stringtranslate.com

Бифуркация Хопфа

Комплексные собственные значения произвольной карты (точки). В случае бифуркации Хопфа два комплексно-сопряженных собственных значения пересекают мнимую ось.

В математической теории бифуркаций бифуркация Хопфа — это критическая точка , в которой при изменении параметра происходит переключение устойчивости системы и возникает периодическое решение . [1] Точнее, это локальная бифуркация, в которой неподвижная точка динамической системы теряет устойчивость, поскольку пара комплексно-сопряженных собственных значенийлинеаризации вокруг неподвижной точки — пересекает мнимую ось комплексной плоскости , когда параметр пересекает пороговое значение. При разумно общих предположениях о динамической системе неподвижная точка становится предельным циклом малой амплитуды при изменении параметра.

Бифуркация Хопфа также известна как бифуркация Пуанкаре–Андронова–Хопфа , названная в честь Анри Пуанкаре , Александра Андронова и Эберхарда Хопфа .

Обзор

Сверхкритические и субкритические бифуркации Хопфа

Динамика бифуркации Хопфа вблизи . Возможные траектории обозначены красным, устойчивые структуры — темно-синим, а неустойчивые структуры — пунктирным светло-голубым. Сверхкритическая бифуркация Хопфа: 1a) устойчивая неподвижная точка 1b) неустойчивая неподвижная точка, устойчивый предельный цикл 1c) динамика фазового пространства. Субкритическая бифуркация Хопфа: 2a) устойчивая неподвижная точка, неустойчивый предельный цикл 2b) неустойчивая неподвижная точка 2c) динамика фазового пространства. определяет угловую динамику и, следовательно, направление намотки траекторий.

Предельный цикл орбитально устойчив, если определенная величина, называемая первым коэффициентом Ляпунова , отрицательна, а бифуркация является надкритической. В противном случае он неустойчив, а бифуркация является докритической.

Нормальная форма бифуркации Хопфа представляет собой следующее зависящее от времени дифференциальное уравнение:

где zb являются комплексными, а λ — действительный параметр.

Запишите: Число α называется первым коэффициентом Ляпунова .

где
Бифуркация в этом случае называется сверхкритической.

Интуиция

Нормальная форма сверхкритической бифуркации Хопфа в декартовых координатах. [2]

Нормальную форму сверхкритической бифуркации Хопфа можно интуитивно выразить в полярных координатах:

где — мгновенная амплитуда колебания, а — его мгновенное угловое положение. [3] Угловая скорость фиксирована. Когда , дифференциальное уравнение для имеет неустойчивую неподвижную точку при и устойчивую неподвижную точку при . Таким образом, система описывает устойчивый круговой предельный цикл с радиусом и угловой скоростью . Когда то — единственная неподвижная точка и она устойчива. В этом случае система описывает спираль, которая сходится к началу координат.

Декартовы координаты

Полярные координаты можно преобразовать в декартовы координаты, записав и . [3] Дифференцирование и по времени дает дифференциальные уравнения,

и

Докритический случай

Нормальная форма докритического Хопфа получается путем отрицания знака ,

что меняет устойчивость неподвижных точек в . Поскольку предельный цикл теперь неустойчив, а начало координат устойчиво.

Пример

Бифуркация Хопфа в системе Селькова (см. статью). При изменении параметров из устойчивого равновесия возникает предельный цикл (синий).

Бифуркации Хопфа происходят в модели Лотки-Вольтерры взаимодействия хищник-жертва (известной как парадокс обогащения ), модели Ходжкина-Хаксли для потенциала нервной мембраны, [4] модели гликолиза Селькова , [5] реакции Белоусова -Жаботинского , аттракторе Лоренца , Брюсселаторе и в классическом электромагнетизме . [6] Было также показано, что бифуркации Хопфа происходят в волнах деления. [7]

Модель Селкова - это

На рисунке показан фазовый портрет, иллюстрирующий бифуркацию Хопфа в модели Селькова. [8]

В системах железнодорожных транспортных средств анализ бифуркации Хопфа особенно важен. Традиционно устойчивое движение железнодорожного транспортного средства на низких скоростях переходит в неустойчивое на высоких скоростях. Одной из целей нелинейного анализа этих систем является проведение аналитического исследования бифуркации, нелинейной боковой устойчивости и поведения рыскания рельсовых транспортных средств на прямолинейном пути, которое использует метод Боголюбова. [9]

Метод последовательного расширения

[10]

Рассмотрим систему, заданную как , где является гладкой и является параметром. После линейного преобразования параметров можно предположить, что при увеличении от ниже нуля до выше нуля начало координат превращается из спирального стока в спиральный источник.

Теперь для мы выполняем пертурбативное разложение с использованием двухтактности : где - "медленное время" (следовательно, "двухтактность"), а - функции от . По рассуждению с гармоническим балансом ( подробнее см. [10] ), мы можем использовать . Затем, подставляя в и расширяя до порядка, мы получим три обыкновенных дифференциальных уравнения относительно .

Первое уравнение будет иметь вид , что дает решение , где - "медленно меняющиеся члены" . Подставляя его во второе уравнение, мы можем решить для .

Затем, подставляя третье уравнение, мы получим уравнение вида , с правой частью в виде суммы тригонометрических членов. Из этих членов мы должны установить "резонансный член" -- то есть -- равным нулю. Это та же идея, что и метод Пуанкаре–Линдстедта . Это затем дает два обыкновенных дифференциальных уравнения для , позволяя решить для равновесного значения , а также его устойчивости.

Пример

Рассмотрим систему, заданную и . Система имеет точку равновесия в начале координат. При увеличении от отрицательного к положительному начало координат превращается из устойчивой точки спирали в неустойчивую точку спирали.

Сначала исключим из уравнений: Теперь выполним пертурбативное разложение, как описано выше: с . Расширяя до порядка , получим: Первое уравнение имеет решение . Здесь соответственно «медленно меняющаяся амплитуда» и «медленно меняющаяся фаза» простого колебания.

Второе уравнение имеет решение , где также медленно меняющиеся амплитуда и фаза. Теперь, поскольку , мы можем объединить два члена как некоторые .

Таким образом, без потери общности, можно предположить . Таким образом , подставляя в третье уравнение, получаем Исключая резонансные члены, получаем Первое уравнение показывает, что — устойчивое равновесие. Таким образом, мы обнаруживаем, что бифуркация Хопфа создает притягивающий (а не отталкивающий) предельный цикл.

Подставляя , мы имеем . Мы можем перебрать начало отсчета времени, чтобы сделать . Теперь решим для получения Подставляя обратно к выражениям для , мы имеем Подставляя их обратно к дает также последовательное расширение до порядка .

Для ясности записи имеем

Это дает нам параметрическое уравнение для предельного цикла. Оно изображено на рисунке справа.

Определение бифуркации Хопфа

Появление или исчезновение периодической орбиты посредством локального изменения свойств устойчивости неподвижной точки известно как бифуркация Хопфа. Следующая теорема применима для неподвижных точек с одной парой сопряженных ненулевых чисто мнимых собственных значений . Она описывает условия, при которых происходит это явление бифуркации.

Теорема (см. раздел 11.2 [11] ). Пусть — якобиан непрерывной параметрической динамической системы, оцененный в стационарной точке . Предположим, что все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, за исключением одной сопряженной ненулевой чисто мнимой пары . Бифуркация Хопфа возникает, когда эти два собственных значения пересекают мнимую ось из-за изменения параметров системы.

Критерий Рауса-Гурвица

Критерий Рауса-Гурвица (раздел I.13 [12] ) дает необходимые условия для возникновения бифуркации Хопфа. [13]

Серия Штурм

Пусть — ряды Штурма , соответствующие характеристическому многочлену . Их можно записать в виде:

Коэффициенты для соответствуют так называемым определителям Гурвица . [13] Их определение связано с соответствующей матрицей Гурвица .

Предложения

Предложение 1. Если все определители Гурвица положительны, за исключением, может быть , то соответствующий якобиан не имеет чисто мнимых собственных значений.

Предложение 2. Если все определители Гурвица (для всех в положительны, то все собственные значения соответствующего якобиана имеют отрицательные действительные части, за исключением чисто мнимой сопряженной пары.

Условия, которые мы ищем для того, чтобы произошла бифуркация Хопфа (см. теорему выше) для параметрической непрерывной динамической системы, задаются этим последним предложением.

Пример

Рассмотрим классический осциллятор Ван дер Поля, записанный с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений:

Матрица Якоби, связанная с этой системой, выглядит следующим образом:

Характеристический полином (по ) линеаризации в точке (0,0) равен:

Коэффициенты: Соответствующий ряд Штурма :

Полиномы Штурма можно записать как (здесь ):

Вышеприведенное предложение 2 гласит, что необходимо иметь:

Поскольку 1 > 0 и −1 < 0 очевидны, можно сделать вывод, что бифуркация Хопфа может возникнуть для осциллятора Ван дер Поля, если .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ «Бифуркации Хопфа» (PDF) . Массачусетский технологический институт.
  2. ^ Хайтманн, С., Брейкспир, М (2017-2022) Brain Dynamics Toolbox. bdtoolbox.org doi.org/10.5281/zenodo.5625923
  3. ^ ab Strogatz, Steven H. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6.
  4. ^ Гукенхаймер, Дж.; Лабуриау, Дж. С. (1993), «Бифуркация уравнений Ходжкина и Хаксли: новый поворот», Бюллетень математической биологии , 55 (5): 937–952, doi : 10.1007/BF02460693, S2CID  189888352.
  5. ^ "Selkov Model Wolfram Demo". [demonstrations.wolfram.com] . Получено 30 сентября 2012 г.
  6. ^ Лопес, Альваро Г (2020-12-01). "Анализ устойчивости равномерного движения электродинамических тел". Physica Scripta . 96 (1): 015506. doi :10.1088/1402-4896/abcad2. ISSN  1402-4896. S2CID  228919333.
  7. ^ Осборн, Эндрю Г.; Дейнерт, Марк Р. (октябрь 2021 г.). «Устойчивость, нестабильность и бифуркация Хопфа в волнах деления». Cell Reports Physical Science . 2 (10): 100588. Bibcode : 2021CRPS....200588O. doi : 10.1016/j.xcrp.2021.100588 . S2CID  240589650.
  8. ^ Для подробного вывода см. Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos . Addison Wesley. стр. 205. ISBN 978-0-7382-0453-6.
  9. ^ Сераджян, Реза (2011). «Влияние инерции тележки и кузова на нелинейные колебания колесной пары, распознаваемые теорией бифуркации Хопфа» (PDF) . Международный журнал автомобильной инженерии . 3 (4): 186–196.
  10. ^ ab 18.385J / 2.036J Нелинейная динамика и хаос Осень 2014: Бифуркации Хопфа. MIT OpenCourseWare
  11. ^ Хейл, Дж.; Кочак, Х. (1991). Динамика и бифуркации . Тексты по прикладной математике. Том 3. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2.
  12. ^ Хайрер, Э.; Норсетт, С.П.; Ваннер, Г. (1993). Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: Нежесткие задачи (Второе издание). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0.
  13. ^ ab Kahoui, ME; Weber, A. (2000). «Решение бифуркаций Хопфа путем исключения квантификаторов в архитектуре программных компонентов». Журнал символических вычислений . 30 (2): 161–179. doi : 10.1006/jsco.1999.0353 .

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки