Алгебра над полем

В математике алгебра над полем (часто называемая просто алгеброй ) — это векторное пространство , снабженное билинейным произведением . Таким образом, алгебра - это алгебраическая структура , состоящая из множества вместе с операциями умножения, сложения и скалярного умножения на элементы поля и удовлетворяющая аксиомам, подразумеваемым «векторным пространством» и «билинейностью». ^[1]

Операция умножения в алгебре может быть или не быть ассоциативной , что приводит к понятиям ассоциативных и неассоциативных алгебр . Учитывая целое число n , кольцо действительных квадратных матриц порядка n является примером ассоциативной алгебры над полем действительных чисел при сложении и умножении матриц , поскольку умножение матриц ассоциативно. Трехмерное евклидово пространство с умножением, заданным векторным произведением, является примером неассоциативной алгебры над полем действительных чисел, поскольку векторное произведение неассоциативно и вместо этого удовлетворяет тождеству Якоби .

Алгебра называется унитарной или унитарной , если она имеет единицу относительно умножения. Кольцо действительных квадратных матриц порядка n образует алгебру с единицей, поскольку единичная матрица порядка n является единичным элементом относительно умножения матриц. Это пример ассоциативной алгебры с единицей, (единичного) кольца , которое также является векторным пространством.

Многие авторы используют термин «алгебра» для обозначения ассоциативной алгебры или унитарной ассоциативной алгебры , или в некоторых предметах, таких как алгебраическая геометрия , унитальной ассоциативной коммутативной алгебры .

Замена поля скаляров коммутативным кольцом приводит к более общему понятию алгебры над кольцом. Алгебры не следует путать с векторными пространствами, имеющими билинейную форму , такими как пространства внутреннего произведения , поскольку для такого пространства результат произведения находится не в пространстве, а в поле коэффициентов.

Определение и мотивация

Мотивирующие примеры

Определение

Пусть $K$ — поле , и пусть $A$ — векторное пространство над $K$ , снабженное дополнительной бинарной операцией от $A \times A$ до $A$ , обозначенной здесь $\cdot$ (то есть, если $x$ и $y$ — любые два элемента $A$ , то $x \cdot y$ — элемент $A$ $,$ который называется произведением x и $y$ ). Тогда $A$ является алгеброй над $K$ , если для всех элементов $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ в $A$ и всех элементов (часто называемых скалярами ) $a$ и $b$ в $K$ выполняются следующие тождества :

Правая дистрибутивность : $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$
Левая дистрибутивность: $z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y$
Совместимость со скалярами: $(ax) \cdot (by) = (ab) (x \cdot y)$ .

Эти три аксиомы — еще один способ сказать, что бинарная операция билинейна . Алгебра над $K$ $иногда$ также называется $K$ - алгеброй , а $K$ называется основным полем A. Бинарную операцию часто называют умножением в $A.$ Соглашение, принятое в этой статье, заключается в том, что умножение элементов алгебры не обязательно ассоциативно , хотя некоторые авторы используют термин «алгебра» для обозначения ассоциативной алгебры .

Когда бинарная операция в векторном пространстве коммутативна , левая дистрибутивность и правая дистрибутивность эквивалентны, и в этом случае доказательство требует только одна дистрибутивность. В общем случае для некоммутативных операций левая дистрибутивность и правая дистрибутивность не эквивалентны и требуют отдельных доказательств.

Базовые концепты

Алгебра гомоморфизмы

Для данных K -алгебр A и B гомоморфизм K -алгебры — это K - линейное отображение f : A → B такое , что f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) для всех x , y в A. Пространство всех гомоморфизмов K -алгебр между A и B часто записывается как

\mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).

Изоморфизм K -алгебры — это биективный гомоморфизм K -алгебры. Для всех практических целей изоморфные алгебры различаются только обозначениями.

Подалгебры и идеалы

Подалгебра алгебры над полем K — это линейное подпространство , обладающее тем свойством, что произведение любых двух ее элементов снова находится в этом подпространстве. Другими словами, подалгебра алгебры — это непустое подмножество элементов, замкнутое относительно сложения, умножения и скалярного умножения. Используя символы, мы говорим, что подмножество L K -алгебры A является подалгеброй, если для любых x , y в L и c в K мы имеем, что x · y , x + y и cx все находятся в L.

В приведенном выше примере комплексных чисел, рассматриваемых как двумерная алгебра над действительными числами, одномерная действительная линия является подалгеброй.

Левый идеал K -алгебры — это линейное подпространство, обладающее тем свойством, что любой элемент подпространства, умноженный слева на любой элемент алгебры, дает элемент подпространства . Символами мы говорим, что подмножество L K - алгебры A является левым идеалом, если для каждых x и y в L , z в A и c в K мы имеем следующие три утверждения.

x + y находится в L ( L замкнут при сложении),
cx находится в L ( L замкнут относительно скалярного умножения),
z · x находится в L ( L замкнута относительно умножения слева на произвольные элементы).

Если бы (3) было заменено на x · z в L , то это определило бы правый идеал . Двусторонний идеал — это подмножество, которое является одновременно левым и правым идеалом. Сам по себе термин «идеал» обычно понимается как обозначающий двусторонний идеал. Конечно, когда алгебра коммутативна, все эти понятия идеала эквивалентны. Условия (1) и (2) вместе эквивалентны тому, что L является линейным подпространством A . Из условия (3) следует, что всякий левый или правый идеал является подалгеброй.

Это определение отличается от определения идеала кольца тем, что здесь требуется условие (2). Конечно, если алгебра унитальна, то из условия (3) следует условие (2).

Расширение скаляров

Если у нас есть расширение поля F / K , то есть большее поле F , содержащее K , то существует естественный способ построить алгебру над F из любой алгебры над K. Это та же самая конструкция, которую используют для создания векторного пространства над большим полем, а именно тензорное произведение . Итак, если A — алгебра над K , то это алгебра над F. $V_{F}:=V\otimes _{K}F$ $A_{F}$

Виды алгебр и примеры

Алгебры над полями бывают разных типов. Эти типы определяются путем настаивания на некоторых дополнительных аксиомах, таких как коммутативность или ассоциативность операции умножения, которые не требуются в широком определении алгебры. Теории, соответствующие разным типам алгебр, часто сильно различаются.

Юнитальная алгебра

Алгебра является унитарной или унитарной , если она имеет единицу или единичный элемент I с Ix = x = xI для всех x в алгебре.

Нулевая алгебра

Алгебра называется нулевой алгеброй , если uv = 0 для всех u , v в алгебре, ^[2] не путать с алгеброй с одним элементом. Он по своей сути неединичен (за исключением случая только одного элемента), ассоциативен и коммутативен.

Можно определить нулевую алгебру с единицей , взяв прямую сумму модулей поля (или, в более общем смысле, кольца) K и K -векторного пространства (или модуля) V и определив произведение каждой пары элементов V как нуль. То есть, если λ , µ ∈ K и u , v ∈ V , то ( λ + u ) ( µ + v ) = λµ + ( λv + µu ) . Если e ₁ , ... ed _d является базисом V , алгебра нулей _с единицей является фактором кольца полиномов K [ E ₁ , ..., En ] по идеалу , порожденному E _i E _j для каждого пара ( я , j ) .

Примером алгебры с единицей нуля является алгебра двойственных чисел , R -алгебра с единицей нуля, построенная из одномерного вещественного векторного пространства.

Эти алгебры нулей с единицей могут быть более полезны, поскольку они позволяют перевести любое общее свойство алгебр в свойства векторных пространств или модулей . Например, теория базисов Грёбнера была введена Бруно Бухбергером для идеалов в кольце полиномов R = K [ x ₁ , ..., x _n ] над полем. Построение нулевой алгебры с единицей над свободным R -модулем позволяет расширить эту теорию как базисную теорию Грёбнера для подмодулей свободного модуля. Это расширение позволяет для вычисления базиса Грёбнера подмодуля использовать без каких-либо модификаций любой алгоритм и любое программное обеспечение для вычисления базиса Грёбнера идеалов.

Ассоциативная алгебра

Примеры ассоциативных алгебр включают

алгебра всех n -n матриц над полем (или коммутативным кольцом ) K . Здесь умножение — обычное умножение матриц .
групповые алгебры , где группа служит основой векторного пространства, а умножение алгебры расширяет групповое умножение.
коммутативная алгебра K [ x ] всех многочленов над K (см. кольцо полиномов ).
алгебры функций , такие как R -алгебра всех вещественных непрерывных функций, определенных на интервале [0,1], или C -алгебра всех голоморфных функций , определенных на некотором фиксированном открытом множестве в комплексной плоскости . Они также коммутативны.
Алгебры инцидентности строятся на некоторых частично упорядоченных множествах .
алгебры линейных операторов , например в гильбертовом пространстве . Здесь алгебраическое умножение задается композицией операторов . Эти алгебры также несут топологию ; многие из них определены в базовом банаховом пространстве , что превращает их в банаховые алгебры . Если задана еще и инволюция, то мы получаем В*-алгебры и С*-алгебры . Они изучаются в функциональном анализе .

Неассоциативная алгебра

Неассоциативная алгебра ^[3] (или дистрибутивная алгебра ) над полем K — это K -векторное пространство A , снабженное K - билинейным отображением . Использование слова «неассоциативный» здесь означает, что ассоциативность не предполагается, но это не означает, что она запрещена, то есть означает «не обязательно ассоциативный». $A\times A\rightarrow A$

Примеры, подробно описанные в основной статье, включают:

Евклидово пространство R ³ с умножением, заданным векторным произведением
Октонионы
Алгебры Ли
Жордановые алгебры
Альтернативные алгебры
Гибкие алгебры
Степенно-ассоциативные алгебры

Алгебры и кольца

Определение ассоциативной K -алгебры с единицей также часто дается альтернативным способом. В этом случае алгебра над полем K представляет собой кольцо A вместе с кольцевым гомоморфизмом

\eta \colon K\to Z(A),

где Z ( A ) — центр A. _ Поскольку η — кольцевой гомоморфизм , то либо A — нулевое кольцо , либо η инъективно . Это определение эквивалентно приведенному выше со скалярным умножением

K\times A\to A

данный

(k,a)\mapsto \eta (k)a.

Учитывая две такие ассоциативные унитальные K -алгебры A и B , гомоморфизм K -алгебры с единицей f : A → B является кольцевым гомоморфизмом, который коммутирует со скалярным умножением, определенным η , который можно записать как

f(ka)=kf(a)

для всех и . Другими словами, следующая диаграмма коммутирует: $k\in K$ $a\in A$

{\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}

Коэффициенты структуры

Для алгебр над полем билинейное умножение от A × A до A полностью определяется умножением базисных элементов A . И наоборот, как только базис для A выбран, произведения базисных элементов можно задать произвольно, а затем единственным образом расширить до билинейного оператора на A , т. е. так, чтобы полученное умножение удовлетворяло законам алгебры.

Таким образом, учитывая поле K , любую конечномерную алгебру можно определить с точностью до изоморфизма , указав ее размерность (скажем, n ) и указав n ³ структурных коэффициентов c _{i , j , k} , которые являются скалярами . Эти структурные коэффициенты определяют умножение в A по следующему правилу:

\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}

где e ₁ ,..., en _{образуют} базис A .

Однако обратите внимание, что несколько разных наборов структурных коэффициентов могут привести к изоморфным алгебрам.

В математической физике структурные коэффициенты обычно записываются с верхними и нижними индексами, чтобы различать их трансформационные свойства при преобразованиях координат. В частности, нижние индексы являются ковариантными индексами и преобразуются посредством откатов , тогда как верхние индексы являются контравариантными и преобразуются при проталкивании вперед . Таким образом, структурные коэффициенты часто обозначаются c _{i , j}^k , а их определяющее правило записывается с использованием обозначений Эйнштейна как

е _я е _j знак равно c _{я , j}^k е _k .

Если вы примените это к векторам, записанным в индексной нотации , то это станет

( xy ) ^k знак равно c _{я , j}^k Икс ^я y ^j .

Если K — только коммутативное кольцо, а не поле, то тот же процесс работает, если A — свободный модуль над K. Если это не так, то умножение по-прежнему полностью определяется его действием на наборе, охватывающем A ; однако в этом случае структурные константы не могут быть заданы произвольно, и знание только структурных констант не определяет алгебру с точностью до изоморфизма.

Классификация маломерных ассоциативных алгебр с единицей над комплексными числами

Двумерные, трехмерные и четырехмерные ассоциативные алгебры с единицей над полем комплексных чисел были полностью классифицированы с точностью до изоморфизма Эдуардом Стью . ^[4]

Существуют две такие двумерные алгебры. Каждая алгебра состоит из линейных комбинаций (с комплексными коэффициентами) двух базисных элементов: 1 (единичного элемента) и a . Согласно определению элемента идентичности,

\textstyle 1\cdot 1=1\,,\quad 1\cdot a=a\,,\quad a\cdot 1=a\,.

Осталось уточнить

\textstyle aa=1

для первой алгебры,

\textstyle aa=0

для второй алгебры.

Существует пять таких трехмерных алгебр. Каждая алгебра состоит из линейных комбинаций трех базисных элементов: 1 (единичный элемент), a и b . Принимая во внимание определение элемента идентичности, достаточно указать

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

для первой алгебры,

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

для второй алгебры,

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

для третьей алгебры,

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

для четвертой алгебры,

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

по пятой алгебре.

Четвертая из этих алгебр некоммутативна, а остальные коммутативны.

Обобщение: алгебра над кольцом.

В некоторых областях математики, таких как коммутативная алгебра , принято рассматривать более общую концепцию алгебры над кольцом , где коммутативное кольцо R заменяет поле K. Единственная часть определения, которая меняется, заключается в том, что A считается R -модулем (вместо K -векторного пространства).

Ассоциативные алгебры над кольцами

Кольцо A всегда является ассоциативной алгеброй над своим центром и над целыми числами . Классическим примером алгебры над своим центром является алгебра расщепленных бикватернионов , которая изоморфна , прямому произведению двух алгебр кватернионов . Центром этого кольца является , и, следовательно, оно имеет структуру алгебры над своим центром, который не является полем. Обратите внимание, что алгебра расщепленных бикватернионов также естественно является 8-мерной -алгеброй. $\mathbb {H} \times \mathbb {H}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

В коммутативной алгебре, если A — коммутативное кольцо , то любой гомоморфизм колец с единицей определяет структуру R -модуля на A , и это то, что известно как структура R -алгебры. ^[5] Таким образом, кольцо имеет естественную структуру -модуля, поскольку можно взять единственный гомоморфизм . ^[6] С другой стороны, не всем кольцам можно придать структуру алгебры над полем (например, целыми числами). См. Поле с одним элементом для описания попытки придать каждому кольцу структуру, которая ведет себя как алгебра над полем. $R\to A$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} \to A$

Смотрите также

Примечания

^ См. также Хазевинкель, Губарени и Кириченко 2004, с. 3 Предложение 1.1.1
^ Пролла, Жоао Б. (2011) [1977]. «Лемма 4.10». Приближение векторных функций . Эльзевир. п. 65. ИСБН 978-0-08-087136-3.
^ Шафер, Ричард Д. (1996). Введение в неассоциативные алгебры. ISBN 0-486-68813-5.
^ Исследование, Э. (1890), «Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen», Monatshefte für Mathematik , 1 (1): 283–354, doi : 10.1007/BF01692479, S2CID 121426669
^ Мацумура, Х. (1989). Коммутативная теория колец. Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 8. Перевод Рида М. (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-36764-6.
^ Кунц, Эрнст (1985). Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию . Биркгаузер. ISBN 0-8176-3065-1.