Диагональная матрица

Матрица, единственные ненулевые элементы которой находятся на ее главной диагонали.

В линейной алгебре диагональная матрица — это матрица , в которой все элементы за пределами главной диагонали равны нулю; этот термин обычно относится к квадратным матрицам . Элементы главной диагонали могут быть нулевыми или ненулевыми. Примером диагональной матрицы 2×2 является , а примером диагональной матрицы 3×3 – . Единичная матрица любого размера или любого кратного ему размера представляет собой диагональную матрицу, называемую скалярной матрицей, например . В геометрии диагональная матрица может использоваться как матрица масштабирования , поскольку умножение матрицы на нее приводит к изменению масштаба (размера) и, возможно, также формы ; только скалярная матрица приводит к равномерному изменению масштаба. ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{smallmatrix}}\right]}$

Определение

Как указано выше, диагональная матрица — это матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. То есть матрица D = ( d _{i , j} ) с n столбцами и n строками является диагональной, если

$${\displaystyle \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.}$$

Однако основные диагональные входы не ограничены.

Термин «диагональная матрица» иногда может относиться кпрямоугольная диагональная матрица , которая представляет собойразмеромmnсо всеми элементами, отличными от формы d _{i , i} равным нулю. Например:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}}$$

Однако чаще диагональная матрица относится к квадратным матрицам, которые можно явно указать какквадратная диагональная матрица . Квадратная диагональная матрица являетсясимметричной матрицей, поэтому ее также можно назватьсимметричная диагональная матрица .

Следующая матрица является квадратной диагональной матрицей:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}}$$

Если записи представляют собой действительные числа или комплексные числа , то это также нормальная матрица .

В оставшейся части этой статьи мы будем рассматривать только квадратные диагональные матрицы и называть их просто «диагональными матрицами».

Оператор преобразования вектора в матрицу

Диагональную матрицу можно построить из вектора с помощью оператора: ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \operatorname {diag} }$

$${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$$

Более компактно это можно записать как . ${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )}$

Тот же оператор также используется для представления блочных диагональных матриц , где каждый аргумент является матрицей. ${\displaystyle \mathbf {A} =\operatorname {diag} (A_{1},\dots ,A_{n})}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Оператор можно записать как: ${\displaystyle \operatorname {diag} }$

$${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I} }$$

произведение Адамара ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$

Оператор преобразования матрицы в вектор

Оператор обратного преобразования матрицы в вектор иногда обозначается одноименным оператором, где аргументом теперь является матрица, а результатом является вектор ее диагональных элементов. ${\displaystyle \operatorname {diag} }$ ${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

Следующее свойство имеет:

$${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}=\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {1} }$$

Скалярная матрица

Диагональная матрица с равными диагональными элементами является скалярной матрицей ; то есть скалярное кратное λ единичной матрицы I . Его эффект на вектор — скалярное умножение на λ . Например, скалярная матрица 3×3 имеет вид:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}}$$

Скалярные матрицы являются центром алгебры матриц: то есть это именно те матрицы, которые коммутируют со всеми другими квадратными матрицами того же размера. ^[a] Напротив, над полем (как и в случае действительных чисел) диагональная матрица, все диагональные элементы которой различны, коммутирует только с диагональными матрицами (ее централизатор - это набор диагональных матриц). Это потому, что если диагональная матрица затем дала матрицу с членами произведений: и и (поскольку можно разделить на ), то они не коммутируют, если недиагональные члены не равны нулю. ^[b] Диагональные матрицы, в которых не все диагональные элементы равны или не все различны, имеют центраторы, промежуточные между всем пространством и только диагональными матрицами. ^[1] ${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{i}\neq a_{j},}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle m_{ij}\neq 0,}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (\mathbf {D} \mathbf {M} )_{ij}=a_{i}m_{ij}}$ ${\displaystyle (\mathbf {M} \mathbf {D} )_{ij}=m_{ij}a_{j},}$ ${\displaystyle a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}}$ ${\displaystyle m_{ij}}$

Для абстрактного векторного пространства V (а не для конкретного векторного пространства ) аналогом скалярных матриц являются скалярные преобразования . В более общем смысле это верно для модуля M над кольцом R с алгеброй эндоморфизмов End( M ) (алгеброй линейных операторов на M ), заменяющей алгебру матриц. Формально скалярное умножение представляет собой линейное отображение, индуцирующее отображение (от скаляра λ к соответствующему скалярному преобразованию, умножению на λ ), демонстрирующее End( M ) как R - алгебру . Для векторных пространств скалярные преобразования являются в точности центром алгебры эндоморфизмов, и, аналогично, скалярные обратимые преобразования являются центром общей линейной группы GL( V ). Первый в более общем смысле представляет собой свободные модули , для которых алгебра эндоморфизмов изоморфна матричной алгебре. ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M),}$ ${\displaystyle M\cong R^{n}}$

Векторные операции

Умножение вектора на диагональную матрицу умножает каждый из членов на соответствующий диагональный элемент. Учитывая диагональную матрицу и вектор , произведение будет: ${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

$${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Это можно выразить более компактно, используя вектор вместо диагональной матрицы и взяв произведение Адамара векторов (поэлементное произведение), обозначенное : ${\displaystyle \mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} \circ \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Это математически эквивалентно, но позволяет избежать хранения всех нулевых членов этой разреженной матрицы . Таким образом, этот продукт используется в машинном обучении , например, для вычисления продуктов производных при обратном распространении ошибки или умножения весов IDF в TF-IDF , ^[2] поскольку некоторые структуры BLAS , которые эффективно умножают матрицы, не включают возможности произведения Адамара напрямую. ^[3]

Матричные операции

Операции сложения и умножения матриц особенно просты для диагональных матриц. Запишите Diag( a ₁ , ..., an _n ) для диагональной матрицы, диагональные элементы которой, начиная с верхнего левого угла, равны a ₁ , ..., an _n . Тогда для сложения имеем

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}+b_{n})}$$

и для умножения матриц ,

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}b_{n}).}$$

Диагональная матрица Diag( a ₁ , ..., an ) обратима тогда и только тогда, когда все _{элементы} a 1 _, ..., an _n не равны нулю. В этом случае мы имеем

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\,\ldots ,\,a_{n}^{-1}).}$$

В частности, диагональные матрицы образуют подкольцо кольца всех матриц размера n x n .

Умножение n -х n-матрицы A слева на Diag ( a 1 , ... _, an ) равносильно умножению i - й строки A на a _i для всех i _; умножение матрицы A справа на Diag( a 1 _, ... , an ) равносильно умножению i -го столбца _A на a _i для всех i .

Операторная матрица в собственном базисе

Как объяснялось при определении коэффициентов операторной матрицы , существует специальный базис e ₁ , ..., en , для _{которого} матрица принимает диагональную форму. Следовательно, в определяющем уравнении все коэффициенты с i ≠ j равны нулю, поэтому в каждой сумме остается только один член. Сохранившиеся диагональные элементы известны как собственные значения и обозначаются в уравнении, которое сводится к . Полученное уравнение известно как уравнение собственных значений ^[4] и используется для вывода характеристического полинома и, далее, собственных значений и собственных векторов . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {e} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle a_{i,i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}}$

Другими словами, собственными значениями функцииdiag ( λ ₁ ,..., λ _n ) являются λ ₁ , ..., λ _n с соответствующими собственными векторами e 1 _, ..., e _n .

Характеристики

• Определителем Diag ( a 1 , ..., _an ) является произведение a ₁ ⋯ an _{n .}
• Адъюгат диагональной матрицы снова диагональен .
• Где все матрицы квадратные,
  • Матрица диагональна тогда и только тогда, когда она треугольна и нормальна .
  • Матрица является диагональной тогда и только тогда, когда она является одновременно верхне- и нижнетреугольной .
  • Диагональная матрица симметрична .
• Единичная матрица I _n и нулевая матрица диагональны.
• Матрица 1×1 всегда диагональна.
• Квадрат матрицы 2×2 с нулевым следом всегда диагональный.

Приложения

Диагональные матрицы встречаются во многих областях линейной алгебры. Из-за простого описания матричной операции и собственных значений/собственных векторов, приведенных выше, обычно желательно представлять данную матрицу или линейную карту диагональной матрицей.

Фактически, данная матрица A размером n x n подобна диагональной матрице (это означает, что существует матрица X такая, что X ⁻¹ AX является диагональной) тогда и только тогда, когда она имеет n линейно независимых собственных векторов. Такие матрицы называются диагонализуемыми .

В отношении действительных или комплексных чисел верно больше . Спектральная теорема гласит, что каждая нормальная матрица унитарно подобна диагональной матрице (если AA ^∗ = A ^∗ A , то существует унитарная матрица U такая, что UAU ^∗ диагональна). Более того, разложение по сингулярным значениям означает, что для любой матрицы A существуют унитарные матрицы U и V такие, что U ^∗ AV диагональна с положительными элементами.

Теория операторов

В теории операторов , особенно при изучении УЧП , операторы особенно легко понять, а УЧП легко решить, если оператор диагональен относительно базиса, с которым он работает; это соответствует разделимому уравнению в частных производных . Следовательно, ключевой метод понимания операторов — это замена координат (на языке операторов это интегральное преобразование ), которая меняет основу на собственный базис собственных функций : что делает уравнение разделимым. Важным примером этого является преобразование Фурье , которое диагонализует операторы дифференцирования с постоянными коэффициентами (или, в более общем плане, операторы, инвариантные к сдвигу), такие как оператор Лапласа, скажем, в уравнении теплопроводности .

Особенно простыми являются операторы умножения , которые определяются как умножение на (значения) фиксированной функции: значения функции в каждой точке соответствуют диагональным элементам матрицы.

Смотрите также

• Антидиагональная матрица
• Ленточная матрица
• Двудиагональная матрица
• Диагонально доминирующая матрица
• Диагонализуемая матрица
• Джордан в нормальной форме
• Оператор умножения
• Трехдиагональная матрица
• Матрица Теплица
• Торальная алгебра Ли
• Циркулянтная матрица

Примечания

1. Доказательство: учитывая элементарную матрицу , это матрица только с i -й строкой M и квадратная матрица только с M j -м столбцом, поэтому недиагональные элементы должны быть нулевыми, а i- й диагональный элемент во многом совпадает с j- й диагональной записью. ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle Me_{ij}}$ ${\displaystyle e_{ij}M}$
2. Для более общих колец это не так, потому что делить не всегда можно.

Рекомендации

1. «Всегда ли диагональные матрицы коммутируют?» Обмен стеками. 15 марта 2016 года . Проверено 4 августа 2018 г.
2. Сахами, Мехран (15 июня 2009 г.). Анализ текста: классификация, кластеризация и приложения. ЦРК Пресс. п. 14. ISBN 9781420059458.
3. «Поэлементное векторно-векторное умножение в BLAS?». stackoverflow.com . 01.10.2011 . Проверено 30 августа 2020 г.
4. Близится, Джеймс (2010). «Глава 7.9: Собственные значения и собственные векторы» (PDF) . Математические инструменты физики. ISBN 978-0486482125. Проверено 1 января 2012 г.

Источники

• Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Роял (1985), матричный анализ , издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-38632-6