Симметричная матрица

Матрица равна ее транспонированию

Симметрия матрицы 5×5

В линейной алгебре симметричной матрицей называется квадратная матрица , равная ее транспонированной . Формально,

${\displaystyle A{\text{ is symmetric}}\iff A=A^{\textsf {T}}.}$

Поскольку равные матрицы имеют равные размеры, симметричными могут быть только квадратные матрицы.

Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главной диагонали . Итак, если обозначает запись в строке и столбце, то ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle A{\text{ is symmetric}}\iff {\text{ for every }}i,j,\quad a_{ji}=a_{ij}}$

для всех индексов и ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j.}$

Каждая квадратная диагональная матрица симметрична, поскольку все недиагональные элементы равны нулю. Аналогично в характеристике , отличной от 2, каждый диагональный элемент кососимметричной матрицы должен быть равен нулю, поскольку каждый из них является отрицательным.

В линейной алгебре вещественная симметричная матрица представляет собой самосопряженный оператор ^[1] , представленный в ортонормированном базисе над вещественным внутренним пространством произведения . Соответствующим объектом для комплексного пространства внутреннего продукта является эрмитова матрица с комплекснозначными элементами, которая равна ее сопряженному транспонированию . Поэтому в линейной алгебре комплексных чисел часто предполагается, что симметричная матрица относится к той, которая имеет элементы с действительными значениями. Симметричные матрицы естественным образом появляются во множестве приложений, и типичное программное обеспечение для численной линейной алгебры делает для них специальные приспособления.

Пример

Следующая матрица симметрична: ${\displaystyle 3\times 3}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&2\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle A=A^{\textsf {T}}}$

Характеристики

Основные свойства

• Сумма и разность двух симметричных матриц симметричны.
• Это не всегда верно для произведения : учитывая симметричные матрицы и , то симметрично тогда и только тогда, когда и коммутируют , т. е. если . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB=BA}$
• Для любого целого числа симметрично , если симметрично. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A^{n}}$ ${\displaystyle A}$
• Если существует, то оно симметрично тогда и только тогда, когда оно симметрично. ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle A}$
• Ранг симметричной матрицы равен числу ненулевых собственных значений матрицы . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Разложение на симметричные и кососимметричные

Любую квадратную матрицу однозначно можно записать в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц. Это разложение известно как разложение Теплица. Обозначим пространство матриц. Если обозначает пространство симметричных матриц и пространство кососимметричных матриц, то и , т.е. ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}}$

$${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},}$$

прямую сумму ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle X\in {\mbox{Mat}}_{n}}$

$${\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right).}$$

Обратите внимание, что и . Это справедливо для любой квадратной матрицы с элементами любого поля , характеристика которого отличается от 2. ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}$ ${\displaystyle X}$

Симметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов на главной диагонали или выше нее ). Аналогично кососимметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов над главной диагональю). ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$

Матрица, конгруэнтная симметричной матрице

Любая матрица, конгруэнтная симметричной матрице, снова симметрична: если матрица симметрична, то так же и для любой матрицы . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle AXA^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle A}$

Симметрия подразумевает нормальность

(Вещественнозначная) симметричная матрица обязательно является нормальной матрицей .

Действительные симметричные матрицы

Обозначим стандартным скалярным произведением на . Действительная матрица симметрична тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

Поскольку это определение не зависит от выбора базиса , симметрия является свойством, которое зависит только от линейного оператора A и выбора скалярного произведения . Эта характеристика симметрии полезна, например, в дифференциальной геометрии , поскольку каждое касательное пространство к многообразию может быть наделено скалярным произведением, что приводит к так называемому риманову многообразию . Другая область применения этой формулировки — гильбертовы пространства .

Конечномерная спектральная теорема гласит, что любая симметричная матрица, элементы которой действительны , может быть диагонализирована ортогональной матрицей . Более подробно: для каждой вещественной симметричной матрицы существует такая действительная ортогональная матрица, которая является диагональной матрицей . Таким образом, каждая вещественная симметричная матрица с точностью до выбора ортонормированного базиса является диагональной матрицей. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D=Q^{\mathrm {T} }AQ}$

Если и являются действительными симметричными матрицами, которые коммутируют, то они могут быть одновременно диагонализированы ортогональной матрицей: ^[2] существует базис такой, что каждый элемент базиса является собственным вектором для обоих и . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Каждая вещественная симметричная матрица является эрмитовой , и, следовательно, все ее собственные значения вещественны. (Фактически, собственные значения являются элементами диагональной матрицы (см. выше) и, следовательно , однозначно определяются с точностью до порядка ее элементов.) По сути, свойство симметричности вещественных матриц соответствует свойству эрмитовости для сложные матрицы. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$

Комплексные симметричные матрицы

Комплексную симметричную матрицу можно «диагонализировать» с помощью унитарной матрицы : таким образом, если это комплексная симметричная матрица, существует такая унитарная матрица, которая является действительной диагональной матрицей с неотрицательными элементами. Этот результат называется факторизацией Аутона-Такаги . Первоначально оно было доказано Леоном Отоном (1915) и Тейджи Такаги (1925) и заново открыто с различными доказательствами несколькими другими математиками. ^{[3] [4]} Фактически, матрица является эрмитовой и положительно полуопределенной , поэтому существует унитарная матрица , диагональная с неотрицательными вещественными элементами. Таким образом , комплекс симметричен реальному. Запись с и вещественными симметричными матрицами, . Таким образом . Поскольку и коммутируют, существует вещественная ортогональная матрица, такая что обе и диагональны. Задание (унитарная матрица), матрица комплексно-диагональная. Предварительно умножив на подходящую диагональную унитарную матрицу (которая сохраняет унитарность ), диагональные элементы можно сделать действительными и неотрицательными по желанию. Чтобы построить эту матрицу, мы выражаем диагональную матрицу как . Матрица, которую мы ищем, просто задается формулой . Понятно по желанию, поэтому вносим модификацию . Поскольку их квадраты являются собственными значениями , они совпадают с сингулярными значениями . (Обратите внимание: что касается собственного разложения комплексной симметричной матрицы , жордановая нормальная форма может не быть диагональной, поэтому не может быть диагонализирована каким-либо преобразованием подобия.) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle B=A^{\dagger }A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{\dagger }BV}$ ${\displaystyle C=V^{\mathrm {T} }AV}$ ${\displaystyle C^{\dagger }C}$ ${\displaystyle C=X+iY}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)}$ ${\displaystyle XY=YX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle WXW^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle WYW^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle U=WV^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})}$ ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (e^{-i\theta _{1}/2},e^{-i\theta _{2}/2},\dots ,e^{-i\theta _{n}/2})}$ ${\displaystyle DUAU^{\mathrm {T} }D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}$ ${\displaystyle U'=DU}$ ${\displaystyle A^{\dagger }A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Разложение

Используя нормальную форму Жордана , можно доказать, что каждая квадратная вещественная матрица может быть записана как произведение двух вещественных симметричных матриц, а каждая квадратная комплексная матрица может быть записана как произведение двух комплексных симметричных матриц. ^[5]

Каждую вещественную неособую матрицу можно однозначно разложить на множители как произведение ортогональной матрицы и симметричной положительно определенной матрицы , что называется полярным разложением . Сингулярные матрицы также можно факторизовать, но не однозначно.

Разложение Холецкого утверждает, что каждая действительная положительно определенная симметричная матрица является произведением нижнетреугольной матрицы и ее транспонирования, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle A=LL^{\textsf {T}}.}$$

Если матрица является симметричной неопределенной, ее все равно можно разложить следующим образом: где находится матрица перестановок (возникающая из-за необходимости поворота ), треугольная матрица с меньшей единицей и ^{[ актуально? ]} представляет собой прямую сумму симметричных и блоков, называемую разложением Банча–Кауфмана ^[6] ${\displaystyle PAP^{\textsf {T}}=LDL^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

Общая (комплексная) симметричная матрица может быть дефектной и, следовательно, недиагонализуемой . Если диагонализуемо, его можно разложить как ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{\textsf {T}}}$$

${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle QQ^{\textsf {T}}=I}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

$${\displaystyle \lambda _{1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\lambda _{2}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .}$$

Поскольку и различны, имеем . ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$

Гессен

Симметричные матрицы действительных функций представляют собой гессианы дважды дифференцируемых функций действительных переменных (непрерывность второй производной не требуется, несмотря на распространенное мнение об обратном ^[7] ). ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$

Любую квадратичную форму на можно однозначно записать в виде с симметричной матрицей . На основании приведенной выше спектральной теоремы можно тогда сказать, что каждая квадратичная форма с точностью до выбора ортонормированного базиса «выглядит как» ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}}$$

конических сечений ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} :q(\mathbf {x} )=1\right\}}$

Это важно отчасти потому, что поведение второго порядка каждой гладкой функции многих переменных описывается квадратичной формой, принадлежащей гессиану функции; это следствие теоремы Тейлора .

Симметризуемая матрица

Матрица называется симметризуемой, если существуют обратимая диагональная матрица и симметричная матрица такие, что ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A=DS.}$

Транспонирование симметризуемой матрицы симметризуемо, поскольку и симметрично. Матрица симметризуема тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)}$ ${\displaystyle DSD}$ ${\displaystyle A=(a_{ij})}$

1. ${\displaystyle a_{ij}=0}$подразумевает для всех ${\displaystyle a_{ji}=0}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n.}$
2. ${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}}$для любой конечной последовательности ${\displaystyle \left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).}$

Смотрите также

Другие типы симметрии или узора в квадратных матрицах имеют специальные названия; см. например:

• Кососимметричная матрица (также называемая антисимметричной или антиметрической )
• Центросимметричная матрица
• Циркулянтная матрица
• Ковариационная матрица
• Матрица Кокстера
• матрица НОД
• Матрица Ханкеля
• Матрица Гильберта
• Персимметричная матрица
• Закон инерции Сильвестра
• Матрица Теплица
• Матрица транспозиций

См. также симметрию в математике .

Примечания

1. Хесус Рохо Гарсия (1986). Линейная алгебра (на испанском языке) (2-е изд.). Редакция АС. ISBN 84-7288-120-2.
2. Ричард Беллман (1997). Введение в матричный анализ (2-е изд.). СИАМ. ISBN 08-9871-399-4.
3. Хорн, РА; Джонсон, ЧР (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 263, 278. МР  2978290.
4. См.:
   • Отонн, Л. (1915), «Sur les matriceshypohermitiennes et sur les matrices unitaires», Ann. унив. Лион , 38 : 1–77
   • Такаги, Т. (1925), «Об одной алгебраической проблеме, связанной с аналитической теоремой Каратеодори и Фейера и смежной теоремой Ландау», Jpn. Дж. Математика. , 1 : 83–93, doi : 10.4099/jjm1924.1.0_83
   • Сигел, Карл Людвиг (1943), «Симплектическая геометрия», Американский журнал математики , 65 (1): 1–86, doi : 10.2307/2371774, JSTOR  2371774, лемма 1, стр. 12
   • Хуа, Л.-К. (1944), «К теории автоморфных функций матричной переменной I – геометрического базиса», амер. Дж. Математика. , 66 (3): 470–488, номер документа : 10.2307/2371910, JSTOR  2371910.
   • Шур, И. (1945), «Ein Satz über Squaretische Formen mit komplexen Koeffizienten», Amer. Дж. Математика. , 67 (4): 472–480, номер документа : 10.2307/2371974, JSTOR  2371974.
   • Бенедетти, Р.; Краньолини, П. (1984), «Об одновременной диагонализации одной эрмитовой и одной симметричной формы», Linear Algebra Appl. , 57 : 215–226, дои : 10.1016/0024-3795(84)90189-7
5. Бош, AJ (1986). «Разложение квадратной матрицы на две симметричные матрицы». Американский математический ежемесячник . 93 (6): 462–464. дои : 10.2307/2323471. JSTOR  2323471.
6. GH Голуб, CF ван Лоан. (1996). Матричные вычисления . Издательство Университета Джонса Хопкинса, Балтимор, Лондон.
7. Дьедонне, Жан А. (1969). Основы современного анализа (Расширенная и исправленная печатная ред.). Академическая пресса. стр. Теорема (8.12.2), с. 180. ИСБН 978-1443724265.

Рекомендации

• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013), Матричный анализ (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

Внешние ссылки

• «Симметричная матрица», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Краткое введение и доказательство свойств собственных значений вещественной симметричной матрицы.
• Как реализовать симметричную матрицу на C++