Спектральная теорема

Результат о том, когда матрицу можно диагонализировать

В математике , особенно в линейной алгебре и функциональном анализе , спектральная теорема — это результат того, когда линейный оператор или матрица может быть диагонализован (то есть представлен как диагональная матрица в некотором базисе). Это чрезвычайно полезно, поскольку вычисления с использованием диагонализуемой матрицы часто можно свести к гораздо более простым вычислениям с использованием соответствующей диагональной матрицы. Концепция диагонализации относительно проста для операторов в конечномерных векторных пространствах , но требует некоторой модификации для операторов в бесконечномерных пространствах. В общем, спектральная теорема определяет класс линейных операторов , которые можно смоделировать операторами умножения , которые настолько просты, насколько можно надеяться найти. Говоря более абстрактным языком, спектральная теорема — это утверждение о коммутативных C*-алгебрах . См. также спектральную теорию для исторической перспективы.

Примерами операторов, к которым применима спектральная теорема, являются самосопряженные операторы или, в более общем смысле, нормальные операторы в гильбертовых пространствах .

Спектральная теорема также обеспечивает каноническое разложение, называемое спектральным разложением основного векторного пространства, на котором действует оператор.

Огюстен-Луи Коши доказал спектральную теорему для симметричных матриц , т. е. что каждая вещественная симметричная матрица диагонализуема. Кроме того, Коши был первым, кто систематически подходил к детерминантам . ^{[1] [2]} Спектральная теорема, обобщенная Джоном фон Нейманом, сегодня является, пожалуй, самым важным результатом теории операторов .

В этой статье основное внимание уделяется простейшей спектральной теореме для самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве. Однако, как отмечалось выше, спектральная теорема справедлива и для нормальных операторов в гильбертовом пространстве.

Конечномерный случай

Эрмитова карта и эрмитова матрица

Мы начнем с рассмотрения эрмитовой матрицы на (но следующее обсуждение будет адаптировано к более ограничительному случаю симметричных матриц на ). Мы рассматриваем эрмитово отображение A на конечномерном комплексном пространстве скалярного произведения V , наделенном положительно определенным полуторалинейным скалярным произведением . Условие Эрмита означает, что для всех x , y ∈ V , ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle .}$$

Эквивалентное условие состоит в том, что A ^* = A , где A ^* — эрмитово сопряженное число A . В случае, когда A отождествляется с эрмитовой матрицей, матрица A ^* равна ее сопряженной транспонированной матрице . (Если A — действительная матрица , то это эквивалентно A ^T = A , то есть A — симметричная матрица .)

Из этого условия следует, что все собственные значения эрмитова отображения вещественны: чтобы убедиться в этом, достаточно применить его к случаю, когда x = y является собственным вектором. (Напомним, что собственный вектор линейного отображения A — это ненулевой вектор v такой, что Av = λv для некоторого скаляра λ . Значение λ является соответствующим собственным значением . Более того, собственные значения являются корнями характеристического многочлена .)

Теорема  .  Если A эрмитово на V , то существует ортонормированный базис V , состоящий из собственных векторов A. Каждое собственное значение A действительно.

Мы приводим набросок доказательства для случая, когда основным полем скаляров являются комплексные числа .

По фундаментальной теореме алгебры , примененной к характеристическому многочлену A , существует по крайней мере одно комплексное собственное значение _{λ 1} и соответствующий собственный вектор v ₁ , который по определению должен быть отличен от нуля. Тогда с тех пор

$${\displaystyle \lambda _{1}\langle v_{1},v_{1}\rangle =\langle A(v_{1}),v_{1}\rangle =\langle v_{1},A(v_{1})\rangle ={\bar {\lambda }}_{1}\langle v_{1},v_{1}\rangle ,}$$

λ ₁ортогональное дополнениеv ₁являетсяподпространствомA ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-1}={\text{span}}(v_{1})^{\perp }}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-1}}$ ${\displaystyle k\in {\mathcal {K}}^{n-1}}$ ${\displaystyle \langle k,v_{1}\rangle =0}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-1}}$ ${\displaystyle A(k)\in {\mathcal {K}}^{n-1}}$ ${\displaystyle \langle A(k),v_{1}\rangle =\langle k,A(v_{1})\rangle =\langle k,\lambda _{1}v_{1}\rangle =0}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle v_{2}\in {\mathcal {K}}^{n-1}\perp v_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-2}={\text{span}}(\{v_{1},v_{2}\})^{\perp }}$

Матричное представление A в базисе собственных векторов диагонально, и по построению доказательство дает базис взаимно ортогональных собственных векторов; выбрав их в качестве единичных векторов, можно получить ортонормированный базис собственных векторов. A можно записать как линейную комбинацию попарно ортогональных проекторов, называемую ее спектральным разложением . Позволять

$${\displaystyle V_{\lambda _{i}}=\{v\in V:Av=\lambda _{i}v\}}$$

V ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle V_{\lambda _{i}}={\text{span}}(v_{i})}$ ${\displaystyle V_{\lambda _{i}}}$

Другими словами, если обозначить ортогональную проекцию на (так что ) и λ ₁ , ..., λ _m являются собственными значениями A , то спектральное разложение можно записать как ${\displaystyle P_{\lambda _{i}}}$ ${\displaystyle V_{\lambda _{i}}}$ ${\displaystyle P_{\lambda _{i}}^{2}x=P_{\lambda _{i}}x\in V_{\lambda _{i}}}$

$${\displaystyle A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}=\lambda _{1}v_{1}v_{1}^{*}+\dots +\lambda _{m}v_{m}v_{m}^{*}.}$$

Если спектральное разложение A равно , то и для любого скаляра Отсюда следует, что для любого многочлена f один имеет ${\displaystyle A=\lambda _{1}P_{1}+\cdots +\lambda _{m}P_{m}}$ ${\displaystyle A^{2}=(\lambda _{1})^{2}P_{1}+\cdots +(\lambda _{m})^{2}P_{m}}$ ${\displaystyle \mu A=\mu \lambda _{1}P_{1}+\cdots +\mu \lambda _{m}P_{m}}$ ${\displaystyle \mu .}$

$${\displaystyle f(A)=f(\lambda _{1})P_{1}+\cdots +f(\lambda _{m})P_{m}.}$$

Спектральное разложение является частным случаем разложения Шура , когда разлагаемая матрица является эрмитовой. См. доказательство для нормальных матриц ниже.

Спектральное разложение и разложение по сингулярным значениям

Спектральное разложение является частным случаем разложения по сингулярным значениям , которое утверждает, что любая матрица может быть выражена как , где и унитарны ( ) и является действительной диагональной матрицей. Разложение по сингулярным значениям уникально, когда сингулярные значения расположены в порядке убывания. Если эрмитово, то или ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle A=U\Sigma V^{*}}$ ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m}}$ ${\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle V^{-1}=V^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}=A}$ ${\displaystyle V\Sigma U^{*}=U\Sigma V^{*}\implies U=V}$

Нормальные матрицы

Спектральная теорема распространяется на более общий класс матриц. Пусть A — оператор в конечномерном пространстве внутреннего произведения. A называется нормальным , если A ^* A = AA ^* . Можно показать, что A нормально тогда и только тогда, когда оно унитарно диагонализуемо.

Доказательство: с помощью разложения Шура мы можем записать любую матрицу как A = UTU ^* , где U унитарно, а T верхнетреугольное. Если A нормальный, то видно, что TT ^* = T ^* T . Следовательно, T должно быть диагональным, поскольку нормальная верхняя треугольная матрица диагональна (см. нормальную матрицу ). Обратное очевидно.

Другими словами, A является нормальной тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица U такая, что

$${\displaystyle A=UDU^{*},}$$

Dдиагональная матрицаDзначениями AUAD

Компактные самосопряженные операторы

В более общей ситуации гильбертовых пространств, которые могут иметь бесконечную размерность, формулировка спектральной теоремы для компактных самосопряженных операторов практически такая же, как и в конечномерном случае.

Теорема . Предположим, что A — компактный самосопряженный оператор в (вещественном или комплексном) гильбертовом пространстве V. Тогда существует ортонормированный базис V , состоящий из собственных векторов A . Каждое собственное значение действительно.

Что касается эрмитовых матриц, то ключевым моментом является доказательство существования хотя бы одного ненулевого собственного вектора. Нельзя полагаться на определители, чтобы показать существование собственных значений, но можно использовать аргумент максимизации, аналогичный вариационной характеристике собственных значений.

Если снять предположение о компактности, то неверно , что каждый самосопряженный оператор имеет собственные векторы. Например, оператор умножения , который переводит каждое в , ограничен и самосопряжен, но не имеет собственных векторов. Однако его спектр, определенный соответствующим образом, по-прежнему равен , см. спектр ограниченного оператора . ${\displaystyle M_{x}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle \psi (x)\in L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle x\psi (x)}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Ограниченные самосопряженные операторы

Возможное отсутствие собственных векторов

Следующее обобщение, которое мы рассматриваем, — это обобщение ограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Такие операторы могут не иметь собственных векторов: например, пусть A — оператор умножения на t на , то есть ^[3] ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$

$${\displaystyle [A\varphi ](t)=t\varphi (t).}$$

Этот оператор не имеет собственных векторов в , хотя у него есть собственные векторы в большем пространстве. А именно распределение , где – дельта-функция Дирака , является собственным вектором, если его интерпретировать в соответствующем смысле. Однако дельта-функция Дирака не является функцией в классическом смысле и не лежит в гильбертовом пространстве L ² [0, 1] или каком-либо другом банаховом пространстве . Таким образом, дельта-функции являются «обобщенными собственными векторами», а не собственными векторами в обычном смысле. ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle \varphi (t)=\delta (t-t_{0})}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle A}$

Спектральные подпространства и проекционнозначные меры

В отсутствие (истинных) собственных векторов можно искать «спектральное подпространство», состоящее из почти собственного вектора , т. е. замкнутого подпространства , связанного с борелевским множеством в спектре . Это подпространство можно рассматривать как замкнутую область обобщенных собственных векторов для с собственными значениями в . ^[4] В приведенном выше примере мы могли бы рассмотреть подпространство функций, поддерживаемых на небольшом интервале внутри . Это пространство инвариантно относительно и для любого в этом подпространстве очень близко к . Каждое подпространство, в свою очередь, кодируется соответствующим оператором проецирования, а совокупность всех подпространств затем представляется мерой со значением проекции . ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E\subset \sigma (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle [A\varphi ](t)=t\varphi (t),\;}$ ${\displaystyle [a,a+\varepsilon ]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A\varphi }$ ${\displaystyle a\varphi }$

Одна формулировка спектральной теоремы выражает оператор A как интеграл координатной функции по спектру оператора относительно проекционнозначной меры. ^[5] ${\displaystyle \sigma (A)}$

$${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi (\lambda ).}$$

Когда рассматриваемый самосопряженный оператор компактен , эта версия спектральной теоремы сводится к чему-то похожему на приведенную выше конечномерную спектральную теорему, за исключением того, что оператор выражается как конечная или счетная бесконечная линейная комбинация проекций, то есть мера состоит только из атомов.

Версия оператора умножения

Альтернативная формулировка спектральной теоремы гласит, что каждый ограниченный самосопряженный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения. Значение этого результата состоит в том, что операторы умножения во многих отношениях легко понять.

Теорема . ^[6]  —  Пусть A — ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H . Тогда существуют пространство с мерой ( X , Σ, µ ) и вещественнозначная существенно ограниченная измеримая функция f на X и унитарный оператор U : H → L ² ( X , µ ) такие, что

$${\displaystyle U^{*}TU=A,}$$

где T — оператор умножения :

$${\displaystyle [T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x),}$$

и . ${\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\infty }}$

Спектральная теорема положила начало обширной области исследований функционального анализа, называемой теорией операторов ; см. также спектральную меру .

Существует также аналогичная спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница в выводе состоит в том, что теперь f может быть комплексным.

Прямые интегралы

Существует также формулировка спектральной теоремы в терминах прямых интегралов . Она похожа на формулировку оператора умножения, но более канонична.

Пусть – ограниченный самосопряженный оператор, и пусть – спектр оператора . Формулировка спектральной теоремы в виде прямого интеграла связывает две величины с . Во-первых, мера на , а во-вторых, семейство гильбертовых пространств. Затем мы формируем прямое целочисленное гильбертово пространство. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle \{H_{\lambda }\},\,\,\lambda \in \sigma (A).}$

$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda ).}$$

^[7] ${\displaystyle s(\lambda ),\,\,\lambda \in \sigma (A),}$ ${\displaystyle s(\lambda )\in H_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Теорема  .  Если — ограниченный самосопряженный оператор, то он унитарно эквивалентен оператору «умножения на » на ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda )}$$

для некоторой меры и некоторого семейства гильбертовых пространств. Мера однозначно определяется с точностью до теоретико-мерной эквивалентности; то есть любые две меры, связанные с одним и тем же, имеют одинаковые наборы нулевой меры. Размерности гильбертовых пространств определяются однозначно с точностью до множества нулевой -меры. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{H_{\lambda }\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu }$

Пространства можно рассматривать как нечто вроде «собственных пространств» для . Однако обратите внимание: если одноэлементное множество не имеет положительной меры, пространство на самом деле не является подпространством прямого интеграла. Таким образом, 's следует рассматривать как «обобщенное собственное пространство», то есть элементы являются «собственными векторами», которые на самом деле не принадлежат гильбертовому пространству. ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle H_{\lambda }}$

Хотя и оператор умножения, и формулировка спектральной теоремы с прямым интегралом выражают самосопряженный оператор как унитарно эквивалентный оператору умножения, подход прямого интеграла более каноничен. Во-первых, множество, по которому имеет место прямой интеграл (спектр оператора), является каноническим. Во-вторых, функция, на которую мы умножаем, является канонической в ​​подходе прямого интеграла: просто функция . ${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda }$

Циклические векторы и простой спектр

Вектор называется циклическим , если векторы охватывают плотное подпространство гильбертова пространства. Предположим – ограниченный самосопряженный оператор, для которого существует циклический вектор. В этом случае нет различия между формулировками спектральной теоремы, сформулированными в виде прямого интеграла и оператора умножения. Действительно, в этом случае в спектре таких существует мера , унитарно эквивалентная оператору «умножения на» на . ^[8] Этот результат представляет собой одновременно и оператор умножения , и прямой интеграл, поскольку это просто прямой интеграл, в котором каждое гильбертово пространство равно . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi ,A\varphi ,A^{2}\varphi ,\ldots }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L^{2}(\sigma (A),\mu )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L^{2}(\sigma (A),\mu )}$ ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Не каждый ограниченный самосопряженный оператор допускает циклический вектор; действительно, из-за единственности разложения в прямой интеграл это может произойти только тогда, когда все '' имеют размерность один. Когда это происходит, мы говорим, что имеет «простой спектр» в смысле теории спектральной кратности . То есть ограниченный самосопряженный оператор, допускающий циклический вектор, следует рассматривать как бесконечномерное обобщение самосопряженной матрицы с различными собственными значениями (т. е. каждое собственное значение имеет кратность единица). ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle A}$

Хотя не каждое из них допускает циклический вектор, легко видеть, что мы можем разложить гильбертово пространство как прямую сумму инвариантных подпространств, на которых есть циклический вектор. Это наблюдение является ключом к доказательству операторной формы умножения и прямого интеграла спектральной теоремы. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Функциональное исчисление

Одним из важных применений спектральной теоремы (в любой форме) является идея определения функционального исчисления . То есть, учитывая функцию , определенную в спектре , мы хотим определить оператор . Если – просто положительная степень, , то это просто -я степень , . Интересны случаи, когда – неполиномиальная функция, такая как квадратный корень или экспонента. Любая из версий спектральной теоремы обеспечивает такое функциональное исчисление. ^[9] В версии прямого интеграла, например, действует как оператор «умножения на » в прямом интеграле: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle [f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda ).}$$

${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle f(\lambda )}$

Неограниченные самосопряженные операторы

Многие важные линейные операторы, встречающиеся в анализе , например, дифференциальные операторы , не ограничены . В этих случаях применима также спектральная теорема для самосопряженных операторов . Например, каждый дифференциальный оператор с постоянным коэффициентом унитарно эквивалентен оператору умножения. Действительно, унитарным оператором, реализующим эту эквивалентность, является преобразование Фурье ; оператор умножения является разновидностью множителя Фурье .

В общем, спектральная теорема для самосопряженных операторов может принимать несколько эквивалентных форм. ^[10] Примечательно, что все формулировки, приведенные в предыдущем разделе для ограниченных самосопряженных операторов — версия с проекционнозначной мерой, версия с оператором умножения и версия с прямым интегралом — продолжают справедливы и для неограниченных самосопряженных операторов. , с небольшими техническими изменениями для решения проблем с доменом. В частности, единственная причина, по которой оператор умножения ограничен, связана с выбором области определения . Тот же оператор, например, будет неограничен. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

Понятие «обобщенных собственных векторов» естественным образом распространяется на неограниченные самосопряженные операторы, поскольку они характеризуются как ненормируемые собственные векторы. Однако, в отличие от случая почти собственных векторов, собственные значения могут быть вещественными или комплексными и, даже если они действительны, не обязательно принадлежат спектру. Однако для самосопряженных операторов всегда существует вещественное подмножество «обобщенных собственных значений», такое, что соответствующий набор собственных векторов является полным . ^[11]

Смотрите также

• Теорема Хана-Хеллингера  - Линейный оператор, равный своему сопряженномуPages displaying short descriptions of redirect targets
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теория нормальных C*-алгебр
• Борелевское функциональное исчисление
• Спектральная теория
• Разложение матрицы
• Каноническая форма
• Жорданово разложение , частным случаем которого является спектральное разложение.
• Разложение по сингулярным значениям — обобщение спектральной теоремы на произвольные матрицы.
• Собственное разложение матрицы
• Теорема Винера – Хинчина

Примечания

1. Хокинс, Томас (1975). «Коши и спектральная теория матриц». История Математики . 2 : 1–29. дои : 10.1016/0315-0860(75)90032-4 .
2. Краткая история теории операторов Эванса М. Харрелла II
3. Зал 2013 г., раздел 6.1.
4. Холл, 2013 г. Теорема 7.2.1
5. Холл, 2013 г. Теорема 7.12.
6. Холл, 2013. Теорема 7.20.
7. Холл, 2013. Теорема 7.19.
8. Холл 2013. Лемма 8.11.
9. Например, Холл, 2013 г., определение 7.13.
10. См. раздел 10.1 Hall 2013.
11. де ла Мадрид Модино 2001, стр. 95–97.

Рекомендации

• Шелдон Экслер , Правильно сделанная линейная алгебра , Springer Verlag, 1997
• Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
• Пол Халмос , «Что говорит спектральная теорема?», American Mathematical Monthly , том 70, номер 3 (1963), страницы 241–247 Другая ссылка
• де ла Мадрид Модино, Р. (2001). Квантовая механика на языке оснащенного гильбертова пространства (кандидатская диссертация). Университет Вальядолида.
• М. Рид и Б. Саймон , Методы математической физики , тома I–IV, Academic Press, 1972.
• Г. Тешль , Математические методы в квантовой механике с приложениями к операторам Шрёдингера , https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, Американское математическое общество, 2009.
• Вальтер Моретти (2017). Спектральная теория и квантовая механика; Математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраические формулировки, 2-е издание. Спрингер. ISBN 978-3-319-70705-1.