В математической области дифференциальной геометрии теорема Эйлера является результатом кривизны кривых на поверхности . Теорема устанавливает существование главных кривизн и связанных с ними главных направлений , которые определяют направления, в которых поверхность искривляется больше всего и меньше всего. Теорема названа в честь Леонарда Эйлера , который доказал эту теорему в (Эйлер 1760).
Точнее, пусть M — поверхность в трехмерном евклидовом пространстве , а p — точка на M. Нормальная плоскость, проходящая через p, — это плоскость, проходящая через точку p , содержащая вектор нормали к M . Через каждый ( единичный ) касательный вектор к M в точке p проходит нормальная плоскость PX , вырезающая кривую в M. Эта кривая имеет определенную кривизну κ X , если рассматривать ее как кривую внутри P X . При условии, что не все κ X равны, существует некоторый единичный вектор X 1 , для которого k 1 = κ X 1 как можно больше, и другой единичный вектор X 2 , для которого k 2 = κ X 2 как можно меньше. Теорема Эйлера утверждает, что X 1 и X 2 перпендикулярны и, более того, если X — любой вектор, образующий угол θ с X 1 , то
Величины k1 и k2 называются главными кривизнами , а X1 и X2 — соответствующими главными направлениями . Уравнение ( 1 ) иногда называют уравнением Эйлера (Эйзенхарт 2004, стр. 124).