Сверхкритические и субкритические бифуркации Хопфа
Предельный цикл орбитально устойчив, если определенная величина, называемая первым коэффициентом Ляпунова , отрицательна, а бифуркация является надкритической. В противном случае он неустойчив, а бифуркация является докритической.
Нормальная форма бифуркации Хопфа представляет собой следующее зависящее от времени дифференциальное уравнение:
где z , b являются комплексными, а λ — действительный параметр.
Запишите: Число α называется первым коэффициентом Ляпунова .
Если α отрицательно, то существует устойчивый предельный цикл при λ > 0:
где
Бифуркация в этом случае называется сверхкритической.
Если α положительно, то существует неустойчивый предельный цикл при λ < 0. Бифуркация называется субкритической.
Интуиция
Нормальную форму сверхкритической бифуркации Хопфа можно интуитивно выразить в полярных координатах:
где — мгновенная амплитуда колебания, а — его мгновенное угловое положение. [3] Угловая скорость фиксирована. Когда , дифференциальное уравнение для имеет неустойчивую неподвижную точку при и устойчивую неподвижную точку при . Таким образом, система описывает устойчивый круговой предельный цикл с радиусом и угловой скоростью . Когда то — единственная неподвижная точка и она устойчива. В этом случае система описывает спираль, которая сходится к началу координат.
Декартовы координаты
Полярные координаты можно преобразовать в декартовы координаты, записав и . [3] Дифференцирование и по времени дает дифференциальные уравнения,
и
Докритический случай
Нормальная форма докритического Хопфа получается путем отрицания знака ,
что меняет устойчивость неподвижных точек в . Поскольку предельный цикл теперь неустойчив, а начало координат устойчиво.
На рисунке показан фазовый портрет, иллюстрирующий бифуркацию Хопфа в модели Селькова. [8]
В системах железнодорожных транспортных средств анализ бифуркации Хопфа особенно важен. Традиционно устойчивое движение железнодорожного транспортного средства на низких скоростях переходит в неустойчивое на высоких скоростях. Одной из целей нелинейного анализа этих систем является проведение аналитического исследования бифуркации, нелинейной боковой устойчивости и поведения рыскания рельсовых транспортных средств на прямолинейном пути, которое использует метод Боголюбова. [9]
Метод последовательного расширения
[10]
Рассмотрим систему, заданную как , где является гладкой и является параметром. После линейного преобразования параметров можно предположить, что при увеличении от ниже нуля до выше нуля начало координат превращается из спирального стока в спиральный источник.
Теперь для мы выполняем пертурбативное разложение с использованием двухтактности :
где - "медленное время" (следовательно, "двухтактность"), а - функции от . По рассуждению с гармоническим балансом ( подробнее см. [10] ), мы можем использовать . Затем, подставляя в и расширяя до порядка, мы получим три обыкновенных дифференциальных уравнения относительно .
Первое уравнение будет иметь вид , что дает решение , где - "медленно меняющиеся члены" . Подставляя его во второе уравнение, мы можем решить для .
Затем, подставляя третье уравнение, мы получим уравнение вида , с правой частью в виде суммы тригонометрических членов. Из этих членов мы должны установить "резонансный член" -- то есть -- равным нулю. Это та же идея, что и метод Пуанкаре–Линдстедта . Это затем дает два обыкновенных дифференциальных уравнения для , позволяя решить для равновесного значения , а также его устойчивости.
Пример
Рассмотрим систему, заданную и . Система имеет точку равновесия в начале координат. При увеличении от отрицательного к положительному начало координат превращается из устойчивой точки спирали в неустойчивую точку спирали.
Сначала исключим из уравнений: Теперь выполним пертурбативное разложение, как описано выше: с . Расширяя до порядка , получим: Первое уравнение имеет решение . Здесь соответственно «медленно меняющаяся амплитуда» и «медленно меняющаяся фаза» простого колебания.
Второе уравнение имеет решение , где также медленно меняющиеся амплитуда и фаза. Теперь, поскольку , мы можем объединить два члена как некоторые .
Таким образом, без потери общности, можно предположить . Таким образом , подставляя в третье уравнение, получаем Исключая резонансные члены, получаем Первое уравнение показывает, что — устойчивое равновесие. Таким образом, мы обнаруживаем, что бифуркация Хопфа создает притягивающий (а не отталкивающий) предельный цикл.
Подставляя , мы имеем . Мы можем перебрать начало отсчета времени, чтобы сделать . Теперь решим для получения Подставляя обратно к выражениям для , мы имеем Подставляя их обратно к дает также последовательное расширение до порядка .
Для ясности записи имеем
Это дает нам параметрическое уравнение для предельного цикла. Оно изображено на рисунке справа.
Примеры бифуркаций
Бифуркация Хопфа происходит в системе и , когда , вокруг начала координат. Гомоклиническая бифуркация происходит вокруг .
Подробный вид гомоклинической бифуркации.
При увеличении от нуля устойчивый предельный цикл возникает из начала координат через бифуркацию Хопфа. Здесь мы строим предельный цикл параметрически, вплоть до порядка .
Определение бифуркации Хопфа
Появление или исчезновение периодической орбиты посредством локального изменения свойств устойчивости неподвижной точки известно как бифуркация Хопфа. Следующая теорема применима для неподвижных точек с одной парой сопряженных ненулевых чисто мнимых собственных значений . Она описывает условия, при которых происходит это явление бифуркации.
Теорема (см. раздел 11.2 [11] ). Пусть — якобиан непрерывной параметрической динамической системы, оцененный в стационарной точке . Предположим, что все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, за исключением одной сопряженной ненулевой чисто мнимой пары . Бифуркация Хопфа возникает, когда эти два собственных значения пересекают мнимую ось из-за изменения параметров системы.
Критерий Рауса-Гурвица
Критерий Рауса-Гурвица (раздел I.13 [12] ) дает необходимые условия для возникновения бифуркации Хопфа. [13]
Предложение 1. Если все определители Гурвица положительны, за исключением, может быть , то соответствующий якобиан не имеет чисто мнимых собственных значений.
Предложение 2. Если все определители Гурвица (для всех в положительны, то все собственные значения соответствующего якобиана имеют отрицательные действительные части, за исключением чисто мнимой сопряженной пары.
Условия, которые мы ищем для того, чтобы произошла бифуркация Хопфа (см. теорему выше) для параметрической непрерывной динамической системы, задаются этим последним предложением.
Пример
Рассмотрим классический осциллятор Ван дер Поля, записанный с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений:
Матрица Якоби, связанная с этой системой, выглядит следующим образом:
Характеристический полином (по ) линеаризации в точке (0,0) равен:
^ ab Strogatz, Steven H. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Addison Wesley. ISBN978-0-7382-0453-6.
^ Гукенхаймер, Дж.; Лабуриау, Дж. С. (1993), «Бифуркация уравнений Ходжкина и Хаксли: новый поворот», Бюллетень математической биологии , 55 (5): 937–952, doi : 10.1007/BF02460693, S2CID 189888352.
^ "Selkov Model Wolfram Demo". [demonstrations.wolfram.com] . Получено 30 сентября 2012 г.
^ Лопес, Альваро Г (2020-12-01). "Анализ устойчивости равномерного движения электродинамических тел". Physica Scripta . 96 (1): 015506. doi :10.1088/1402-4896/abcad2. ISSN 1402-4896. S2CID 228919333.
^ Осборн, Эндрю Г.; Дейнерт, Марк Р. (октябрь 2021 г.). «Устойчивость, нестабильность и бифуркация Хопфа в волнах деления». Cell Reports Physical Science . 2 (10): 100588. Bibcode : 2021CRPS....200588O. doi : 10.1016/j.xcrp.2021.100588 . S2CID 240589650.
^ Для подробного вывода см. Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos . Addison Wesley. стр. 205. ISBN 978-0-7382-0453-6.
^ Сераджян, Реза (2011). «Влияние инерции тележки и кузова на нелинейные колебания колесной пары, распознаваемые теорией бифуркации Хопфа» (PDF) . Международный журнал автомобильной инженерии . 3 (4): 186–196.
^ ab 18.385J / 2.036J Нелинейная динамика и хаос Осень 2014: Бифуркации Хопфа. MIT OpenCourseWare
^ Хейл, Дж.; Кочак, Х. (1991). Динамика и бифуркации . Тексты по прикладной математике. Том 3. Берлин: Springer-Verlag. ISBN978-3-540-97141-2.
^ Хайрер, Э.; Норсетт, С.П.; Ваннер, Г. (1993). Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: Нежесткие задачи (Второе издание). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN978-3-540-56670-0.
^ ab Kahoui, ME; Weber, A. (2000). «Решение бифуркаций Хопфа путем исключения квантификаторов в архитектуре программных компонентов». Журнал символических вычислений . 30 (2): 161–179. doi : 10.1006/jsco.1999.0353 .
Хейл, Дж .; Кочак, Х. (1991). Динамика и бифуркации . Тексты по прикладной математике. Том 3. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2.
Хассард, Брайан Д.; Казаринофф, Николас Д .; Ван, Йе-Хей (1981). Теория и применение бифуркации Хопфа. Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 0-521-23158-2.