-P_{\text{top}}A}$$

$${\displaystyle F_{\text{bottom}}=P_{\text{bottom}}A}$$

Наконец, вес элемента объема вызывает силу, направленную вниз. Если плотность равна ρ, объем равен V и g — стандартная сила тяжести , то:

$${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gV}$$

$${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gAh}$$

Уравновешивая эти силы, общая сила, действующая на жидкость, равна

$${\displaystyle \sum F=F_{\text{bottom}}+F_{\text{top}}+F_{\text{weight}}=P_{\text{bottom}}A-P_{\text{top}}A-\rho gAh}$$

$${\displaystyle 0=P_{\text{bottom}}-P_{\text{top}}-\rho gh}$$

$${\displaystyle P_{\text{top}}-P_{\text{bottom}}=-\rho gh}$$

P _верхP _низhбесконечнодифференциальной

$${\displaystyle dP=-\rho g\,dh}$$

$${\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}$$

Вывод из уравнений Навье – Стокса.

Наконец, отметим, что это последнее уравнение можно получить путем решения трехмерных уравнений Навье – Стокса для ситуации равновесия, где

$${\displaystyle u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0}$$

${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0}$$

Вывод из общей теории относительности

Подставив тензор энергии-импульса для идеальной жидкости

$${\displaystyle T^{\mu \nu }=\left(\rho c^{-2}+P\right)u^{\mu }u^{\nu }+Pg^{\mu \nu }}$$

уравнения поля Эйнштейна

$${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)}$$

$${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$$

уравнение Толмана-Оппенгеймера-Волкова

$${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}}$$

ΡρfΡρfMrρrr

$${\displaystyle M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'\,r'^{2}\rho (r').}$$

c

$${\displaystyle \left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}\rightarrow 1}$$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}=-g(r)\,\rho (r)\longrightarrow dP=-\rho (h)\,g(h)\,dh}$$

hrfPρρP^[4]

$${\displaystyle {\frac {\partial _{i}P}{P+\rho }}-\partial _{i}\ln u^{t}+u_{t}u^{\varphi }\partial _{i}{\frac {u_{\varphi }}{u_{t}}}=0}$$

ir ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \theta }$

Приложения

Жидкости

Гидростатическое равновесие относится к гидростатике и принципам равновесия жидкостей . Гидростатические весы – это особые весы для взвешивания веществ в воде. Гидростатический баланс позволяет обнаружить их удельный вес . Это равновесие строго применимо, когда идеальная жидкость находится в устойчивом горизонтальном ламинарном потоке, а также когда любая жидкость покоится или движется вертикально с постоянной скоростью. Это также может быть удовлетворительным приближением, когда скорости потока настолько малы, что ускорение незначительно.

Астрофизика и планетология

Со времен Исаака Ньютона было проделано много работ по вопросу равновесия, достигаемого при вращении жидкости в пространстве. Это применимо как к звездам, так и к таким объектам, как планеты, которые в прошлом могли быть жидкими или твердый материал которых деформируется, как жидкость, под воздействием очень высоких напряжений. В любом слое звезды существует гидростатическое равновесие между градиентом давления, выталкивающим наружу, и весом материала, находящегося над ним, давящего внутрь. Можно также изучать планеты в предположении гидростатического равновесия. Вращающаяся звезда или планета, находящаяся в гидростатическом равновесии, обычно представляет собой сплюснутый сфероид , то есть эллипсоид , у которого две главные оси равны и длиннее третьей. Примером такого явления является звезда Вега , период вращения которой составляет 12,5 часов. Следовательно, Вега на экваторе примерно на 20% больше, чем от полюса к полюсу.

В своей «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» 1687 года Ньютон правильно заявил, что вращающаяся жидкость однородной плотности под действием силы тяжести примет форму сфероида и что гравитация (включая действие центробежной силы ) будет слабее на экваторе, чем на экваторе. полюсов на величину, равную (по крайней мере асимптотически ) пяти четвертям центробежной силы на экваторе. ^[5] В 1742 году Колен Маклорен опубликовал свой трактат о флюксиях, в котором показал, что сфероид является точным решением. Если обозначить экваториальный радиус полярным радиусом и эксцентриситет через ${\displaystyle r_{e},}$ ${\displaystyle r_{p},}$ ${\displaystyle \epsilon ,}$

${\displaystyle \epsilon ={\sqrt {1-r_{p}^{2}/r_{e}^{2}}},}$

он обнаружил, что сила тяжести на полюсах равна ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}&=4\pi {\frac {r_{p}}{r_{e}}}{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}}}G\rho \\&=3{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

где – гравитационная постоянная, – (однородная) плотность и – полная масса. Отношение этого к силе тяжести, если жидкость не вращается, асимптотически равно ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{0},}$

${\displaystyle g_{p}/g_{0}\sim 1+{\frac {1}{15}}\epsilon ^{2}\sim 1+{\frac {2}{15}}f}$

как стремится к нулю, где сглаживание: ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f={\frac {r_{e}-r_{p}}{r_{e}}}.}$

Гравитационное притяжение на экваторе (без учета центробежной силы) равно

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{e}&={\frac {3}{2}}\left({\frac {1}{r_{e}r_{p}}}-{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{2}r_{p}}}\right)GM\\&={\frac {3}{2}}{\frac {r_{e}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})-\epsilon r_{p}}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

Асимптотически имеем:

${\displaystyle g_{e}/g_{0}\sim 1-{\frac {1}{30}}\epsilon ^{2}\sim 1-{\frac {1}{15}}f}$

Маклорен показал (еще в случае однородной плотности), что составляющая силы тяжести по направлению к оси вращения зависела только от расстояния от оси и пропорциональна этому расстоянию, а составляющая по направлению к плоскости экватора зависела только на расстоянии от этой плоскости и был пропорционален этому расстоянию. Ньютон уже указывал, что сила тяжести, ощущаемая на экваторе (включая облегчение, вызванное центробежной силой), должна быть такой же, чтобы иметь одинаковое давление на дне каналов от полюса или от экватора к центру, поэтому центробежная сила сила на экваторе должна быть ${\displaystyle {\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}}$

${\displaystyle g_{e}-{\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}\sim {\frac {2}{5}}\epsilon ^{2}g_{e}\sim {\frac {4}{5}}fg_{e}.}$

Если определить широту как угол между касательной к меридиану и осью вращения, то общая сила тяжести, ощущаемая на широте (включая эффект центробежной силы), равна ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle g(\phi )={\frac {g_{p}(1-f)}{\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi }}}.}$

Это сфероидное решение стабильно до определенного (критического) углового момента (нормированного на ), но в 1834 году Карл Якоби показал, что оно становится неустойчивым, когда эксцентриситет достигает 0,81267 (или достигает 0,3302). Выше критического значения решение становится якобиевым или разносторонним эллипсоидом (у которого все три оси различны). Анри Пуанкаре в 1885 году обнаружил, что при еще большем угловом моменте он будет уже не эллипсоидным, а грушевидным или яйцевидным . Симметрия снижается от 8-кратной точечной группы D _2h до 4-кратной C _2v , ось которой перпендикулярна оси вращения. ^[7] Другие формы удовлетворяют дополнительным уравнениям, но не являются стабильными, по крайней мере, не вблизи точки бифуркации . ^{[7] [8]} Пуанкаре не был уверен, что произойдет при более высоком угловом моменте, но пришел к выводу, что в конечном итоге капля разделится на две части. ${\displaystyle M{\sqrt {G\rho r_{e}}}}$ ${\displaystyle f}$

Предположение об однородной плотности может более или менее применяться к расплавленной планете или каменистой планете, но не применимо к звезде или планете вроде Земли, имеющей плотное металлическое ядро. В 1737 году Алексис Клеро изучил случай изменения плотности с глубиной. ^[9] Теорема Клеро утверждает, что изменение силы тяжести (включая центробежную силу) пропорционально квадрату синуса широты, причем пропорциональность линейно зависит от уплощения ( ) и отношения на экваторе центробежной силы к гравитационной. Привлечение. (Сравните с точным соотношением, приведенным выше для случая однородной плотности.) Теорема Клеро представляет собой для сплюснутого сфероида частный случай связи, обнаруженной позже Пьером -Симоном Лапласом между формой и изменением силы тяжести. ^[10] ${\displaystyle f}$

Если у звезды есть массивный соседний объект-спутник, тогда в игру вступают и приливные силы , искажающие звезду, придавая ей разностороннюю форму, тогда как одно лишь вращение могло бы сделать ее сфероидом. Примером этого является Бета Лиры .

Гидростатическое равновесие также важно для внутрископительной среды , где оно ограничивает количество жидкости, которая может присутствовать в ядре скопления галактик .

Мы также можем использовать принцип гидростатического равновесия для оценки дисперсии скоростей темной материи в скоплениях галактик. Только барионная материя (вернее, ее столкновения) излучает рентгеновское излучение. Абсолютная рентгеновская светимость на единицу объема принимает вид где и – температура и плотность барионной материи и является некоторой функцией температуры и фундаментальных констант. Барионная плотность удовлетворяет приведенному выше уравнению : ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=\Lambda (T_{B})\rho _{B}^{2}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle \rho _{B}}$ ${\displaystyle \Lambda (T)}$ ${\displaystyle dP=-\rho g\,dr}$

$${\displaystyle p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$

закон идеального газапостоянная Больцмана ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p_{B}=kT_{B}\rho _{B}/m_{B}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m_{B}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)=-{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$

${\displaystyle r^{2}/\rho _{B}(r)}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{B}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$

${\displaystyle \rho _{D}=\rho _{M}-\rho _{B}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{D}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{D}(r)\rho _{D}(r)}{m_{D}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$

${\displaystyle \sigma _{D}^{2}}$

$${\displaystyle \sigma _{D}^{2}={\frac {kT_{D}}{m_{D}}}.}$$

красного смещения ${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right)^{3/2}}$$

^[11] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$

Планетарная геология

Концепция гидростатического равновесия также стала важной при определении того, является ли астрономический объект планетой , карликовой планетой или малым телом Солнечной системы . Согласно определению планеты, принятому Международным астрономическим союзом в 2006 году, одной из определяющих характеристик планет и карликовых планет является то, что они представляют собой объекты, обладающие достаточной гравитацией, чтобы преодолеть собственную жесткость и принять гидростатическое равновесие. Такое тело часто будет иметь дифференцированную внутреннюю часть и геологию мира (планемо ) , хотя почти гидростатические или ранее гидростатические тела, такие как протопланета 4 Веста , также могут быть дифференцированы, а некоторые гидростатические тела (особенно Каллисто ) еще не полностью дифференцированы с момента их образования. Часто равновесная форма представляет собой сплюснутый сфероид , как в случае с Землей. Однако в случае спутников, находящихся на синхронной орбите, почти однонаправленные приливные силы создают разносторонний эллипсоид . Кроме того, предполагаемая карликовая планета Хаумеа является разносторонней из-за ее быстрого вращения, хотя в настоящее время она, возможно, не находится в равновесии.

Ранее считалось, что ледяным объектам для достижения гидростатического равновесия требуется меньшая масса, чем каменистым объектам. Самый маленький объект, имеющий, по-видимому, равновесную форму, — это ледяной спутник Мимас на высоте 396 км, тогда как самый большой ледяной объект, имеющий явно неравновесную форму, — это ледяной спутник Протей на высоте 420 км, а самые крупные скалистые тела явно неравновесной формы. неравновесной формой обладают астероиды Паллада и Веста на высоте около 520 км. Однако Мимас на самом деле не находится в гидростатическом равновесии при своем нынешнем вращении. Самым маленьким телом, находящимся в гидростатическом равновесии, является карликовая планета Церера , ледяная, высотой 945 км, тогда как самым большим известным телом, имеющим заметное отклонение от гидростатического равновесия, является Япет , состоящий в основном из проницаемого льда и почти не содержащего камней. ^[12] На высоте 1469 км Япет не имеет ни сферической, ни эллипсоидной формы. Вместо этого он имеет странную форму, напоминающую грецкий орех, из-за своего уникального экваториального хребта . ^[13] Некоторые ледяные тела могут находиться в равновесии, по крайней мере частично, из-за подземного океана, что не является определением равновесия, используемым МАС (гравитация преодолевает внутренние силы твердого тела). Даже более крупные тела отклоняются от гидростатического равновесия, хотя и имеют эллипсоидную форму: примерами являются земная Луна на высоте 3474 км (в основном каменная) ^[14] и планета Меркурий на высоте 4880 км (в основном металлическая). ^[15]

Твердые тела имеют неровную поверхность, но локальные неровности могут соответствовать глобальному равновесию. Например, массивное основание самой высокой горы на Земле, Мауна-Кеа , деформировало и понизило уровень окружающей коры, так что общее распределение массы приближается к равновесию.

Моделирование атмосферы

В атмосфере давление воздуха уменьшается с увеличением высоты. Эта разница давлений вызывает направленную вверх силу, называемую силой градиента давления . Сила гравитации уравновешивает это, удерживая атмосферу связанной с Землей и поддерживая разницу давления с высотой.

геммология

Геммологи используют гидростатические весы для определения удельного веса драгоценных камней. Геммолог может сравнить наблюдаемый удельный вес с помощью гидростатических весов со стандартизированным каталогом информации о драгоценных камнях, что помогает ему определить идентичность или тип исследуемого драгоценного камня.

Смотрите также

• Список гравитационно-округлённых объектов Солнечной системы ; список объектов, которые имеют округлую эллипсоидную форму из-за собственной гравитации (но не обязательно находятся в гидростатическом равновесии)
• Статика
• Эксперимент с двумя шариками

Рекомендации

1. Уайт, Фрэнк М. (2008). «Распределение давления в жидкости». Механика жидкости . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 63, 66. ISBN. 978-0-07-128645-9.
2. Валлис, Джеффри К. (6 ноября 2006 г.). Гидродинамика атмосферы и океана: основы и крупномасштабная циркуляция. ISBN 9781139459969.
3. Клингер, Барри А.; Хейн, Томас В.Н. (14 марта 2019 г.). Циркуляция океана в трех измерениях. ISBN 9780521768436.
4. Зи, А. (2013). Коротко о гравитации Эйнштейна . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 451–454. ISBN 9780691145587.
5. Предложения X-XXIV (Движения небесных тел и моря), Предложения XIX и XX. Оригинальная латынь.
6. Колин Маклорен (1742). Трактат о флюксиях (PDF) . п. 125.Маклорен не использует современные обозначения, а представляет свои результаты в геометрических терминах. Результаты тяжести приведены в статье 646. В какой-то момент он делает ошибочное заявление, эквивалентное, но его последующие заявления верны. ${\displaystyle d(\tan \theta -\theta )/d\tan \theta =\tan ^{2}\theta }$
7. Анри Пуанкаре (1885). «Формы равновесия жидкой массы во вращении». Revue Général des Sceince Pures et Appliquées .
8. «Галерея: Форма планеты Земля». Josleys.com . Проверено 15 июня 2014 г.
9. Клеро, Алексис; Колсон, Джон (1737). «Исследование о фигуре таких планет, которые вращаются вокруг оси, предполагая, что плотность постоянно меняется от центра к поверхности». Философские труды . JSTOR  103921.
10. См. сэра Джорджа Стоукса (1849). «О притяжениях и теореме Клеро» (PDF) . Кембриджский и Дублинский математический журнал : 194–219.
11. Вайнберг, Стивен (2008). Космология . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 70–71. ISBN 978-0-19-852682-7.
12. Томас, ПК (июль 2010 г.). «Размеры, формы и дополнительные свойства спутников Сатурна после номинальной миссии Кассини» (PDF) . Икар . 208 (1): 395–401. Бибкод : 2010Icar..208..395T. дои : 10.1016/j.icarus.2010.01.025. Архивировано из оригинала (PDF) 23 декабря 2018 года.
13. Кастильо-Рогез, JC; Мэтсон, Д.Л.; Сотин, К.; Джонсон, ТВ; Лунин, Джонатан И.; Томас, ПК (2007). «Геофизика Япета: скорость вращения, форма и экваториальный хребет». Икар . 190 (1): 179–202. Бибкод : 2007Icar..190..179C. дои : 10.1016/j.icarus.2007.02.018.
14. Гаррик-Бетелл, И.; Мудрость, Дж; Зубер, МТ (4 августа 2006 г.). «Доказательства существования лунной орбиты с высоким эксцентриситетом в прошлом». Наука . 313 (5787): 652–655. Бибкод : 2006Sci...313..652G. дои : 10.1126/science.1128237. PMID  16888135. S2CID  317360.
15. Шон Соломон, Ларри Ниттлер и Брайан Андерсон, ред. (2018) Меркурий: Вид после MESSENGER . Кембриджская серия по планетарной науке, №. 21, Издательство Кембриджского университета, стр. 72–73.

Внешние ссылки

• Стробель, Ник. (май 2001 г.). Астрономические заметки Ника Стробела.
• Демонстрация на YouTube Ричарда Погге, Университет штата Огайо, факультет астрономии.