Основная кривизна

Максимальная и минимальная кривизна в точке поверхности.

Седловая поверхность с нормальными плоскостями в направлениях главных кривизн.

В дифференциальной геометрии две основные кривизны в данной точке поверхности — это максимальное и минимальное значения кривизны , выраженные собственными значениями оператора формы в этой точке. Они измеряют, как поверхность изгибается на разную величину в разных направлениях в этой точке.

Обсуждение

В каждой точке p дифференцируемой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве можно выбрать единичный вектор нормали . Нормальная плоскость в точке p — это та, которая содержит вектор нормали и, следовательно, также будет содержать уникальное направление, касательное к поверхности, и разрезать поверхность по плоской кривой, называемой нормальным сечением . Эта кривая, вообще говоря, будет иметь разную кривизну для разных нормальных плоскостей в точке p . Главные кривизны в точке p , обозначенные k ₁ и k ₂ , представляют собой максимальное и минимальное значения этой кривизны.

Здесь кривизна кривой по определению обратна радиусу соприкасающейся окружности . Кривизна считается положительной, если кривая поворачивается в том же направлении, что и выбранная нормаль к поверхности, и отрицательной в противном случае. Направления в нормальной плоскости, где кривизна принимает максимальное и минимальное значения, всегда перпендикулярны, если k ₁ не равно k ₂ , что является результатом Эйлера (1760), и называются главными направлениями . С современной точки зрения, эта теорема следует из спектральной теоремы , поскольку эти направления являются главными осями симметричного тензора — второй фундаментальной формы . Систематический анализ главных кривизн и главных направлений был предпринят Гастоном Дарбу с использованием систем Дарбу .

Произведение k ₁ k ₂ двух главных кривизн представляет собой гауссову кривизну K , а среднее значение ( k ₁  +  k ₂ )/2 является средней кривизной H.

Если хотя бы одна из главных кривизн равна нулю в каждой точке, то гауссова кривизна будет равна 0 и поверхность является развертывающейся поверхностью . Для минимальной поверхности средняя кривизна равна нулю в каждой точке.

Формальное определение

Пусть M — поверхность в евклидовом пространстве со второй фундаментальной формой . Зафиксируем точку p ∈ M и ортонормированный базис X ₁ , X ₂ касательных векторов в точке p . Тогда главные кривизны являются собственными значениями симметричной матрицы ${\displaystyle I\!I(X,Y)}$

${\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]={\begin{bmatrix}I\!I(X_{1},X_{1})&I\!I(X_{1},X_{2})\\I\!I(X_{2},X_{1})&I\!I(X_{2},X_{2})\end{bmatrix}}.}$

Если X ₁ и X ₂ выбраны так, что матрица является диагональной, то они называются главными направлениями . Если поверхность ориентирована , то часто требуется _, чтобы пара ( X1 , X2 ₎ была ориентирована положительно относительно заданной ориентации. ${\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]}$

Без привязки к конкретному ортонормированному базису главные кривизны являются собственными значениями оператора формы , а главные направления — его собственными векторами .

Обобщения

Для гиперповерхностей в многомерных евклидовых пространствах главные кривизны могут быть определены непосредственно аналогичным образом. Главные кривизны являются собственными значениями матрицы второй фундаментальной формы в ортонормированном базисе касательного пространства. Главные направления — это соответствующие собственные векторы. ${\displaystyle I\!I(X_{i},X_{j})}$

Аналогично, если M — гиперповерхность в римановом многообразии N , то главные кривизны — это собственные значения ее второй фундаментальной формы. Если k ₁ , ..., k _n — n главных кривизн в точке p ∈ M и X ₁ , ..., X _n — соответствующие ортонормированные собственные векторы (главные направления), то секционная кривизна M в точке p задана к

${\displaystyle K(X_{i},X_{j})=k_{i}k_{j}}$

для всех с . ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Классификация точек на поверхности

• В эллиптических точках обе главные кривизны имеют одинаковый знак и поверхность локально выпуклая.
  • В омбилических точках обе главные кривизны равны, и каждый касательный вектор можно считать главным направлением. Обычно они возникают в изолированных точках.
• В гиперболических точках главные кривизны имеют противоположные знаки, и поверхность локально будет седловидной.
• В параболических точках одна из главных кривизн равна нулю. Параболические точки обычно лежат на кривой, разделяющей эллиптические и гиперболические области.
  • В плоских омбилических точках обе главные кривизны равны нулю. Общая поверхность не будет содержать плоских омбильных точек. Седло обезьяны представляет собой одну поверхность с изолированным плоским пупком.

Линия кривизны

Линии кривизны или линии кривизны — это кривые, которые всегда касаются главного направления (они являются целыми кривыми для полей главных направлений). Через каждую точку, не являющуюся пупком, будут проходить две линии кривизны, которые будут пересекаться под прямым углом.

Вблизи пупка линии кривизны обычно образуют одну из трех конфигураций: звезда , лимон и монстар (от слова лимон-звезда ). ^[2] Эти точки также называются Дарбусскими пупками (D ₁ , D ₂ , D ₃ ) в честь Гастона Дарбу , первого, кто провел систематическое исследование в Vol. 4, стр. 455, его «Леконов» (1896).

• Конфигурации линий кривизны вблизи шлангокабелей
• 
  Лимон - Д ₁
• 
  Монстар - Д ₂
• 
  Звезда - Д ₃

На этих рисунках красные кривые — линии кривизны для одного семейства главных направлений, а синие — для другого.

Когда линия кривизны имеет локальный экстремум той же главной кривизны, тогда кривая имеет точку гребня . Эти точки гребней образуют кривые на поверхности, называемые гребнями . Кривые гребня проходят через шлангокабели. Для звездчатого узора через пупок проходят 3 или 1 гребень, для монстары и лимона — только один гребень. ^[3]

Приложения

Главные направления кривизны вместе с нормалью к поверхности определяют трехмерную рамку ориентации в точке поверхности. Например, в случае цилиндрической поверхности путем физического прикосновения или визуального наблюдения мы знаем, что в одном конкретном направлении поверхность плоская (параллельно оси цилиндра), и, следовательно, принимаем во внимание ориентацию поверхности. Наличие такой системы ориентации в каждой точке поверхности означает, что любое вращение поверхностей во времени можно определить, просто рассматривая изменение соответствующих систем ориентации. Это привело к созданию алгоритмов оценки движения одной точки поверхности и сегментации в компьютерном зрении. ^[4]

Смотрите также

• Радиус Земли # Основные разделы
• Теорема Эйлера (дифференциальная геометрия)

Рекомендации

1. Кривизна поверхности
2. Берри, М.В .; Ханней, Дж. Х. (1977). «Пуповые точки на гауссовых случайных поверхностях». Журнал физики А. 10 (11): 1809–21. Бибкод : 1977JPhA...10.1809B. дои : 10.1088/0305-4470/10/11/009. S2CID  55230556.
3. Портеус, ИК (1994). Геометрическое дифференцирование . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-39063-Х.
4. Перера, С.; Барнс, Н. (ноябрь 2013 г.). «Оценка и сегментация жесткого движения по 1 точке с помощью камеры RGB-D». Международная конференция 2013 г. «Вычисление цифровых изображений: методы и приложения» (DICTA) . стр. 1–8. дои : 10.1109/DICTA.2013.6691469. ISBN 978-1-4799-2126-3. S2CID  15915653.

дальнейшее чтение

• Дарбу, Гастон (1896) [1887]. Уроки общей теории поверхностей. Готье-Виллар.
• Гуггенхаймер, Генрих (1977). «Глава 10. Поверхности». Дифференциальная геометрия . Дувр. ISBN 0-486-63433-7.
• Кобаяши, Шошичи и Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Vol. 2 (Новая ред.). Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-15732-5.
• Спивак, Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 3) . Опубликуй или погибни. ISBN 0-914098-72-1.
• Сотомайор, Дж. (1993). «O elipsóide de Monge» (PDF) . Revista Matemática Universitária . 15 : 33–47.
• Сотомайор, Дж. (2007). «Элипсоид Монжа и линии кривизны». Материалы Математика . 01 :1–25.

Внешние ссылки

• Исторические комментарии об эллипсоиде Монжа и конфигурации линий кривизны на поверхностях, погруженных в R3