Основная кривизна

В дифференциальной геометрии две главные кривизны в данной точке поверхности — это максимальное и минимальное значения кривизны , выраженные собственными значениями оператора формы в этой точке. Они измеряют, как поверхность изгибается на разную величину в разных направлениях в этой точке.

Обсуждение

В каждой точке p дифференцируемой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве можно выбрать единичный нормальный вектор . Нормальная плоскость в точке p — это плоскость, которая содержит нормальный вектор, и, следовательно , также будет содержать единственное направление, касательное к поверхности, и пересекать поверхность по плоской кривой, называемой нормальным сечением . Эта кривая будет в общем случае иметь разные кривизны для разных нормальных плоскостей в точке p . Главные кривизны в точке p , обозначаемые k ₁ и k ₂ , являются максимальным и минимальным значениями этой кривизны.

Здесь кривизна кривой по определению является обратной величиной радиуса соприкасающейся окружности . Кривизна считается положительной, если кривая поворачивается в том же направлении, что и выбранная нормаль поверхности, и отрицательной в противном случае. Направления в нормальной плоскости, где кривизна принимает свои максимальные и минимальные значения, всегда перпендикулярны, если k ₁ не равно k ₂ , результат Эйлера (1760), и называются главными направлениями . С современной точки зрения эта теорема следует из спектральной теоремы, поскольку эти направления являются главными осями симметричного тензора — второй фундаментальной формы . Систематический анализ главных кривизн и главных направлений был предпринят Гастоном Дарбу с использованием фреймов Дарбу .

Произведение k ₁k ₂ двух главных кривизн — это гауссова кривизна , K , а среднее значение ( k 1 ₊ k 2 ₎ /2 — это средняя кривизна , H.

Если хотя бы одна из главных кривизн равна нулю в каждой точке, то гауссова кривизна будет равна 0 и поверхность будет развертывающейся поверхностью . Для минимальной поверхности средняя кривизна равна нулю в каждой точке.

Формальное определение

Пусть M — поверхность в евклидовом пространстве со второй фундаментальной формой . Зафиксируем точку p ∈ M и ортонормированный базис X ₁ , X ₂ касательных векторов в точке p . Тогда главные кривизны являются собственными значениями симметричной матрицы $I\!I(X,Y)$

\left[I\!I_{ij}\right]={\begin{bmatrix}I\!I(X_{1},X_{1})&I\!I(X_{1},X_{2})\\I\!I(X_{2},X_{1})&I\!I(X_{2},X_{2})\end{bmatrix}}.

Если X ₁ и X ₂ выбраны так, что матрица является диагональной, то они называются главными направлениями . Если поверхность ориентирована , то часто требуется, чтобы пара ( X ₁ , X ₂ ) была положительно ориентирована относительно заданной ориентации. $\left[I\!I_{ij}\right]$

Без привязки к конкретному ортонормированному базису главные кривизны являются собственными значениями оператора формы , а главные направления — его собственными векторами .

Обобщения

Для гиперповерхностей в многомерных евклидовых пространствах главные кривизны могут быть определены непосредственно аналогичным образом. Главные кривизны являются собственными значениями матрицы второй фундаментальной формы в ортонормированном базисе касательного пространства. Главные направления являются соответствующими собственными векторами. $I\!I(X_{i},X_{j})$

Аналогично, если M — гиперповерхность в римановом многообразии N , то главные кривизны являются собственными значениями ее второй фундаментальной формы. Если k ₁ , ..., k _n — n главных кривизн в точке p ∈ M и X ₁ , ..., X _n — соответствующие ортонормированные собственные векторы (главные направления), то секционная кривизна M в точке p задается как

K(X_{i},X_{j})=k_{i}k_{j}

для всех с . $я,j$ $i\neq j$

Классификация точек на поверхности

В эллиптических точках обе главные кривизны имеют одинаковый знак, и поверхность локально выпуклая.
- В точках омбилии обе главные кривизны равны, и каждый касательный вектор можно считать главным направлением. Обычно это происходит в изолированных точках.
В гиперболических точках главные кривизны имеют противоположные знаки, и поверхность будет иметь локально седловидную форму.
В параболических точках одна из главных кривизн равна нулю. Параболические точки обычно лежат на кривой, разделяющей эллиптические и гиперболические области.
- В плоских омбиликальных точках обе главные кривизны равны нулю. Общая поверхность не будет содержать плоских омбиликальных точек. Обезьянье седло — это одна поверхность с изолированной плоской омбиликой.

Линия кривизны

Линии кривизны или линии кривизны — это кривые, которые всегда касательны к главному направлению (они являются интегральными кривыми для полей главных направлений). Через каждую неомбилическую точку будут проходить две линии кривизны, и линии будут пересекаться под прямым углом.

Вблизи умбилики линии кривизны обычно образуют одну из трех конфигураций: звезду , лимон и монстар (происходит от лимонно-звезда ). ^[2] Эти точки также называются Дарбу-умбиликами (D ₁ , D ₂ , D ₃ ) в честь Гастона Дарбу , первого, кто провел систематическое исследование в т. 4, стр. 455, его Leçons (1896).

Конфигурации линий кривизны вблизи пупочных точек
Лимон - Д ₁
Монстар - Д ₂
Звезда - Д ₃

На этих рисунках красные кривые — это линии кривизны для одного семейства главных направлений, а синие кривые — для другого.

Когда линия кривизны имеет локальный экстремум той же главной кривизны, то кривая имеет точку гребня . Эти точки гребня образуют кривые на поверхности, называемые гребнями . Кривые гребня проходят через пупочные точки. Для звездообразной модели через пупочную точку проходят либо 3, либо 1 линия гребня, для монстара и лимона — только один гребень. ^[3]

Приложения

Главные направления кривизны вместе с нормалью поверхности определяют 3D-рамку ориентации в точке поверхности. Например, в случае цилиндрической поверхности, физически касаясь или визуально наблюдая, мы знаем, что вдоль одного определенного направления поверхность плоская (параллельна оси цилиндра) и, следовательно, принимаем во внимание ориентацию поверхности. Присутствие такой рамки ориентации в каждой точке поверхности означает, что любое вращение поверхностей с течением времени может быть определено просто путем рассмотрения изменения в соответствующих рамках ориентации. Это привело к алгоритмам оценки движения и сегментации одной точки поверхности в компьютерном зрении. ^[4]

Смотрите также

Ссылки

^ Кривизна поверхности
^ Берри, М. В.; Ханней, Дж. Х. (1977). «Омбилические точки на гауссовых случайных поверхностях». Журнал физики A. 10 ( 11): 1809–21. Bibcode : 1977JPhA...10.1809B. doi : 10.1088/0305-4470/10/11/009. S2CID 55230556.
^ Porteous, IR (1994). Геометрическое дифференцирование . Cambridge University Press. ISBN 0-521-39063-X.
^ Перера, С.; Барнс, Н. (ноябрь 2013 г.). «Оценка и сегментация одноточечного жесткого движения с помощью камеры RGB-D». Международная конференция по цифровым вычислениям изображений 2013 г.: методы и приложения (DICTA) . стр. 1–8. doi : 10.1109/DICTA.2013.6691469. ISBN 978-1-4799-2126-3. S2CID 15915653.

Дальнейшее чтение

Дарбу, Гастон (1896) [1887]. Уроки общей теории поверхностей. Готье-Виллар.
Гуггенхаймер, Генрих (1977). "Глава 10. Поверхности". Дифференциальная геометрия . Дувр. ISBN 0-486-63433-7.
Кобаяши, Шошичи и Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, т. 2 (новое издание). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
Спивак, Майкл (1999). Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию (том 3) . Опубликуй или погибни. ISBN 0-914098-72-1.
Сотомайор, Дж. (1993). «O elipsóide de Monge» (PDF) . Revista Matemática Universitária . 15 : 33–47.
Сотомайор, Дж. (2007). «Элипсоид Монжа и линии кривизны». Материалы Математика . 01 :1–25.

Внешние ссылки

Исторические комментарии к эллипсоиду Монжа и конфигурации линий кривизны на поверхностях, погруженных в R3