Если кривая задана в декартовых координатах как y ( x ) , т.е. как график функции , то радиус кривизны равен (предполагая, что кривая дифференцируема до порядка 2)
где и | z | обозначает абсолютное значение z .
Если кривая задана параметрически функциями x ( t ) и y ( t ) , то радиус кривизны равен
где и
Эвристически этот результат можно интерпретировать как [2]
где
Внразмеры
Если γ : ℝ → ℝ n — параметризованная кривая в ℝ n , то радиус кривизны в каждой точке кривой, ρ : ℝ → ℝ , определяется как [3]
В частном случае, если f ( t ) является функцией от ℝ до ℝ , то радиус кривизны ее графика γ ( t ) = ( t , f ( t )) равен
Вывод
Пусть γ будет таким, как указано выше, и зафиксируем t . Мы хотим найти радиус ρ параметризованной окружности, которая соответствует γ в ее нулевой, первой и второй производных в t . Очевидно, что радиус не будет зависеть от положения γ ( t ) , а только от скорости γ ′( t ) и ускорения γ ″( t ) . Есть только три независимых скаляра , которые можно получить из двух векторов v и w , а именно v · v , v · w , и w · w . Таким образом, радиус кривизны должен быть функцией трех скаляров | γ ′( t ) | 2 , | γ ″( t ) | 2 и γ ′( t ) · γ ″( t ) . [3]
Общее уравнение для параметризованной окружности в ℝ n имеет вид
где c ∈ ℝ n — центр окружности (не имеет значения, так как исчезает в производных), a , b ∈ ℝ n — перпендикулярные векторы длины ρ (то есть a · a = b · b = ρ 2 и a · b = 0 ), а h : ℝ → ℝ — произвольная функция, дважды дифференцируемая в точке t .
Соответствующие производные g получаются следующими:
Если теперь приравнять эти производные g к соответствующим производным γ в точке t, то получим
Эти три уравнения с тремя неизвестными ( ρ , h ′( t ) и h ″( t ) ) можно решить относительно ρ , получив формулу для радиуса кривизны:
Окружность радиуса a имеет радиус кривизны , равный a .
Эллипсы
В эллипсе с большой осью 2a и малой осью 2b вершины на большой оси имеют наименьший радиус кривизны среди всех точек, а вершины на малой оси имеют наибольший радиус кривизны среди всех точек , R = а 2/б .
Радиус кривизны эллипса, как функция параметра t ( амплитуда Якоби ), равен [4]
Напряжение в полупроводниковой структуре, включающей напыленные тонкие пленки, обычно возникает из-за термического расширения (термического напряжения) в процессе производства. Термическое напряжение возникает, поскольку осаждение пленки обычно производится при температуре выше комнатной. При охлаждении от температуры осаждения до комнатной температуры разница в коэффициентах термического расширения подложки и пленки вызывает термическое напряжение. [5]
Внутреннее напряжение возникает из-за микроструктуры, созданной в пленке, когда атомы осаждаются на подложке. Растягивающее напряжение возникает из-за микропустот (небольших отверстий, считающихся дефектами) в тонкой пленке из-за притягивающего взаимодействия атомов через пустоты.
Напряжение в тонкопленочных полупроводниковых структурах приводит к короблению пластин. Радиус кривизны напряженной структуры связан с тензором напряжений в структуре и может быть описан модифицированной формулой Стоуни. [6] Топография напряженной структуры, включая радиусы кривизны, может быть измерена с помощью методов оптического сканирования. Современные инструменты сканера имеют возможность измерять полную топографию подложки и измерять оба главных радиуса кривизны, обеспечивая при этом точность порядка 0,1% для радиусов кривизны 90 метров и более. [7]
^ "Определение напряжения пленки при изгибе подложки: формула Стоуни и ее пределы" (PDF) . Qucosa.de . Архивировано из оригинала (PDF) 2017-08-08 . Получено 2016-04-22 .
^ Питер Валецки. "Model X". Zebraoptical.com . Получено 22.04.2016 .