Коллапс волновой функции

Процесс, посредством которого квантовая система принимает определенное состояние

В квантовой механике коллапс волновой функции происходит, когда волновая функция — первоначально находящаяся в суперпозиции нескольких собственных состояний — сводится к одному собственному состоянию из-за взаимодействия с внешним миром. Это взаимодействие называется наблюдением и является сутью измерения в квантовой механике , которое связывает волновую функцию с классическими наблюдаемыми величинами , такими как положение и импульс . Коллапс — один из двух процессов, посредством которых квантовые системы развиваются во времени; другой — это непрерывная эволюция, управляемая уравнением Шрёдингера . ^[1] Коллапс — это чёрный ящик термодинамически необратимого взаимодействия с классической средой . ^{[2] [3]}

Расчеты квантовой декогеренции показывают, что при взаимодействии квантовой системы с окружающей средой суперпозиции, по-видимому, сводятся к смеси классических альтернатив. Примечательно, что объединенная волновая функция системы и окружающей среды продолжает подчиняться уравнению Шредингера на протяжении всего этого кажущегося коллапса. ^[4] Что еще более важно, этого недостаточно для объяснения фактического коллапса волновой функции, поскольку декогеренция не сводит ее к единственному собственному состоянию. ^{[2] [5]}

Исторически Вернер Гейзенберг был первым, кто использовал идею редукции волновой функции для объяснения квантовых измерений. ^[6]

Математическое описание

До коллапса волновая функция может быть любой интегрируемой с квадратом функцией и, следовательно, связана с плотностью вероятности квантово-механической системы. Эта функция выражается как линейная комбинация собственных состояний любой наблюдаемой . Наблюдаемые представляют собой классические динамические переменные, и когда они измеряются классическим наблюдателем , волновая функция проецируется на случайное собственное состояние этой наблюдаемой. Наблюдатель одновременно измеряет классическое значение этой наблюдаемой как собственное значение конечного состояния. ^[7]

Математическая основа

Квантовое состояние физической системы описывается волновой функцией (в свою очередь — элементом луча в проективном гильбертовом пространстве ). Это можно выразить в виде вектора, используя нотацию Дирака или Брекета  :

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle .}$

Кеты определяют различные доступные квантовые «альтернативы» — конкретное квантовое состояние. Они образуют ортонормированный собственный базис , формально ${\displaystyle |\phi _{1}\rangle ,|\phi _{2}\rangle ,|\phi _{3}\rangle ,\dots }$

${\displaystyle \langle \phi _{i}|\phi _{j}\rangle =\delta _{ij}}$

где представляет собой дельту Кронекера . ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Наблюдаемая (т.е. измеримый параметр системы) связана с каждым собственным базисом, причем каждая квантовая альтернатива имеет определенное собственное значение наблюдаемой. «Измеримым параметром системы» могут быть обычное положение и импульс , скажем, частицы, а также ее энергия , компоненты спинового ( ), орбитального ( ) и полного углового ( ) моментов и т. д. В базисном представлении это соответственно . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle s_{z}}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} ,t\rangle =|x,t\rangle +|y,t\rangle +|z,t\rangle ,|\mathbf {p} ,t\rangle =|p_{x},t\rangle +|p_{y},t\rangle +|p_{z},t\rangle ,|E\rangle ,|s_{z}\rangle ,|L_{z}\rangle ,|J_{z}\rangle ,\dots }$

Коэффициенты представляют собой амплитуды вероятности , соответствующие каждому базису . Это комплексные числа . Квадрат модулей , то есть (где обозначает комплексно-сопряженный ), представляет собой вероятность измерения системы в состоянии . ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}...}$ ${\displaystyle |\phi _{1}\rangle ,|\phi _{2}\rangle ,|\phi _{3}\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle |c_{i}|^{2}={c}_{i}^{*}c_{i}}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$

Для простоты ниже предполагается, что все волновые функции нормированы ; общая вероятность измерения всех возможных состояний равна единице:

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}|c_{i}|^{2}=1.}$

Процесс коллапса

С помощью этих определений легко описать процесс коллапса. Для любой наблюдаемой волновая функция изначально представляет собой некоторую линейную комбинацию собственного базиса этой наблюдаемой. Когда внешний агент (наблюдатель, экспериментатор) измеряет наблюдаемую, связанную с собственным базисом , волновая функция сжимается от полного до одного из собственных состояний базиса, то есть: ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow |\phi _{i}\rangle .}$

Вероятность коллапса в данное собственное состояние — это борновская вероятность , . Сразу после измерения другие элементы вектора волновой функции «обрушились» до нуля и . ^{[примечание 1]} ${\displaystyle |\phi _{k}\rangle }$ ${\displaystyle P_{k}=|c_{k}|^{2}}$ ${\displaystyle c_{i\neq k}}$ ${\displaystyle |c_{i}|^{2}=1}$

В более общем смысле, коллапс определяется для оператора с собственным базисом . Если система находится в состоянии и измеряется, вероятность перехода системы в собственное состояние и измерения собственного значения относительно будет равна . Обратите внимание, что это не вероятность того, что частица находится в состоянии ; он находится в состоянии до тех пор, пока не будет переведен в собственное состояние . ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ ${\displaystyle |\langle \psi |\phi _{i}\rangle |^{2}}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$

Однако мы никогда не наблюдаем коллапса в одно собственное состояние оператора непрерывного спектра (например , положения , импульса или гамильтониана рассеяния ), поскольку такие собственные функции ненормируемы. В этих случаях волновая функция частично схлопнется до линейной комбинации «близких» собственных состояний (обязательно с разбросом собственных значений), что отражает неточность измерительного устройства. Чем точнее измерение, тем меньше диапазон. Вычисление вероятности происходит аналогично, за исключением интеграла по коэффициенту разложения . ^[8] Это явление не связано с принципом неопределенности ^{[ необходимы пояснения ]} , хотя более точные измерения одного оператора (например, положения) естественным образом гомогенизируют коэффициент разложения волновой функции по отношению к другому, несовместимому оператору (например, импульсу), снижая вероятность измерения какого-либо конкретного значения последнего. ${\displaystyle c(q,t)dq}$

Квантовая декогеренция

Квантовая декогеренция объясняет, почему система, взаимодействующая с окружающей средой, переходит из чистого состояния , демонстрирующего суперпозиции, в смешанное состояние — бессвязную комбинацию классических альтернатив. ^[5] Этот переход принципиально обратим, поскольку совокупное состояние системы и окружающей среды по-прежнему остается чистым, но для всех практических целей необратим, поскольку окружающая среда представляет собой очень большую и сложную квантовую систему, и обратить вспять их взаимодействие невозможно . Таким образом, декогеренция очень важна для объяснения классического предела квантовой механики, но не может объяснить коллапс волновой функции, поскольку все классические альтернативы все еще присутствуют в смешанном состоянии, а коллапс волновой функции выбирает только одну из них. ^{[2] [9] [5]}

История и контекст

Концепция коллапса волновой функции была введена Вернером Гейзенбергом в его статье 1927 года о принципе неопределенности «Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik» и включена в математическую формулировку квантовой механики Джоном фон Нейманом в его трактате «Математика» 1932 года. Grundlagen der Quantenmechanik . ^[10] Гейзенберг не пытался точно определить, что означает коллапс волновой функции. Однако он подчеркнул, что это не следует понимать как физический процесс. ^[11] Нильс Бор также неоднократно предупреждал, что мы должны отказаться от «иллюстративного представления», и, возможно, также интерпретировал коллапс как формальный, а не физический процесс. ^[12]

В соответствии с Гейзенбергом, фон Нейман постулировал, что существует два процесса изменения волновой функции:

1. Вероятностное , неунитарное , нелокальное , прерывистое изменение , вызванное наблюдением и измерением , как описано выше.
2. Детерминированная , унитарная, непрерывная эволюция во времени изолированной системы, подчиняющейся уравнению Шредингера (или его релятивистскому эквиваленту, т.е. уравнению Дирака ) .

В общем, квантовые системы существуют в суперпозициях тех базисных состояний, которые наиболее точно соответствуют классическим описаниям, и в отсутствие измерения развиваются согласно уравнению Шредингера. Однако при проведении измерения волновая функция схлопывается — с точки зрения наблюдателя — только до одного из базисных состояний, и измеряемое свойство однозначно приобретает собственное значение этого конкретного состояния . После коллапса система вновь развивается по уравнению Шрёдингера. ${\displaystyle \lambda _{i}}$

Подробно рассматривая взаимодействие объекта и измерительного прибора , фон Нейман ^[1] попытался создать согласованность двух процессов изменения волновой функции.

Ему удалось доказать возможность квантово-механической схемы измерений, согласующейся с коллапсом волновой функции. Однако он не доказал необходимость такого коллапса. Хотя постулат фон Неймана о проекции часто представляют как нормативное описание квантовых измерений, он был задуман с учетом экспериментальных данных, доступных в 1930-е годы (в частности, эксперимент Комптона-Саймона был парадигмальным), но многие важные современные процедуры измерения не удовлетворяют его (так называемые измерения второго рода). ^{[13] [14] [15]}

Существование коллапса волновой функции требуется в

• Копенгагенская интерпретация
• объективные интерпретации коллапса
• транзакционная интерпретация
• интерпретация фон Неймана-Вигнера , согласно которой сознание вызывает коллапс.

С другой стороны, коллапс считается избыточным или необязательным приближением в

• последовательный исторический подход, получивший самопровозглашение «Копенгаген сделал правильно»
• интерпретация Бома
• многомировая интерпретация
• ансамблевая интерпретация
• интерпретация реляционной квантовой механики

Группа явлений, описываемых выражением « коллапс волновой функции» , является фундаментальной проблемой интерпретации квантовой механики и известна как проблема измерения .

В Копенгагенской интерпретации коллапс постулируется как особая характеристика взаимодействия с классическими системами (частным случаем которых являются измерения). Математически можно показать, что коллапс эквивалентен взаимодействию с классической системой, моделируемой в рамках квантовой теории как системы с булевыми алгебрами наблюдаемых ^[16] и эквивалентной условному математическому ожиданию. ^[17]

Многомировая интерпретация Эверетта решает эту проблему, отвергая процесс коллапса, переформулируя таким образом отношения между измерительным прибором и системой таким образом, что линейные законы квантовой механики становятся универсально действительными; то есть единственный процесс, в соответствии с которым развивается квантовая система, определяется уравнением Шредингера или каким-либо релятивистским его эквивалентом.

Общее описание эволюции квантово-механических систем возможно с помощью операторов плотности и квантовых операций . В этом формализме (который тесно связан с С*-алгебраическим формализмом) коллапс волновой функции соответствует неунитарной квантовой операции. В рамках формализма C* этот неунитарный процесс эквивалентен обретению алгеброй нетривиального центра ^[18] или центра ее централизатора, соответствующего классическим наблюдаемым. ^[19]

Значение, приписываемое волновой функции, варьируется от интерпретации к интерпретации и варьируется даже внутри интерпретации (например, Копенгагенской интерпретации). Если волновая функция просто кодирует знания наблюдателя о Вселенной, то коллапс волновой функции соответствует получению новой информации. Это в некоторой степени аналогично ситуации в классической физике, за исключением того, что классическая «волновая функция» не обязательно подчиняется волновому уравнению. Если волновая функция в каком-то смысле и в какой-то степени физически реальна, то коллапс волновой функции также рассматривается как реальный процесс, в той же степени.

Смотрите также

• Стрела времени
• Интерпретации квантовой механики
• Квантовая декогеренция
• Квантовая интерференция
• Квантовый эффект Зенона
• кот Шредингера
• Эксперимент Штерна-Герлаха

Примечания

1. Если измеряемая наблюдаемая не коммутирует с гамильтонианом , состояние после измерения, как правило, с течением времени будет развиваться в суперпозицию различных собственных состояний энергии , как это регулируется уравнением Шредингера . Если состояние, проецируемое на измерение, не имеет определенного значения энергии, вероятность получения того же результата измерения через ненулевое время спустя, как правило, будет меньше единицы.

Рекомендации

1. Дж. фон Нейман (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (на немецком языке). Берлин: Шпрингер .
   

   Дж. фон Нейман (1955). Математические основы квантовой механики . Издательство Принстонского университета .

2. Шлоссауэр, Максимилиан (2005). «Декогеренция, проблема измерения и интерпретации квантовой механики». Преподобный Мод. Физ . 76 (4): 1267–1305. arXiv : Quant-ph/0312059 . Бибкод : 2004RvMP...76.1267S. doi : 10.1103/RevModPhys.76.1267. S2CID  7295619.
3. Джакоза, Франческо (2014). «Об унитарной эволюции и коллапсе в квантовой механике». Кванта . 3 (1): 156–170. arXiv : 1406.2344 . дои : 10.12743/quanta.v3i1.26. S2CID  55705326.
4. Журек, Войцех Хуберт (2009). «Квантовый дарвинизм». Физика природы . 5 (3): 181–188. arXiv : 0903.5082 . Бибкод : 2009NatPh...5..181Z. дои : 10.1038/nphys1202. S2CID  119205282.
5. Fine, Артур (2020). «Роль декогеренции в квантовой механике». Стэнфордская энциклопедия философии . Сайт Центра изучения языка и информации Стэнфордского университета . Проверено 11 апреля 2021 г.
6. Гейзенберг, В. (1927). Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Z. Phys. 43 : 172–198. Перевод как «Актуальное содержание квантовой теоретической кинематики и механики» здесь
7. Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику, 2д . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл. стр. 106–109. ISBN 0131118927.
8. Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику, 2д . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл. стр. 100–105. ISBN 0131118927.
9. Войцех Х. Журек (2003). «Декогеренция, энселекция и квантовое происхождение классики». Обзоры современной физики . 75 (3): 715. arXiv : quant-ph/0105127 . Бибкод : 2003RvMP...75..715Z. doi : 10.1103/RevModPhys.75.715. S2CID  14759237.
10. К. Кифер (2002). «Об интерпретации квантовой теории — от Копенгагена до наших дней». arXiv : Quant-ph/0210152 .
11. Г. Джагер (2017). «« Редукция волновых пакетов » и квантовый характер актуализации потенций». Энтропия . 19 (10): 13. Бибкод : 2017Entrp..19..513J. дои : 10.3390/e19100513 .
12. Хенрик Цинкернагель (2016). «Нильс Бор о волновой функции и классическом/квантовом разделении». Исследования по истории и философии современной физики . 53 : 9–19. arXiv : 1603.00353 . Бибкод : 2016SHPMP..53....9Z. дои :10.1016/j.shpsb.2015.11.001. S2CID  18890207. Таким образом, мы можем сказать, что для Бора коллапс не является физическим в том смысле, что физическая волна (или что-то еще) коллапсирует в какой-то точке. Но это описание – фактически лучшее или наиболее полное описание – чего-то происходящего, а именно формирование записи измерения (например, точки на фотографической пластинке).
13. В. Паули (1958). «Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik». В С. Флюгге (ред.). Handbuch der Physik (на немецком языке). Том. В. Берлин: Springer-Verlag. п. 73.
14. Л. Ландау и Р. Пайерлс (1931). «Erweiterung des Unbestimmtheitsprinzips für die релятивистской квантовой теории». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 69 (1–2): 56–69. Бибкод : 1931ZPhy...69...56L. дои : 10.1007/BF01391513. S2CID  123160388.)
15. Обсуждения измерений второго рода можно найти в большинстве работ по основам квантовой механики, например, JM Jauch (1968). Основы квантовой механики . Аддисон-Уэсли. п. 165.; Б. д'Эспанья (1976). Концептуальные основы квантовой механики . В. А. Бенджамин. стр. 18, 159.; и В.М. де Муйнк (2002). Основы квантовой механики: эмпирический подход . Академическое издательство Клювер. раздел 3.2.4..
16. Белавкин, вице-президент (май 1994 г.). «Принцип неразрушения квантовой теории измерения». Основы физики . 24 (5): 685–714. arXiv : Quant-ph/0512188 . Бибкод : 1994FoPh...24..685B. дои : 10.1007/BF02054669. ISSN  0015-9018. S2CID  2278990.
17. Редей, Миклош; Саммерс, Стивен Дж. (7 августа 2006 г.). «Квантовая теория вероятностей». arXiv : Quant-ph/0601158 .
18. Примас, Ганс (2017). Атманспахер, Харальд (ред.). Знания и время. Международное издательство Спрингер. ISBN 978-3-319-47369-7.
19. Фрелих, Дж.; Шубнель, Б. (5 октября 2013 г.). «Квантовая теория вероятностей и основы квантовой механики». arXiv : 1310.1484 [квант-ph].

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с коллапсом волновой функции в Wikiquote