Положительный оператор

В математике (в частности, в линейной алгебре , теории операторов и функциональном анализе ), а также в физике линейный оператор, действующий на пространстве скалярного произведения, называется положительно-полуопределенным (или неотрицательным ), если для каждого и , где — область определения . Положительно-полуопределенные операторы обозначаются как . Оператор называется положительно-определенным и записывается , если для всех . ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} (A)}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\geq 0}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle >0,}$ ${\displaystyle x\in \mathop {\mathrm {Dom} } (A)\setminus \{0\}}$

Многие авторы определяют положительный оператор как самосопряженный (или, по крайней мере, симметричный) неотрицательный оператор. Ниже мы покажем, что для комплексного гильбертова пространства самосопряженность автоматически следует из неотрицательности. Для действительного гильбертова пространства неотрицательность не означает самосопряженность. ${\displaystyle A}$

В физике (в частности, в квантовой механике ) такие операторы представляют квантовые состояния посредством формализма матрицы плотности .

Неравенство Коши–Шварца

Возьмем скалярное произведение антилинейным по первому аргументу и линейным по второму и предположим, что оно положительно и симметрично, последнее означает, что . Тогда неотрицательность ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A(\lambda x+\mu y),\lambda x+\mu y\rangle =|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}\langle Ay,x\rangle +|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \\[1mm]=|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}(\langle Ax,y\rangle )^{*}+|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \end{aligned}}}$

для всех сложных и показывает, что ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \left|\langle Ax,y\rangle \right|^{2}\leq \langle Ax,x\rangle \langle Ay,y\rangle .}$

Отсюда следует, что если определено всюду, то ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A\perp \mathop {\text{Ker}} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =0,}$ ${\displaystyle Ax=0.}$

В комплексном гильбертовом пространстве, если оператор неотрицателен, то он симметричен.

Для поляризационной идентичности ${\displaystyle x,y\in \operatorname {Dom} A,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle Ax,y\rangle ={\frac {1}{4}}({}&\langle A(x+y),x+y\rangle -\langle A(x-y),x-y\rangle \\[1mm]&{}-i\langle A(x+iy),x+iy\rangle +i\langle A(x-iy),x-iy\rangle )\end{aligned}}}$

и тот факт, что для положительных операторов это симметрично. ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,}$ ${\displaystyle A}$

В отличие от комплексного случая, положительно-полуопределенный оператор в вещественном гильбертовом пространстве может не быть симметричным. В качестве контрпримера определим как оператор поворота на острый угол Тогда но так не является симметричным. ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \varphi \in (-\pi /2,\pi /2).}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\|Ax\|\|x\|\cos \varphi >0,}$ ${\displaystyle A^{*}=A^{-1}\neq A,}$ ${\displaystyle A}$

Если оператор неотрицателен и определен во всем гильбертовом пространстве, то он самосопряжен иограниченный

Симметрия подразумевает, что и Для того , чтобы быть самосопряженным, необходимо, чтобы В нашем случае равенство областей имеет место, поскольку так что действительно является самосопряженным. Тот факт, что ограничено, теперь следует из теоремы Хеллингера–Теплица . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*}}$ ${\displaystyle A=A^{*}|_{\operatorname {Dom} (A)}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}.}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Это свойство не сохраняется ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }.}$

Частичный порядок самосопряженных операторов

Естественное частичное упорядочение самосопряженных операторов возникает из определения положительных операторов. Определим, выполняются ли следующие условия: ${\displaystyle B\geq A}$

1. ${\displaystyle A}$и являются самосопряженными ${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle B-A\geq 0}$

Можно видеть, что аналогичный результат, как теорема о монотонной сходимости, справедлив для монотонно возрастающих , ограниченных, самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах. ^[2]

Применение в физике: квантовые состояния

Определение квантовой системы включает в себя комплексное сепарабельное гильбертово пространство и набор положительных операторов класса следов на , для которого Набор является набором состояний . Каждое называется состоянием или оператором плотности . Для , где оператор проекции на промежуток называется чистым состоянием . (Поскольку каждое чистое состояние идентифицируется с единичным вектором, некоторые источники определяют чистые состояния как единичные элементы из Состояния, которые не являются чистыми, называются смешанными . ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathop {\text{Trace}} \rho =1.}$ ${\displaystyle {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \rho \in {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \psi \in H_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle \|\psi \|=1,}$ ${\displaystyle P_{\psi }}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \in H_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }).}$

Ссылки

1. Роман 2008, стр. 250 §10
2. Эйдельман, Юлий, Виталий Д. Мильман и Антонис Цоломитис. 2004. Функциональный анализ: введение. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество.

• Конвей, Джон Б. (1990), Функциональный анализ: Введение , Springer Verlag , ISBN 0-387-97245-5
• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Graduate Texts in Mathematics (Третье изд.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5