Обычный оператор

(в комплексном гильбертовом пространстве) непрерывный линейный оператор

В математике , особенно в функциональном анализе , нормальный оператор в комплексном гильбертовом пространстве H — это непрерывный линейный оператор N  : H → H , который коммутирует со своим эрмитовым сопряженным N* , то есть: NN* = N*N . ^[1]

Нормальные операторы важны, поскольку для них справедлива спектральная теорема . Класс нормальных операторов хорошо изучен. Примеры обычных операторов:

• унитарные операторы : N* = N ⁻¹
• Эрмитовы операторы (т.е. самосопряженные операторы): N* = N
• косоэрмитовые операторы: N* = − N
• положительные операторы : N = MM* для некоторого M (поэтому N самосопряжено).

Нормальная матрица — это матричное выражение нормального оператора в гильбертовом ^{пространстве} Cn .

Характеристики

Нормальные операторы характеризуются спектральной теоремой . Компактный нормальный оператор (в частности, нормальный оператор в конечномерном пространстве скалярного произведения ) унитарно диагонализуем. ^[2]

Пусть – ограниченный оператор. Следующие ниже эквивалентны. ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle T}$нормально.
• ${\displaystyle T^{\star }}$нормально.
• ${\displaystyle \|Tx\|=\|T^{*}x\|}$для всех (используйте ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\langle T^{*}Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\|T^{*}x\|^{2}}$
• Самосопряженная и антисамосопряженная части пути на работу. То есть, если написано как с и то ^{[примечание 1]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=T_{1}+iT_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}}$ ${\displaystyle i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},}$ ${\displaystyle T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.}$

Если это обычный оператор, то и у него то же ядро ​​и тот же диапазон. Следовательно, образ плотен тогда и только тогда, когда инъективен. ^{[ нужны разъяснения ]} Другими словами, ядро ​​нормального оператора является ортогональным дополнением его диапазона. Отсюда следует, что ядро ​​оператора совпадает с ядром для любого. Таким образом, каждое обобщенное собственное значение нормального оператора является подлинным. является собственным значением нормального оператора тогда и только тогда, когда его комплексно-сопряженное число является собственным значением собственных векторов нормального оператора, соответствующих различным собственным значениям, ортогонально, а нормальный оператор стабилизирует ортогональное дополнение каждого из своих собственных пространств. ^[3] Отсюда следует обычная спектральная теорема: каждый нормальный оператор в конечномерном пространстве диагонализуем унитарным оператором. Существует также бесконечномерная версия спектральной теоремы, выраженная через проекционнозначные меры . Остаточный спектр нормального оператора пуст. ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{*}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{k}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$ ${\displaystyle N^{*}.}$

Произведение обычных коммутирующих операторов снова является нормальным; это нетривиально, но следует непосредственно из теоремы Фугледа , которая утверждает (в форме, обобщенной Патнэмом):

Если и — нормальные операторы, а если — ограниченный линейный оператор такой, что тогда . ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle N_{1}A=AN_{2},}$ ${\displaystyle N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}}$

Операторная норма нормального оператора равна его числовому радиусу ^{[ необходимо уточнение ]} и спектральному радиусу .

Нормальный оператор совпадает со своим преобразованием Алутге .

Свойства в конечномерном случае

Если нормальный оператор T в конечномерном вещественном ^{[ необходимо пояснение ]} или комплексном гильбертовом пространстве (пространстве внутреннего произведения) H стабилизирует подпространство V , то он также стабилизирует его ортогональное дополнение V ^⊥ . (Это утверждение тривиально в случае, когда T самосопряжено.)

Доказательство. Пусть P _V — ортогональный проектор на V . Тогда ортогональная проекция на V ^⊥ равна 1 _H − P _V . Тот факт, что T стабилизирует V, _можно выразить как ( 1 _H − P _V ) TP _V = 0 или TP _V = PV TP _V . Цель состоит в том, чтобы показать, что P _V T ( 1 _H − P _V ) = 0.

Пусть X знак равно п _V Т ( 1 _ЧАС - п _V ). Поскольку ( A , B ) ↦ tr( AB* ) является скалярным произведением в пространстве эндоморфизмов H , достаточно показать, что tr( XX* ) = 0. Прежде всего заметим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}XX^{*}&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}\\&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\\&=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.\end{aligned}}}$

Теперь, используя свойства следа и ортогональных проекций, имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{using the hypothesis that }}T{\text{ stabilizes }}V\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{aligned}}}$

Тот же аргумент справедлив и для компактных нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах, где используется скалярное произведение Гильберта-Шмидта , определяемое формулой tr( AB* ), интерпретируемое соответствующим образом. ^[4] Однако для ограниченных нормальных операторов ортогональное дополнение к стабильному подпространству может не быть стабильным. ^[5] Отсюда следует, что гильбертово пространство, вообще говоря, не может быть затянуто собственными векторами нормального оператора. Рассмотрим, например, двусторонний сдвиг (или двусторонний сдвиг), действующий на , который является нормальным, но не имеет собственных значений. ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Инвариантные подпространства сдвига, действующего на пространство Харди, характеризуются теоремой Берлинга .

Нормальные элементы алгебр

Понятие нормальных операторов обобщается на инволютивную алгебру:

Элемент x инволютивной алгебры называется нормальным, если xx* = x*x .

Самосопряженные и унитарные элементы являются нормальными.

Наиболее важный случай — когда такая алгебра является С*-алгеброй .

Неограниченные нормальные операторы

Определение нормальных операторов естественным образом обобщается на некоторый класс неограниченных операторов. Явно замкнутый оператор N называется нормальным, если

${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}.}$

Здесь существование присоединенного N* требует, чтобы область определения N была плотной, а равенство включает утверждение, что область определения N*N равна области определения NN* , что в общем случае не обязательно так.

Эквивалентно нормальные операторы — это именно те, для которых ^[6]

${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|\qquad }$

с

${\displaystyle {\mathcal {D}}(N)={\mathcal {D}}(N^{*}).}$

Спектральная теорема по-прежнему справедлива для неограниченных (нормальных) операторов. Доказательства основаны на сведении к ограниченным (нормальным) операторам. ^{[7] [8]}

Обобщение

Успех теории нормальных операторов привел к нескольким попыткам обобщения путем ослабления требования коммутативности. Классы операторов, включающие нормальные операторы (в порядке включения):

• Гипонормальные операторы
• Нормалоиды
• Паранормальные операторы
• Квазинормальные операторы
• Субнормальные операторы

Смотрите также

• Непрерывный линейный оператор
• Сжатие (теория операторов)  - Ограниченные операторы с субъединичной нормой

Примечания

1. Напротив, для важного класса операторов рождения и уничтожения , например, квантовой теории поля , они не коммутируют.

Рекомендации

1. Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971), Линейная алгебра (2-е изд.), Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., стр. 312, МР  0276251
2. Хоффман и Кунце (1971), с. 317.
3. Нейлор, Арч В.; Продать Джорджа Р. (1982). Теория линейных операторов в технике и науке. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-95001-3. Архивировано из оригинала 26 июня 2021 г. Проверено 26 июня 2021 г.
4. Андо, Цуёси (1963). «Замечание об инвариантных подпространствах компактного нормального оператора». Архив математики . 14 : 337–340. дои : 10.1007/BF01234964. S2CID  124945750.
5. Гаррет, Пол (2005). «Операторы в гильбертовых пространствах» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 сентября 2011 г. Проверено 1 июля 2011 г.
6. Вайдманн, Линейные операторы в Хильбертраумене, Глава 4, Раздел 3
7. Александр Фрей, Спектральные меры, Обмен математическими стеками, Существование, архивировано 26 июня 2021 г. в Wayback Machine , Уникальность, архивировано 26 июня 2021 г. в Wayback Machine
8. Джон Б. Конвей , Курс функционального анализа, второе издание, глава X, раздел §4