Квантовое состояние

Математическая сущность, описывающая вероятность каждого возможного измерения в системе.

В квантовой физике квантовое состояние — это математическая сущность, воплощающая знания о квантовой системе. Квантовая механика определяет построение, эволюцию и измерение квантового состояния. Результатом является квантовомеханическое предсказание системы, представленной состоянием. Знание квантового состояния и квантовомеханических правил эволюции системы во времени исчерпывает все, что можно знать о квантовой системе.

Квантовые состояния могут определяться по-разному для разных типов систем или проблем. Две широкие категории:

• волновые функции , описывающие квантовые системы с использованием переменных положения или импульса и
• более абстрактные векторные квантовые состояния.

Исторические, образовательные и прикладные задачи обычно связаны с волновыми функциями; современная профессиональная физика использует абстрактные векторные состояния. В обеих категориях квантовые состояния делятся на чистые и смешанные состояния или на когерентные и некогерентные состояния. Категории с особыми свойствами включают стационарные состояния для независимости от времени и состояния квантового вакуума в квантовой теории поля .

Из состояний классической механики

Как инструмент физики квантовые состояния выросли из состояний классической механики . Классическое динамическое состояние состоит из набора динамических переменных с четко определенными действительными значениями в каждый момент времени. ^{[1] : 3} Например, состояние пушечного ядра будет состоять из его положения и скорости. Значения состояния развиваются в соответствии с уравнениями движения и, таким образом, остаются строго определенными. Если мы знаем положение пушки и скорость выхода ее снарядов, то мы можем использовать уравнения, содержащие силу гравитации, чтобы точно предсказать траекторию пушечного ядра.

Точно так же квантовые состояния состоят из наборов динамических переменных, которые развиваются под действием уравнений движения. Однако значения, полученные из квантовых состояний, представляют собой комплексные числа , квантованные , ограниченные соотношениями неопределенностей ^{[1] : 159} и обеспечивающие только распределение вероятностей результатов для системы. Эти ограничения изменяют природу квантовых динамических переменных. Например, квантовое состояние электрона в эксперименте с двумя щелями будет состоять из комплексных значений в области обнаружения и, возведенное в квадрат, предсказывать только вероятностное распределение количества электронов по детектору.

Роль в квантовой механике

Процесс описания квантовой системы с помощью квантовой механики начинается с идентификации набора переменных, определяющих квантовое состояние системы. ^{[1] : 204} Набор будет содержать совместимые и несовместимые переменные . Одновременное измерение полного набора совместимых переменных переводит систему в уникальное состояние. Затем состояние детерминировано развивается в соответствии с уравнениями движения . Последующее измерение состояния создает выборку из распределения вероятностей, предсказанного квантово-механическим оператором, соответствующим измерению.

Фундаментально статистический или вероятностный характер квантовых измерений меняет роль квантовых состояний в квантовой механике по сравнению с классическими состояниями в классической механике. В классической механике измеряется начальное состояние одного или нескольких тел; состояние развивается согласно уравнениям движения; измерения конечного состояния сравниваются с прогнозами. В квантовой механике ансамбли одинаково подготовленных квантовых состояний развиваются в соответствии с уравнениями движения, и многие повторные измерения сравниваются с предсказанными распределениями вероятностей. ^{[1] : 204}

Измерения

Измерения — макроскопическая операция над квантовым состоянием — фильтруют это состояние. ^{[1] : 196} Каким бы ни было входное квантовое состояние, повторные идентичные измерения дают согласованные значения. По этой причине измерения «подготавливают» квантовые состояния для экспериментов, переводя систему в частично определенное состояние. Последующие измерения могут либо дополнительно подготовить систему (это совместимые измерения), либо изменить состояние, переопределив его — такие измерения называются несовместимыми или дополнительными измерениями. Например, мы можем измерить импульс состояния вдоль оси любое количество раз и получить один и тот же результат, но если мы измерим положение после однократного измерения импульса, последующие измерения импульса изменятся. Квантовое состояние неизбежно изменяется в результате несовместимых измерений. Это известно как принцип неопределенности . ${\displaystyle x}$

Собственные состояния и чистые состояния

Квантовое состояние после измерения находится в собственном состоянии , соответствующем этому измерению и измеренному значению. ^{[1] : 202} Другие аспекты состояния могут быть неизвестны. Повторение измерения не изменит состояние. В некоторых случаях совместимые измерения могут дополнительно уточнить состояние, сделав его собственным состоянием, соответствующим всем этим измерениям. ^[2] Полный набор совместимых измерений дает чистое состояние . Любое состояние, которое не является чистым, называется смешанным состоянием ^{[1] : 204} (см. смешанные состояния ниже).

Решения в собственных состояниях уравнения Шредингера могут быть преобразованы в чистые состояния. Эксперименты редко приводят к чистым состояниям. Поэтому статистические смеси растворов необходимо сравнивать с экспериментами. ^{[1] : 204}

Представительства

Одно и то же физическое квантовое состояние может быть выражено математически разными способами, называемыми представлениями . ^[1] Позиционная волновая функция — это одно из представлений, которое часто впервые встречается во введениях в квантовую механику. Эквивалентная волновая функция импульса - это еще одно представление, основанное на волновой функции. Представления аналогичны системам координат ^{[1] :244} или аналогичным математическим устройствам, таким как параметрические уравнения . Выбор представления облегчит некоторые аспекты проблемы за счет усложнения других задач.

В формальной квантовой механике (см. ниже) теория развивается в терминах абстрактного « векторного пространства », избегая какого-либо конкретного представления. Это позволяет выражать и применять многие элегантные концепции квантовой механики даже в тех случаях, когда классического аналога не существует. ^{[1] : 244}

Представления волновых функций

Волновые функции представляют собой квантовые состояния, особенно если они являются функциями положения или импульса . Исторически в определениях квантовых состояний использовались волновые функции до того, как были разработаны более формальные методы. ^{[3] : 268} Волновая функция — это комплексная функция любого полного набора коммутирующих или совместимых степеней свободы . Например, одним из наборов могут быть пространственные координаты электрона. Подготовка системы путем измерения полного набора совместимых дает чистое квантовое состояние . Чаще всего неполная подготовка приводит к смешанному квантовому состоянию . Решения волновых функций уравнений движения Шредингера для операторов, соответствующих измерениям, можно легко выразить в виде чистых состояний; их необходимо объединить со статистическими весами, соответствующими подготовке эксперимента, чтобы вычислить ожидаемое распределение вероятностей. ^{[1] : 205} ${\displaystyle x,y,z}$

.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}Чистые состояния волновых функций

Плотности вероятности для электрона атома водорода в различных квантовых состояниях.

Численные или аналитические решения в квантовой механике могут быть выражены в виде чистых состояний . Эти состояния решения, называемые собственными состояниями , помечены квантованными значениями, обычно квантовыми числами . Например, когда мы имеем дело с энергетическим спектром электрона в атоме водорода , соответствующие чистые состояния идентифицируются главным квантовым числом n , квантовым числом углового момента ℓ , магнитным квантовым числом m и спиновой z -компонентой s. _з . Другой пример: если спин электрона измеряется в любом направлении, например, с помощью эксперимента Штерна-Герлаха , есть два возможных результата: вверх или вниз. Чистое состояние здесь представлено двумерным комплексным вектором длиной, равным единице; то есть с ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$

$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,}$$

значения ${\displaystyle |\alpha |}$ ${\displaystyle |\beta |}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Постулаты квантовой механики утверждают, что чистые состояния в данный момент времени t соответствуют векторам в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве , в то время как каждая измеримая физическая величина (например, энергия или импульс частицы ) связана с математическим оператором , называемым наблюдаемый . Оператор служит линейной функцией , воздействующей на состояния системы. Собственные значения оператора соответствуют возможным значениям наблюдаемой. Например, можно наблюдать частицу с импульсом 1 кг⋅м/с тогда и только тогда, когда одно из собственных значений оператора импульса равно 1 кг⋅м/с. Соответствующий собственный вектор (который физики называют собственным состоянием ) с собственным значением 1 кг⋅м/с будет квантовым состоянием с определенным, четко определенным значением импульса 1 кг⋅м/с, без квантовой неопределенности . Если бы его импульс был измерен, результат гарантированно был бы 1 кг⋅м/с.

С другой стороны, система в суперпозиции множества различных собственных состояний, как правило, имеет квантовую неопределенность для данной наблюдаемой. Используя обозначение Бракета , эту линейную комбинацию собственных состояний можно представить как:

$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle .}$$

оператором эволюции во времени

Смешанные состояния волновых функций

Смешанное квантовое состояние соответствует вероятностной смеси чистых состояний; однако различные распределения чистых состояний могут порождать эквивалентные (т. е. физически неразличимые) смешанные состояния. Смесь квантовых состояний снова является квантовым состоянием.

Смешанное состояние для спинов электронов в формулировке матрицы плотности имеет структуру матрицы, которая является эрмитовой и положительно полуопределенной, и имеет след 1. ^[4] Приведен более сложный случай (в обозначениях бра-кета ) синглетным состоянием , которое иллюстрирует квантовую запутанность : ${\displaystyle 2\times 2}$

$${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigr )},}$$

суперпозицию1 ⁄ 2

Чистое квантовое состояние может быть представлено лучом в проективном гильбертовом пространстве над комплексными числами , тогда как смешанные состояния представлены матрицами плотности , которые являются положительно полуопределенными операторами , действующими в гильбертовых пространствах. ^{[5] [6]} Теорема Шредингера-ХЮВ классифицирует множество способов записать данное смешанное состояние как выпуклую комбинацию чистых состояний. ^[7] Прежде чем выполнить конкретное измерение квантовой системы, теория дает только распределение вероятностей результата, и форма, которую принимает это распределение, полностью определяется квантовым состоянием и линейными операторами, описывающими измерение. Распределения вероятностей для различных измерений демонстрируют компромиссы, примером которых является принцип неопределенности : состояние, которое предполагает узкий разброс возможных результатов для одного эксперимента, обязательно подразумевает широкий разброс возможных результатов для другого.

Статистические смеси состояний представляют собой другой тип линейной комбинации. Статистическая смесь состояний представляет собой статистический ансамбль независимых систем. Статистические смеси представляют собой степень знания, тогда как неопределенность в квантовой механике является фундаментальной. Математически статистическая смесь — это не комбинация, использующая комплексные коэффициенты, а скорее комбинация, использующая действительные положительные вероятности различных состояний . Число представляет вероятность того, что случайно выбранная система окажется в состоянии . В отличие от случая линейной комбинации каждая система находится в определенном собственном состоянии. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Ожидаемое значение наблюдаемой A — это среднее статистическое измеренных значений наблюдаемой. Именно это среднее значение и распределение вероятностей предсказываются физическими теориями. ${\displaystyle {\langle A\rangle }_{\sigma }}$

Не существует состояния, которое одновременно было бы собственным состоянием для всех наблюдаемых. Например, мы не можем подготовить состояние, в котором точно известны как измерение положения Q ( t ) , так и измерение импульса P ( t ) (одновременно t ); по крайней мере один из них будет иметь диапазон возможных значений. ^[а] Это содержание соотношения неопределенностей Гейзенберга .

Более того, в отличие от классической механики, при измерении системы неизбежно происходит изменение ее состояния . ^{[10] [11] [b]} Точнее: после измерения наблюдаемой A система будет находиться в собственном состоянии A ; таким образом, состояние изменилось, если только система еще не находилась в этом собственном состоянии. Это выражает своего рода логическую последовательность: если мы измерим А дважды в одном и том же эксперименте, причем измерения будут прямо последовательными во времени, ^[c] , то они дадут одни и те же результаты. Однако это имеет некоторые странные последствия.

Рассмотрим две несовместимые наблюдаемые , A и B , где A соответствует измерению, более раннему, чем B. ^[d] Предположим, что в начале эксперимента система находится в собственном состоянии B. Если мы измеряем только B , все серии эксперимента дадут одинаковый результат. Если мы сначала измерим A , а затем B в одном и том же эксперименте, система перейдет в собственное состояние A после первого измерения, и мы обычно заметим, что результаты B являются статистическими. Таким образом: Квантово-механические измерения влияют друг на друга , и важен порядок, в котором они выполняются.

Другая особенность квантовых состояний становится актуальной, если мы рассмотрим физическую систему, состоящую из множества подсистем; например, эксперимент с двумя частицами, а не с одной. Квантовая физика допускает определенные состояния, называемые запутанными состояниями , которые демонстрируют определенные статистические корреляции между измерениями двух частиц, которые не могут быть объяснены классической теорией. Подробнее см. запутанность . Эти запутанные состояния приводят к экспериментально проверяемым свойствам ( теореме Белла ), которые позволяют нам различать квантовую теорию и альтернативные классические (неквантовые) модели.

Изображение Шредингера против изображения Гейзенберга

Можно считать наблюдаемые зависящими от времени, тогда как состояние σ было зафиксировано один раз в начале эксперимента. Этот подход называется картиной Гейзенберга . (Этот подход был использован в более поздней части обсуждения выше, с изменяющимися во времени наблюдаемыми P ( t ) , Q ( t ) .) Можно, эквивалентно, рассматривать наблюдаемые как фиксированные, в то время как состояние системы зависит от времени ; это известно как картина Шрёдингера . (Этот подход был использован в предыдущей части обсуждения выше с изменяющимся во времени состоянием .) Концептуально (и математически) эти два подхода эквивалентны; выбор одного из них является вопросом соглашения. ${\textstyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle }$

Обе точки зрения используются в квантовой теории. В то время как нерелятивистская квантовая механика обычно формулируется в терминах картины Шредингера, картина Гейзенберга часто отдается предпочтение в релятивистском контексте, то есть для квантовой теории поля . Сравните с картиной Дирака . ^{[13] : 65}

Формализм в квантовой физике

Чистые состояния как лучи в комплексном гильбертовом пространстве.

Квантовая физика чаще всего формулируется в терминах линейной алгебры следующим образом. Любая данная система отождествляется с некоторым конечно- или бесконечномерным гильбертовым пространством . Чистые состояния соответствуют векторам с нормой 1. Таким образом, набор всех чистых состояний соответствует единичной сфере в гильбертовом пространстве, поскольку единичная сфера определяется как набор всех векторов с нормой 1.

Умножение чистого состояния на скаляр физически несущественно (пока состояние рассматривается само по себе). Если вектор в комплексном гильбертовом пространстве может быть получен из другого вектора путем умножения на некоторое ненулевое комплексное число, говорят, что два вектора в соответствуют одному и тому же лучу в проективном гильбертовом пространстве . Обратите внимание, что хотя используется слово луч , собственно говоря, точка проективного гильбертова пространства соответствует линии , проходящей через начало гильбертова пространства, а не полупрямой или лучу в геометрическом смысле . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle H}$

Обозначение Бра-кета

В вычислениях в квантовой механике часто используются линейные операторы , скалярные произведения, двойственные пространства и эрмитово сопряжение . Чтобы сделать такие вычисления плавными и сделать ненужным (в некоторых контекстах) полное понимание лежащей в основе линейной алгебры, Поль Дирак изобрел нотацию для описания квантовых состояний, известную как нотация брекета . Хотя подробности этого выходят за рамки данной статьи, некоторые последствия этого таковы:

• Выражение, используемое для обозначения вектора состояния (который соответствует чистому квантовому состоянию), принимает форму (где « » можно заменить любыми другими символами, буквами, цифрами или даже словами). Это можно противопоставить обычным математическим обозначениям, где векторы обычно представляют собой строчные латинские буквы, и из контекста ясно, что они действительно являются векторами. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \psi }$
• Дирак определил два вида векторов, бра и кет , двойственных друг другу. ^[э]
• Каждый кет однозначно связан с так называемым бюстгальтером , обозначаемым , который соответствует тому же физическому квантовому состоянию. Технически бюстгальтер является дополнением кету. Это элемент дуального пространства , связанный с кетом теоремой о представлении Рисса . В конечномерном пространстве с выбранным ортонормированным базисом, записываемым как вектор-столбец, является вектор-строка; чтобы получить его, просто возьмите транспонирование и комплексное сопряжение . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$
• Скалярные произведения ^{[f] [g]} (также называемые скобками ) записываются так, чтобы рядом друг с другом выглядели как бюстгальтер и кет: . (Фраза «бра-кет» должна напоминать слово «скоба».) ${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle }$

Вращаться

Угловой момент имеет ту же размерность ( M · L ² · T ⁻¹ ), что и постоянная Планка , и в квантовом масштабе ведет себя как дискретная степень свободы квантовой системы. Большинство частиц обладают своего рода собственным угловым моментом, который вообще не появляется в классической механике и возникает в результате релятивистского обобщения теории Дирака. Математически это описывается спинорами . В нерелятивистской квантовой механике для описания этой дополнительной свободы используются групповые представления группы Ли SU(2). Для данной частицы выбор представления (и, следовательно, диапазон возможных значений наблюдаемого спина) определяется неотрицательным числом S , которое в единицах приведенной постоянной Планка ħ является либо целым числом (0, 1, 2...) или полуцелое число (1/2, 3/2, 5/2...). Для массивной частицы со спином S ее квантовое число спина m всегда принимает одно из 2 S + 1 возможных значений в наборе

$${\displaystyle \{-S,-S+1,\ldots ,S-1,S\}}$$

Как следствие, квантовое состояние частицы со спином описывается векторной волновой функцией со значениями в C ^{2 S +1} . Эквивалентно, она представлена ​​комплексной функцией четырех переменных: к обычным трем непрерывным переменным (для положения в пространстве) добавляется одна дискретная переменная квантового числа (для спина).

Многочастичные состояния и статистика частиц

Квантовое состояние системы из N частиц, каждая из которых потенциально имеет спин, описывается комплексной функцией с четырьмя переменными на частицу, соответствующей 3 пространственным координатам и спину , например

$${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} _{1},\,m_{1};\;\dots ;\;\mathbf {r} _{N},\,m_{N})\rangle .}$$

Здесь спиновые переменные m _ν принимают значения из множества

$${\displaystyle \{-S_{\nu },\,-S_{\nu }+1,\,\ldots ,\,S_{\nu }-1,\,S_{\nu }\}}$$

ν ${\displaystyle S_{\nu }}$ ${\displaystyle S_{\nu }=0}$

Обращение с идентичными частицами сильно различается для бозонов (частиц с целым спином) и фермионов (частиц с полуцелым спином). Вышеупомянутая N -частичная функция должна быть либо симметризована (в бозонном случае), либо антисимметризована (в фермионном случае) относительно числа частиц. Если не все N частиц одинаковы, но некоторые из них идентичны, то функцию необходимо (анти)симметризировать отдельно по переменным, соответствующим каждой группе одинаковых переменных, согласно ее статистике (бозонной или фермионной).

Электроны — это фермионы с S = 1/2 , фотоны (кванты света) — бозоны с S = 1 (хотя в вакууме они безмассовы и не могут быть описаны механикой Шрёдингера).

Когда симметризация или антисимметризация не нужны, N -частичные пространства состояний можно получить просто путем тензорного произведения одночастичных пространств, к чему мы вернемся позже.

Базисные состояния одночастичных систем

Как и в случае с любым гильбертовым пространством , если для гильбертова пространства системы выбран базис , то любой кет можно разложить как линейную комбинацию этих базисных элементов. Символически, учитывая базисные кеты , любой кет можно записать ${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|{k_{i}}\rangle }$$

c _iкомплексные числаквантовая суперпозиция( ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$ ${\displaystyle c_{i}=\langle {k_{i}}|\psi \rangle }$

Стоит отметить одно свойство: нормализованные состояния характеризуются ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1,}$$

$${\displaystyle \sum _{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1.}$$

Разложения такого типа играют важную роль в измерениях в квантовой механике. В частности, если являются собственными состояниями (с собственными значениями ki ₎ наблюдаемой величины, и эта наблюдаемая измеряется в нормализованном состоянии , то вероятность того, что результатом измерения будет ki _, равна | с _я | ² . (Приведенное выше условие нормализации требует, чтобы общая сумма вероятностей была равна единице.) ${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Особенно важным примером является базис позиции , который представляет собой базис, состоящий из собственных состояний с собственными значениями наблюдаемой, которая соответствует положению измерения. ^[h] Если эти собственные состояния невырождены (например, если система представляет собой одну бесспиновую частицу), то любому кету соответствует комплексная функция трехмерного пространства. ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\equiv \langle \mathbf {r} |\psi \rangle .}$$

^[j]волновой функциейплотность вероятности ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$

$${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {r} \,|\psi (\mathbf {r} )|^{2}=1.}$$

${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} )|\mathbf {r} \rangle .}$$

Чистые состояния против связанных состояний

Хотя чистые состояния тесно связаны, это не то же самое, что связанные состояния, принадлежащие чисто точечному спектру наблюдаемой без квантовой неопределенности. Говорят, что частица находится в связанном состоянии , если она все время остается локализованной в ограниченной области пространства. Чистое состояние называется связанным состоянием тогда и только тогда, когда для каждого существует такой компакт , что ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle \int _{K}|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \geq 1-\varepsilon }$$

^[15] ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$

Суперпозиция чистых состояний

Как упоминалось выше, квантовые состояния могут накладываться друг на друга . Если и — два кета, соответствующие квантовым состояниям, то кет ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\beta \rangle }$

$${\displaystyle c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle }$$

аргументыθне являются взаимозаменяемыминебудет ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle c_{\beta }}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle e^{i\theta }|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle +|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle +e^{i\theta }|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle +|\psi \rangle }$ ${\displaystyle e^{i\theta }(|\phi \rangle +|\psi \rangle )}$

Одним из примеров суперпозиции является эксперимент с двумя щелями , в котором суперпозиция приводит к квантовой интерференции . Квантовое состояние двухщелевого эксперимента представляет собой суперпозицию двух однощелевых квантовых состояний, одно соответствует левой щели, а другое соответствует правой щели. В плоскости детектора относительная фаза этих двух однощелевых состояний зависит от разницы расстояний от двух щелей. В зависимости от этой относительной фазы интерференция в одних местах конструктивна, а в других деструктивна, создавая интерференционную картину. Мы можем сказать, что суперпозитивные состояния находятся в когерентной суперпозиции по аналогии с когерентностью в других волновых явлениях.

Другим примером важности относительной фазы в квантовой суперпозиции являются осцилляции Раби , где относительная фаза двух состояний изменяется во времени из-за уравнения Шрёдингера . В результате суперпозиция колеблется между двумя разными состояниями.

Смешанные состояния

Чистое квантовое состояние — это состояние, которое можно описать одним кет-вектором, как описано выше. Смешанное квантовое состояние — статистический ансамбль чистых состояний (см. квантовая статистическая механика ).

Смешанные состояния возникают в квантовой механике в двух различных ситуациях: во-первых, когда приготовление системы полностью не известно и, следовательно, приходится иметь дело со статистическим ансамблем возможных приготовлений; и во-вторых, когда кто-то хочет описать физическую систему, которая запутана с другой, поскольку ее состояние не может быть описано чистым состоянием. В первом случае теоретически может быть другой человек, который знает полную историю системы и, следовательно, описывает ту же систему как чистое состояние; в этом случае матрица плотности просто используется для представления ограниченных знаний о квантовом состоянии. Однако во втором случае существование квантовой запутанности теоретически препятствует существованию полных знаний о подсистеме, и ни один человек не может описать подсистему запутанной пары как чистое состояние.

Смешанные состояния неизбежно возникают из чистых состояний, когда для составной квантовой системы с запутанным состоянием часть недоступна наблюдателю. Состояние детали выражается тогда как частичная трассировка по . ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Смешанное состояние невозможно описать одним кет-вектором. Вместо этого он описывается связанной с ним матрицей плотности (или оператором плотности ), обычно обозначаемой ρ . Обратите внимание, что матрицы плотности могут описывать как смешанные , так и чистые состояния, рассматривая их на одном уровне. Более того, смешанное квантовое состояние в данной квантовой системе, описываемой гильбертовым пространством, всегда может быть представлено как частичный след чистого квантового состояния (называемого очисткой ) в более крупной двудольной системе для достаточно большого гильбертова пространства . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\otimes K}$ ${\displaystyle K}$

Матрица плотности, описывающая смешанное состояние, определяется как оператор вида

$${\displaystyle \rho =\sum _{s}p_{s}|\psi _{s}\rangle \langle \psi _{s}|}$$

формализма ${\displaystyle p_{s}}$ ${\displaystyle |\psi _{s}\rangle .}$

Простой критерий проверки того, описывает ли матрица плотности чистое или смешанное состояние, состоит в том, что след ρ 2 равен ¹ , если состояние чистое, и меньше 1, если состояние смешанное. ^{[k] [16]} Другой эквивалентный критерий заключается в том, что энтропия фон Неймана равна 0 для чистого состояния и строго положительна для смешанного состояния.

Правила измерения в квантовой механике особенно просто сформулировать в терминах матриц плотности. Например, среднее по ансамблю ( математическое ожидание ) измерения, соответствующего наблюдаемой A , определяется выражением

$${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{s}p_{s}\langle \psi _{s}|A|\psi _{s}\rangle =\sum _{s}\sum _{i}p_{s}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi _{s}\rangle |^{2}=\operatorname {tr} (\rho A)}$$

Atr_{некогерентное} )ps ${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle |\psi _{s}\rangle }$

По мнению Евгения Вигнера , ^[17] концепцию смешения выдвинул Лев Ландау . ^{[18] [14] : 38–41}

Математические обобщения

Состояния могут быть сформулированы в терминах наблюдаемых, а не в виде векторов в векторном пространстве. Это положительные нормированные линейные функционалы на C*-алгебре или иногда на других классах алгебр наблюдаемых. Для получения более подробной информации см. Состояние на C *-алгебре и конструкцию Гельфанда – Наймарка – Сигала .

Смотрите также

• Атомный электронный переход
• сфера Блоха
• Состояние Гринбергера-Хорна-Цайлингера
• Основное состояние
• Введение в квантовую механику
• Теорема о запрете клонирования
• Ортонормированный базис
• Теорема PBR
• Квантовый гармонический осциллятор
• Квантовый логический вентиль
• Стационарное состояние
• Коллапс волновой функции
• штат W

Примечания

1. Во избежание недоразумений: Здесь мы имеем в виду, что Q ( t ) и P ( t ) измеряются в одном и том же состоянии, но не в одном и том же ходе эксперимента.
2. Дирак (1958), ^[12] с. 4: «Если система мала, мы не можем наблюдать ее, не вызывая серьезных нарушений».
3. т.е. разделены нулевой задержкой. Можно представить это как остановку времени, затем выполнение двух измерений одно за другим и затем возобновление отсчета времени. Таким образом, измерения происходили в одно и то же время, но еще можно сказать, что было первым.
4. Для конкретности предположим, что A = Q ( t ₁ ) и B = P ( t ₂ ) в приведенном выше примере, с t ₂ > t ₁ > 0 .
5. Дирак (1958), ^[12] с. 20: «Векторы бюстгальтера, в том виде, в каком они здесь представлены, представляют собой совершенно другой вид векторов, чем кет-кеты, и до сих пор между ними нет никакой связи, за исключением существования скалярного произведения бюстгальтера и кет».
6. Дирак (1958), ^[12] с. 19: «Скалярное произведение ⟨ B | A ⟩ теперь выглядит как полное выражение в скобках».
7. Готфрид (2013), ^[13] с. 31: «определить скалярные произведения как нечто среднее между бюстгальтерами и кетами».
8. Обратите внимание, что состояние представляет собой суперпозицию различных базисных состояний , поэтому и являются элементами одного и того же гильбертова пространства. Частица в состоянии находится именно в позиции , а частица в состоянии может находиться в разных позициях с соответствующими вероятностями. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$
9. Ландау (1965), ^[14] с. 17: " ∫ Ψ _{f ′} Ψ _f * dq = δ ( f ′ − f ) " (левая часть соответствует ⟨ f | f ′⟩ ), " ∫ δ ( f ′ − f ) df′ = 1 ".
10. В непрерывном случае базисные кеты не являются единичными кетами (в отличие от состояния ): Они нормализованы в соответствии с ^[i] , т. е . ( дельта-функция Дирака ), что означает, что ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \int d^{3}\mathbf {r} '\,\langle \mathbf {r} |\mathbf {r} '\rangle =1,}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {r} |\mathbf {r} '\rangle =\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle =\infty .}$
11. Обратите внимание, что этот критерий работает, когда матрица плотности нормализована так, что след ρ равен 1, как и в стандартном определении, данном в этом разделе. Иногда матрица плотности нормализуется по-другому, и в этом случае критерием является ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\rho ^{2})=(\operatorname {Tr} \rho )^{2}}$

Рекомендации

1. Мессия, Альберт (1966). Квантовая механика . Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья. ISBN 0486409244.
2. Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (1977). Квантовая механика . Уайли. стр. 231–235.
3. Уиттакер, сэр Эдмунд (1 января 1989). История теорий эфира и электричества . Том. 2. Публикации Courier Dover. п. 87. ИСБН 0-486-26126-3.
4. Риффель, Элеонора Г .; Полак, Вольфганг Х. (04 марта 2011 г.). Квантовые вычисления: краткое введение . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-01506-6.
5. Холево, Александр С. (2001). Статистическая структура квантовой теории . Конспект лекций по физике. Спрингер. ISBN 3-540-42082-7. ОСЛК  318268606.
6. Перес, Ашер (1995). Квантовая теория: концепции и методы . Академическое издательство Клувер. ISBN 0-7923-2549-4.
7. Киркпатрик, Калифорния (февраль 2006 г.). «Теорема Шрёдингера-ХЮВ». Основы физики письма . 19 (1): 95–102. arXiv : Quant-ph/0305068 . Бибкод : 2006FoPhL..19...95K. дои : 10.1007/s10702-006-1852-1. ISSN  0894-9875. S2CID  15995449.
8. «Статистическая смесь штатов». Архивировано из оригинала 23 сентября 2019 года . Проверено 9 ноября 2021 г.
9. "Матрица плотности". Архивировано из оригинала 15 января 2012 года . Проверено 24 января 2012 г.
10. Гейзенберг, В. (1927). Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Z. Phys. 43 : 172–198. Перевод как «Актуальное содержание квантовой теоретической кинематики и механики». Также переведено как «Физическое содержание квантовой кинематики и механики» на стр. 62–84 редакторами Джоном Уилером и Войцехом Зуреком в книге « Квантовая теория и измерение» (1983), Princeton University Press, Принстон, штат Нью-Джерси.
11. Бор, Н. (1927/1928). Квантовый постулат и недавнее развитие атомной теории, Приложение к природе, 14 апреля 1928 г., 121: 580–590.
12. Дирак, ПАМ (1958). Принципы квантовой механики , 4-е издание, Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания.
13. Готфрид, Курт ; Ян, Тунг-Моу (2003). Квантовая механика: основы (2-е, иллюстрированное изд.). Спрингер. ISBN 9780387955766.
14. Лев Ландау ; Евгений Лифшиц (1965). Квантовая механика — нерелятивистская теория (PDF) . Курс теоретической физики. Том. 3 (2-е изд.). Лондон: Пергамон Пресс.
15. Бланшар, Филипп; Брюнинг, Эрвин (2015). Математические методы в физике . Биркхойзер. п. 431. ИСБН 978-3-319-14044-5.
16. Блюм, Теория и приложения матрицы плотности, стр. 39.
17. Юджин Вигнер (1962). «Замечания по вопросу разума и тела» (PDF) . В IJ Good (ред.). Ученый предполагает . Лондон: Хайнеманн. стр. 284–302.Сноска 13 на стр. 180.
18. Лев Ландау (1927). «Das Dämpfungsproblem in der Wellenmechanik (Проблема затухания в волновой механике)». Zeitschrift für Physik . 45 (5–6): 430–441. Бибкод : 1927ZPhy...45..430L. дои : 10.1007/bf01343064. S2CID  125732617.Английский перевод перепечатан в: Д. Тер Хаар, изд. (1965). Сборник статей Л.Д. Ландау . Оксфорд: Пергамон Пресс.стр.8–18

дальнейшее чтение

Концепция квантовых состояний, в частности содержание раздела «Формализм в квантовой физике» выше, рассматривается в большинстве стандартных учебников по квантовой механике.

Обсуждение концептуальных аспектов и сравнение с классическими состояниями см.:

• Ишам, Крис Дж (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы . Издательство Имперского колледжа . ISBN 978-1-86094-001-9.

Более подробное освещение математических аспектов см.:

• Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1987). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1 . Спрингер. ISBN 978-3-540-17093-8. 2-е издание.В частности, см. гл. 2.3.

Обсуждение очистки смешанных квантовых состояний см. в главе 2 конспектов лекций Джона Прескилла для курса «Физика 219» в Калифорнийском технологическом институте.

Обсуждение геометрических аспектов см.:

• Бенгтссон I; Жичковский К (2006). Геометрия квантовых состояний . Кембридж: Издательство Кембриджского университета., второе, исправленное издание (2017 г.)