Теория бифуркации

Исследование внезапных качественных изменений поведения, вызванных небольшими изменениями параметров.

Фазовый портрет, показывающий бифуркацию седло-узла.

Теория бифуркаций — математическое исследование изменений качественной или топологической структуры данного семейства кривых , например интегральных кривых семейства векторных полей и решений семейства дифференциальных уравнений . Бифуркация, чаще всего применяемая к математическому исследованию динамических систем , возникает, когда небольшое плавное изменение значений параметров (параметров бифуркации) системы вызывает внезапное «качественное» или топологическое изменение в ее поведении. ^[1] Бифуркации происходят как в непрерывных системах (описываемых обыкновенными уравнениями , уравнениями с запаздыванием или в частных производных), так и в дискретных системах (описываемых отображениями).

Название «бифуркация» было впервые введено Анри Пуанкаре в 1885 году в первой математической статье, показывающей такое поведение. ^[2]

Типы бифуркаций

Полезно разделить бифуркации на два основных класса:

• Локальные бифуркации, которые можно полностью анализировать через изменения свойств локальной устойчивости равновесий , периодических орбит или других инвариантных множеств, когда параметры пересекают критические пороги; и
• Глобальные бифуркации, которые часто возникают, когда более крупные инвариантные множества системы «столкаются» друг с другом или с состояниями равновесия системы. Их нельзя обнаружить только путем анализа устойчивости равновесий (неподвижных точек).

Локальные бифуркации

Бифуркации сокращения периода вдвое (L), ведущие к порядку, за которыми следуют бифуркации удвоения периода (R), ведущие к хаосу.

Локальная бифуркация возникает, когда изменение параметра приводит к изменению устойчивости равновесия (или фиксированной точки). В непрерывных системах это соответствует действительной части собственного значения равновесия, проходящей через ноль. В дискретных системах (описываемых отображениями) это соответствует неподвижной точке, имеющей множитель Флоке с модулем, равным единице. В обоих случаях равновесие в точке бифуркации негиперболическое . Топологические изменения фазового портрета системы можно ограничить сколь угодно малыми окрестностями бифуркационных неподвижных точек, переместив параметр бифуркации близко к точке бифуркации (следовательно, «локально»).

С технической точки зрения рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,\lambda )\quad f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}.}$

Локальная бифуркация возникает при , если матрица Якобиана имеет собственное значение с нулевой вещественной частью. Если собственное значение равно нулю, бифуркация является бифуркацией установившегося состояния, но если собственное значение ненулевое, но чисто мнимое, это бифуркация Хопфа . ${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$ ${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$

Для дискретных динамических систем рассмотрим систему

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n},\lambda )\,.}$

Тогда локальная бифуркация происходит при, если матрица имеет собственное значение с модулем, равным единице. Если собственное значение равно единице, бифуркация представляет собой либо седловидный узел (часто называемый бифуркацией складки в картах), либо транскритическую бифуркацию, либо бифуркацию в виде вил. Если собственное значение равно -1, это бифуркация удвоения периода (или флип), в противном случае это бифуркация Хопфа. ${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$ ${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$

Примеры локальных бифуркаций включают в себя:

• Седло-узловая (складка) бифуркация
• Транскритическая бифуркация
• Развилка вил
• Бифуркация удвоения периода (флип)
• бифуркация Хопфа
• Бифуркация Неймарка – Сакера (вторичная бифуркация Хопфа)

Глобальные бифуркации

Фазовый портрет до, во время и после гомоклинической бифуркации в 2D. Периодическая орбита растет до тех пор, пока не столкнется с седловой точкой. В точке бифуркации период периодической орбиты вырос до бесконечности и она стала гомоклинической орбитой . После бифуркации периодическая орбита больше не существует. Левая панель : для малых значений параметров имеется седловая точка в начале координат и предельный цикл в первом квадранте. Средняя панель : по мере увеличения параметра бифуркации предельный цикл увеличивается до тех пор, пока не достигнет точного пересечения седловой точки, образуя орбиту бесконечной продолжительности. Правая панель : При дальнейшем увеличении параметра бифуркации предельный цикл полностью исчезает.

Глобальные бифуркации происходят, когда «большие» инвариантные множества, такие как периодические орбиты, сталкиваются с состояниями равновесия. Это вызывает изменения топологии траекторий в фазовом пространстве, которые не могут быть ограничены малой окрестностью, как в случае локальных бифуркаций. Фактически изменения топологии распространяются на сколь угодно большие расстояния (отсюда и «глобальные»).

Примеры глобальных бифуркаций включают в себя:

• Гомоклиническая бифуркация , при которой предельный цикл сталкивается с седловой точкой . ^[3] Гомоклинические бифуркации могут возникать как в сверхкритическом, так и в субкритическом состоянии. Вышеупомянутый вариант представляет собой гомоклиническую бифуркацию «маленькой» или «типа I». В 2D существует также «большая» или «типа II» гомоклиническая бифуркация, в которой гомоклиническая орбита «захватывает» другие концы неустойчивого и устойчивого многообразий седла. В трех или более измерениях могут возникать бифуркации более высоких коразмерностей, создавая сложную, возможно, хаотическую динамику.
• Гетероклиническая бифуркация , при которой предельный цикл сталкивается с двумя или более седловыми точками; они включают гетероклинический цикл . ^[4] Гетероклинические бифуркации бывают двух типов: резонансные бифуркации и поперечные бифуркации. Оба типа бифуркации приведут к изменению устойчивости гетероклинического цикла. При резонансной бифуркации устойчивость цикла меняется, когда выполняется алгебраическое условие на собственные значения равновесий в цикле. Обычно это сопровождается рождением или смертью периодической орбиты . Поперечная бифуркация гетероклинического цикла возникает, когда действительная часть поперечного собственного значения одного из состояний равновесия в цикле проходит через ноль. Это также вызовет изменение стабильности гетероклинического цикла.
• Бифуркация с бесконечным периодом , при которой на предельном цикле одновременно возникают устойчивый узел и седловая точка. ^[5] Когда предел параметра приближается к определенному критическому значению, скорость колебаний замедляется, а период приближается к бесконечности. При этом критическом значении происходит бифуркация с бесконечным периодом. За пределами критического значения две фиксированные точки непрерывно выходят друг из друга в предельном цикле, разрушая колебания и образуя две седловые точки .
• Катастрофа голубого неба , в которой предельный цикл сталкивается с негиперболическим циклом.

Глобальные бифуркации могут также включать более сложные множества, такие как хаотические аттракторы (например, кризисы ).

• Примеры бифуркаций
• 
  Бифуркация Хопфа происходит в системе и при , вокруг начала координат. Вокруг происходит гомоклиническая бифуркация . ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-x+\mu y+2x^{2}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =0.06605695}$
• 
  Подробный взгляд на гомоклиническую бифуркацию.
• 
  При увеличении от нуля устойчивый предельный цикл выходит из начала координат посредством бифуркации Хопфа. Здесь мы строим предельный цикл параметрически до порядка . Точное вычисление объяснено на странице бифуркации Хопфа . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{3/2}}$

Коразмерность бифуркации

Коразмерность бифуркации — это количество параметров, которые необходимо варьировать, чтобы произошла бифуркация . Это соответствует коразмерности набора параметров, для которой бифуркация происходит в полном пространстве параметров. Бифуркации седло-узла и бифуркации Хопфа - единственные общие локальные бифуркации, которые действительно имеют коразмерность один (все остальные имеют более высокую коразмерность). Однако транскритические бифуркации и бифуркации вил также часто считаются коразмерностью один, поскольку нормальные формы можно записать только с одним параметром.

Примером хорошо изученной бифуркации коразмерности два является бифуркация Богданова – Такенса .

Приложения в квазиклассической и квантовой физике

Теория бифуркации применялась для связи квантовых систем с динамикой их классических аналогов в атомных системах, ^{[6] [7] [8]} молекулярных системах ^[9] и резонансно-туннельных диодах . ^[10] Теория бифуркации также применялась для изучения лазерной динамики ^[11] и ряда теоретических примеров, к которым трудно получить экспериментальный доступ, таких как ударный волчок ^[12] и связанные квантовые ямы. ^[13] Основная причина связи между квантовыми системами и бифуркациями в классических уравнениях движения заключается в том, что при бифуркациях сигнатура классических орбит становится большой, как указывает Мартин Гутцвиллер в своей классической ^[14] работе о квантовом хаосе . ^[15] Многие виды бифуркаций были изучены в отношении связей между классической и квантовой динамикой, включая бифуркации седлового узла, бифуркации Хопфа, пупочные бифуркации, бифуркации удвоения периода, бифуркации пересоединения, касательные бифуркации и бифуркации возврата.

Смотрите также

• Математический портал

• Бифуркационная диаграмма
• Бифуркационная память
• Теория катастроф
• Константы Фейгенбаума
• Геомагнитный инверсия
• Фазовый портрет
• Теорема о теннисной ракетке

Примечания

1. Бланшар, П.; Девани, РЛ ; Холл, GR (2006). Дифференциальные уравнения . Лондон: Томпсон. стр. 96–111. ISBN 978-0-495-01265-8.
2. Анри Пуанкаре. « L'Equilibre d'une Mass Fluide Animée d'un Mouvement de Rouvement ». Acta Mathematica , том 7, стр. 259–380, сентябрь 1885 г.
3. Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Аддисон-Уэсли . п. 262. ИСБН 0-201-54344-3.
4. Ло, Динцзюнь (1997). Теория бифуркаций и методы динамических систем . Всемирная научная. п. 26. ISBN 981-02-2094-4.
5. Джеймс П. Кинер, «Бифуркация бесконечного периода и глобальные ветви бифуркации», SIAM Journal on Applied Mathematics , Vol. 41, № 1 (август 1981 г.), стр. 127–144.
6. Гао, Дж.; Делос, Дж. Б. (1997). «Квантовые проявления бифуркаций замкнутых орбит в спектрах фотопоглощения атомов в электрических полях». Физ. Преподобный А. 56 (1): 356–364. Бибкод : 1997PhRvA..56..356G. doi : 10.1103/PhysRevA.56.356. S2CID  120255640.
7. Питерс, AD; Яффе, К.; Делос, Дж. Б. (1994). «Квантовые проявления бифуркаций классических орбит: точно решаемая модель». Физ. Преподобный Летт . 73 (21): 2825–2828. Бибкод : 1994PhRvL..73.2825P. doi : 10.1103/PhysRevLett.73.2825. PMID  10057205. S2CID  1641622.
8. Кортни, Майкл; Цзяо, Хун; Спеллмейер, Нил; Клеппнер, Дэниел; Гао, Дж.; Делос, Дж.Б.; и другие. (1995). «Бифуркации замкнутой орбиты в континуальных спектрах Штарка». Физ. Преподобный Летт . 74 (9): 1538–1541. Бибкод : 1995PhRvL..74.1538C. doi : 10.1103/PhysRevLett.74.1538. PMID  10059054. S2CID  21573702.
9. Фунаргиотакис, М.; Фарантос, Южная Каролина; Скокос, Ч.; Контопулос, Г. (1997). «Бифуркационные диаграммы периодических орбит несвязанных молекулярных систем: FH2». Письма по химической физике . 277 (5–6): 456–464. Бибкод : 1997CPL...277..456F. дои : 10.1016/S0009-2614(97)00931-7.
10. Монтейро, Т.С. и Сарага, Д.С. (2001). «Квантовые ямы в наклонных полях: квазиклассические амплитуды и времена фазовой когерентности». Основы физики . 31 (2): 355–370. дои : 10.1023/А: 1017546721313. S2CID  120968155.
11. Вечорек, С.; Краускопф, Б.; Симпсон, ТБ и Ленстра, Д. (2005). «Динамическая сложность оптически инжектируемых полупроводниковых лазеров». Отчеты по физике . 416 (1–2): 1–128. Бибкод : 2005PhR...416....1W. doi :10.1016/j.physrep.2005.06.003.
12. Стаматиу, Г. и Гикас, ДПК (2007). «Зависимость квантовой запутанности от бифуркаций и шрамов в неавтономных системах. Случай квантового удара сверху». Буквы по физике А. 368 (3–4): 206–214. arXiv : Quant-ph/0702172 . Бибкод : 2007PhLA..368..206S. doi :10.1016/j.physleta.2007.04.003. S2CID  15562617.
13. Галан, Дж.; Фрейре, Э. (1999). «Хаос в модели среднего поля связанных квантовых ям; бифуркации периодических орбит в симметричной гамильтоновой системе». Доклады по математической физике . 44 (1–2): 87–94. Бибкод : 1999РпМП...44...87Г. дои : 10.1016/S0034-4877(99)80148-7.
14. Клеппнер, Д.; Делос, Дж. Б. (2001). «За пределами квантовой механики: идеи из работ Мартина Гуцвиллера». Основы физики . 31 (4): 593–612. дои : 10.1023/А: 1017512925106. S2CID  116944147.
15. Гуцвиллер, Мартин С. (1990). Хаос в классической и квантовой механике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.

Рекомендации

• Афраймович, В.С.; Арнольд, VI ; и другие. (1994). Теория бифуркаций и теория катастроф . ISBN 978-3-540-65379-0.
• Гуардия, М.; Мартинес-Сеара, М.; Тейшейра, Массачусетс (2011). Типовые бифуркации малой коразмерности плоских систем Филиппова. «Журнал дифференциальных уравнений», февраль 2011 г., том. 250, номер. 4, стр. 1967–2023 гг. DOI:10.1016/j.jde.2010.11.016
• Виггинс, Стивен (1988). Глобальные бифуркации и хаос: аналитические методы. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-96775-2.

Внешние ссылки

• Нелинейная динамика
• Бифуркации и двумерные потоки Элмера Г. Винса
• Введение в теорию бифуркаций Джона Дэвида Кроуфорда