Банахова алгебра

Особый вид алгебраической структуры

В математике , особенно в функциональном анализе , банахова алгебра , названная в честь Стефана Банаха , — это ассоциативная алгебра над действительными или комплексными числами (или над неархимедовым полным нормированным полем ), которая в то же время является также банаховым пространством , т. е. , нормированное пространство , полное в метрике , индуцированной нормой. Норма необходима для удовлетворения ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad {\text{ for all }}x,y\in A.}$$

Это гарантирует непрерывность операции умножения .

Банахова алгебра называется унитарной, если она имеет единицу для умножения, норма которой является коммутативной , если ее умножение коммутативно . Любая банахова алгебра (независимо от того, имеет ли она единичный элемент или нет) может быть изометрически вложена в единичную банахову алгебру , чтобы сформировать замкнутый идеал . Часто априори предполагается , что рассматриваемая алгебра унитарна: большую часть теории можно развить, рассматривая и затем применяя результаты исходной алгебры. Однако это не всегда так. Например, невозможно определить все тригонометрические функции в банаховой алгебре без тождества. ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle A_{e}}$

Теория вещественных банаховых алгебр может сильно отличаться от теории комплексных банаховых алгебр. Например, спектр элемента нетривиальной комплексной банаховой алгебры никогда не может быть пустым, тогда как в реальной банаховой алгебре он может быть пустым для некоторых элементов.

Банаховы алгебры также могут быть определены над полями -адических чисел . Это часть -адического анализа . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Примеры

Прототипическим примером банаховой алгебры является пространство (комплекснозначных) непрерывных функций, определенных на локально компактном хаусдорфовом пространстве и исчезающих на бесконечности . унитарна тогда и только тогда, когда компактна . Комплексное сопряжение , являющееся инволюцией , фактически является C*-алгеброй . В более общем смысле каждая C*-алгебра по определению является банаховой алгеброй. ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$

• Множество действительных (или комплексных) чисел представляет собой банахову алгебру с нормой, заданной абсолютным значением .
• Множество всех действительных или комплексных матриц становится банаховой алгеброй с единицей, если мы снабжаем его субмультипликативной матричной нормой . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• Возьмем банахово пространство (или ) с нормой и определим умножение покомпонентно: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \|x\|=\max _{}|x_{i}|}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).}$
• Кватернионы образуют 4-мерную вещественную банахову алгебру, норма которой задается абсолютным значением кватернионов.
• Алгебра всех ограниченных вещественных или комплекснозначных функций, определенных на некотором множестве (с поточечным умножением и супремумной нормой ), является банаховой алгеброй с единицей.
• Алгебра всех ограниченных непрерывных вещественных или комплекснозначных функций на некотором локально компактном пространстве (опять же с поточечными операциями и супремум-нормой) является банаховой алгеброй.
• Алгебра всех непрерывных линейных операторов в банаховом пространстве (с функциональной композицией как умножение и операторной нормой как нормой) является банаховой алгеброй с единицей. Множество всех компактных операторов на является банаховой алгеброй и замкнутым идеалом. Оно не тождественно, если ^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \dim E=\infty .}$
• Если — локально компактная топологическая группа Хаусдорфа и — ее мера Хаара , то банахово пространство всех -интегрируемых функций на становится банаховой алгеброй при свертке для ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h)}$ ${\displaystyle x,y\in L^{1}(G).}$
• Равномерная алгебра : Банахова алгебра, которая является подалгеброй комплексной алгебры с нормой супремума и которая содержит константы и разделяет точки (которая должна быть компактным хаусдорфовым пространством). ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$
• Алгебра естественных банаховых функций : равномерная алгебра, все символы которой являются оценками в точках ${\displaystyle X.}$
• C*-алгебра : Банахова алгебра, являющаяся замкнутой *-подалгеброй алгебры ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве .
• Алгебра меры : Банахова алгебра, состоящая из всех мер Радона на некоторой локально компактной группе , где произведение двух мер задается сверткой мер . ^[2]
• Алгебра кватернионов является реальной банаховой алгеброй, но она не является комплексной алгеброй (и, следовательно, не комплексной банаховой алгеброй) по той простой причине, что центром кватернионов являются действительные числа, которые не могут содержать копию комплексного числа. цифры. ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• Аффиноидная алгебра — это определенный вид банаховой алгебры над неархимедовым полем. Аффиноидные алгебры являются основными строительными блоками жесткой аналитической геометрии .

Характеристики

Несколько элементарных функций , которые определяются через степенные ряды, могут быть определены в любой банаховой алгебре с единицей; примеры включают экспоненциальную функцию и тригонометрические функции , а также любую целую функцию . (В частности, экспоненциальное отображение можно использовать для определения абстрактных индексных групп .) Формула для геометрической прогрессии остается верной в общих банаховых алгебрах с единицей. Биномиальная теорема справедлива и для двух коммутирующих элементов банаховой алгебры.

Множество обратимых элементов в любой банаховой алгебре с единицей является открытым множеством , и операция обращения на этом множестве непрерывна (и, следовательно, является гомеоморфизмом), так что она образует топологическую группу при умножении. ^[3]

Если банахова алгебра имеет единицу, то она не может быть коммутатором ; то есть   для любого Это потому, что и имеют одинаковый спектр, за исключением, возможно, ${\displaystyle \mathbf {1} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} }$ ${\displaystyle x,y\in A.}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yx}$ ${\displaystyle 0.}$

Различные алгебры функций, приведенные в примерах выше, имеют свойства, сильно отличающиеся от стандартных примеров алгебр, таких как действительные числа. Например:

• Каждая действительная банахова алгебра, являющаяся телом , изоморфна действительным числам, комплексам или кватернионам. Следовательно, единственная комплексная банахова алгебра, являющаяся алгеброй с делением, — это комплексы. (Это известно как теорема Гельфанда–Мазура .)
• Любая вещественная банахова алгебра с единицей, не имеющая делителей нуля и в которой каждый главный идеал замкнут , изоморфна действительным числам, комплексам или кватернионам. ^[4]
• Любая коммутативная вещественная нётерова банахова алгебра с единицей без делителей нуля изоморфна действительным или комплексным числам.
• Любая коммутативная вещественная нетерова банахова алгебра с единицей (возможно, имеющая делители нуля) конечномерна.
• Постоянно сингулярные элементы в банаховых алгебрах являются топологическими дивизорами нуля , то есть, учитывая расширения банаховых алгебр, некоторые элементы, сингулярные в данной алгебре, имеют мультипликативный обратный элемент в расширении банаховой алгебры. Топологические делители нуля в постоянно сингулярны в любой банаховой алгебре. продление​ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

Спектральная теория

Банаховы алгебры с единицей над комплексным полем обеспечивают общую основу для развития спектральной теории. Спектр элемента, обозначаемого , состоит из всех тех комплексных скаляров , которые не обратимы в. Спектр любого элемента является замкнутым подмножеством замкнутого круга с радиусом и центром и, следовательно, компактен . При этом спектр элемента непуст и удовлетворяет формуле спектрального радиуса : ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x-\lambda \mathbf {1} }$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \|x\|}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}$$

Учитывая, что голоморфное функциональное исчисление позволяет определить для любой функции , голоморфной в окрестности Кроме того, справедлива теорема о спектральном отображении: ^[5] ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle f(x)\in A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (x).}$

$${\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x)).}$$

Когда банахова алгебра является алгеброй ограниченных линейных операторов на комплексном банаховом пространстве (например, алгеброй квадратных матриц), понятие спектра в совпадает с обычным в теории операторов . Для (с компактом Хаусдорфовым пространством ) видно, что: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f\in C(X)}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.}$$

Норма нормального элемента С*-алгебры совпадает с ее спектральным радиусом. Это обобщает аналогичный факт для нормальных операторов. ${\displaystyle x}$

Пусть – комплексная банахова алгебра с единицей, в которой каждый ненулевой элемент обратим (алгебра с делением). Для каждой существует такая, которая не обратима (поскольку спектр не пуст), следовательно, эта алгебра естественно изоморфна (сложный случай теоремы Гельфанда–Мазура). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=\lambda \mathbf {1} :}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Идеалы и характеры

Пусть – коммутативная банахова алгебра с единицей над. Так как тогда коммутативное кольцо с единицей, каждый необратимый элемент принадлежит некоторому максимальному идеалу кольца. Поскольку максимальный идеал в замкнут, является банаховой алгеброй, являющейся полем, и это следует из теорема Гельфанда-Мазура о том, что существует биекция между множеством всех максимальных идеалов и множеством всех ненулевых гомоморфизмов от до . Множество называется « структурным пространством » или «пространством символов», а его члены — «характерами». ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle A,}$

Характер представляет собой линейный функционал , который в то же время является мультипликативным и удовлетворяет условиям . Каждый характер автоматически непрерывен от до , поскольку ядро ​​характера является максимальным идеалом, который замкнут. При этом норма (т. е. операторная норма) персонажа одна. Пространство характеров , снабженное топологией поточечной сходимости (т. е. топологией, индуцированной слабой топологией ), является хаусдорфовым компактом. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b),}$ ${\displaystyle \chi (\mathbf {1} )=1.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \Delta (A),}$

Для любого ${\displaystyle x\in A,}$

$${\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})}$$

представление Гельфанда ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {x}}(\chi )=\chi (x).}$ ${\displaystyle {\hat {x}},}$ ${\displaystyle C(\Delta (A))}$ ${\displaystyle \Delta (A).}$

$${\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.}$$

Коммутативная банахова алгебра с единицей как алгебра полупроста (т. е. ее радикал Джекобсона равен нулю) тогда и только тогда, когда ее представление Гельфанда имеет тривиальное ядро. Важным примером такой алгебры является коммутативная С*-алгебра. Действительно, если — коммутативная единичная C*-алгебра, то представление Гельфанда является тогда изометрическим *-изоморфизмом между и ^[a] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(\Delta (A)).}$

Банаховы *-алгебры

Банахова *-алгебра — это банахова алгебра над полем комплексных чисел вместе с отображением , обладающим следующими свойствами: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{*}:A\to A}$

1. ${\displaystyle \left(x^{*}\right)^{*}=x}$для всех (поэтому карта является инволюцией ). ${\displaystyle x\in A}$
2. ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$для всех ${\displaystyle x,y\in A.}$
3. ${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}}$для каждого здесь обозначает комплексно -сопряженное число ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in A;}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda .}$
4. ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$для всех ${\displaystyle x,y\in A.}$

Другими словами, банахова *-алгебра — это банахова алгебра над ней, которая также является *-алгеброй . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

В большинстве естественных примеров также имеет место, что инволюция изометрична , т. е.

$${\displaystyle \|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.}$$

Банахова *-алгебра, удовлетворяющая условиям, является C*-алгеброй . ${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}$

Смотрите также

• Приблизительная идентичность  – более абстрактноPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Гипотеза Капланского  - Многочисленные гипотезы математика Ирвинга КапланскиPages displaying short descriptions of redirect targets
• Операторная алгебра  - раздел функционального анализа.
• Шиловский рубеж

Примечания

1. Доказательство: поскольку каждый элемент коммутативной C*-алгебры нормален, представление Гельфанда изометрично; в частности, оно инъективно и его образ замкнут. Но образ представления Гельфанда плотен по теореме Стоуна–Вейерштрасса .

Рекомендации

1. Конвей 1990, Пример VII.1.8.
2. Conway 1990, Пример VII.1.9.
3. Конвей 1990, Теорема VII.2.2.
4. Гарсиа, Мигель Кабрера; Паласиос, Анхель Родригес (1995). «Новое простое доказательство теоремы Гельфанда-Мазура-Капланского». Труды Американского математического общества . 123 (9): 2663–2666. дои : 10.2307/2160559. ISSN  0002-9939. JSTOR  2160559.
5. Такесаки 1979, Предложение 2.8.

• Боллобас, Б (1990). Линейный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38729-9.
• Бонсолл, ФФ ; Дункан, Дж. (1973). Полные нормированные алгебры . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
• Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике. Том. 96. Спрингер Верлаг . ISBN 0-387-97245-5.
• Дейлс, ХГ; Эйна, П.; Эшмайер, Дж; Лаурсен, К.; Уиллис, Джорджия (2003). Введение в банаховы алгебры, операторы и гармонический анализ . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511615429. ISBN 0-521-53584-0.
• Мосак, Р.Д. (1975). Банаховые алгебры . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета). ISBN 0-226-54203-3.
• Такесаки, М. (1979). Теория операторных алгебр I . Энциклопедия математических наук. Том. 124 (1-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42248-8. ISSN  0938-0396.