C*-алгебра

Топологическое комплексное векторное пространство

В математике, особенно в функциональном анализе , C ^∗ -алгебра (произносится как «C-звезда») является банаховой алгеброй вместе с инволюцией , удовлетворяющей свойствам сопряженного . Частным случаем является комплексная алгебра A непрерывных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

• A — топологически замкнутое множество в топологии норм операторов.
• A замкнут относительно операции взятия сопряженных операторов.

Другой важный класс негильбертовых С*-алгебр включает алгебру комплекснозначных непрерывных функций на X , обращающихся в нуль на бесконечности, где X — локально компактное хаусдорфово пространство. ${\displaystyle C_{0}(X)}$

C*-алгебры были впервые рассмотрены в первую очередь из-за их использования в квантовой механике для моделирования алгебр физических наблюдаемых . Это направление исследований началось с матричной механики Вернера Гейзенберга , а в более математически развитой форме — с Паскуаля Йордана примерно в 1933 году. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую основу для этих алгебр, кульминацией которых стала серия статей о кольцах операторы. В этих работах рассматривался специальный класс С*-алгебр, которые теперь известны как алгебры фон Неймана .

Примерно в 1943 году работа Исраэля Гельфанда и Марка Наймарка дала абстрактную характеристику C*-алгебр без ссылки на операторы в гильбертовом пространстве.

С*-алгебры в настоящее время являются важным инструментом в теории унитарных представлений локально компактных групп , а также используются в алгебраических формулировках квантовой механики. Еще одной активной областью исследований является программа получения классификации или определения степени возможной классификации сепарабельных простых ядерных C*-алгебр .

Абстрактная характеристика

Начнем с абстрактной характеристики С*-алгебры, данной в статье Гельфанда и Наймарка 1943 года.

AC*-алгебра, A , является банаховой алгеброй над полем комплексных чисел вместе с отображением со следующими свойствами: ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$ ${\textstyle x\in A}$

• Это инволюция для каждого x в A :

${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$

• Для всех x , y в A :

${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

• Для каждого комплексного числа и каждого x в A : ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.}$

• Для всех x в A :

${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|.}$

Замечание. Первые четыре тождества говорят, что A является *-алгеброй . Последнее тождество называется тождеством C* и эквивалентно:

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2},}$

которое иногда называют B*-тождеством. Историю названий C*- и B*-алгебр см. в разделе истории ниже.

C*-идентичность является очень строгим требованием. Например, вместе с формулой спектрального радиуса это означает, что C*-норма однозначно определяется алгебраической структурой:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.}$

Ограниченное линейное отображение π : A → B между C*-алгебрами A и B называется *-гомоморфизмом  , если

• Для x и y в A

${\displaystyle \pi (xy)=\pi (x)\pi (y)\,}$

• Для x в A

${\displaystyle \pi (x^{*})=\pi (x)^{*}\,}$

В случае C*-алгебр любой *-гомоморфизм π между C*-алгебрами сжимающий , т. е. ограниченный с нормой ⩽ 1. Кроме того, инъективный *-гомоморфизм между C*-алгебрами изометричен . Это следствия C*-идентичности.

Биективный *-гомоморфизм π называется C*-изоморфизмом , и в этом случае A и B называются изоморфными .

Немного истории: B*-алгебры и C*-алгебры

Термин B*-алгебра был введен К.Э. Рикартом в 1946 г. для описания банаховых *-алгебр , удовлетворяющих условию:

• ${\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert ^{2}}$для всех x в данной B*-алгебре. (B*-условие)

Из этого условия автоматически следует, что *-инволюция изометрична, т. е. . Следовательно, , и, следовательно, B*-алгебра является также C*-алгеброй. И наоборот, из C*-условия следует B*-условие. Это нетривиально и может быть доказано без использования условия . ^[1] По этим причинам термин B*-алгебра редко используется в современной терминологии и был заменен термином «C*-алгебра». ${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }$ ${\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert \lVert x^{*}\rVert }$ ${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }$

Термин С*-алгебра был введен И. Е. Сигалом в 1947 г. для описания замкнутых по норме подалгебр в B ( H ) , а именно пространства ограниченных операторов на некотором гильбертовом пространстве H. «С» означало «закрыто». ^{[2] [3]} В своей статье Сигал определяет С*-алгебру как «равномерно замкнутую самосопряженную алгебру ограниченных операторов в гильбертовом пространстве». ^[4]

Структура C*-алгебр

C*-алгебры обладают большим количеством технически удобных свойств. Некоторые из этих свойств можно установить, используя непрерывное функциональное исчисление или сводя его к коммутативным C*-алгебрам. В последнем случае мы можем воспользоваться тем, что их структура полностью определяется изоморфизмом Гельфанда .

Самосопряженные элементы

Самосопряженными элементами являются элементы вида . Множество элементов С*-алгебры А вида образует замкнутый выпуклый конус . Этот конус идентичен элементам формы . Элементы этого конуса называются неотрицательными (или иногда положительными , хотя эта терминология противоречит ее использованию для элементов ℝ). ${\displaystyle x=x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}x}$ ${\displaystyle xx^{*}}$

Множество самосопряженных элементов С*-алгебры А естественно имеет структуру частично упорядоченного векторного пространства ; порядок обычно обозначается . В этом порядке самосопряженный элемент удовлетворяет тогда и только тогда, когда спектр неотрицательен , тогда и только тогда, когда для некоторого . Два самосопряженных элемента и A удовлетворяют , если . ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=s^{*}s}$ ${\displaystyle s\in A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\geq y}$ ${\displaystyle x-y\geq 0}$

Это частично упорядоченное подпространство позволяет определить положительный линейный функционал на C*-алгебре, который, в свою очередь, используется для определения состояний C*-алгебры, что, в свою очередь, может использоваться для построения спектра C*-алгебры. алгебра с использованием конструкции GNS .

Частные и приблизительные тождества

Любая С*-алгебра А имеет приближенное тождество . В самом деле, существует направленное семейство { e _λ } _λεI самосопряженных элементов A такое, что

${\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x}$

${\displaystyle 0\leq e_{\lambda }\leq e_{\mu }\leq 1\quad {\mbox{ whenever }}\lambda \leq \mu .}$

В случае, если A сепарабельно, A имеет секвенциальную аппроксимированную идентичность. В более общем смысле, A будет иметь секвенциальную аппроксимированную идентичность тогда и только тогда, когда A содержит строго положительный элемент , т.е. положительный элемент h такой, что hAh плотно в A.

Используя приближенные тождества, можно показать, что алгебраический фактор С*-алгебры по замкнутому собственному двустороннему идеалу с естественной нормой является С*-алгеброй.

Аналогично, замкнутый двусторонний идеал C*-алгебры сам по себе является C*-алгеброй.

Примеры

Конечномерные C*-алгебры

Алгебра M( n , C ) матриц размера n × n над C становится C*-алгеброй, если мы рассматриваем матрицы как операторы в евклидовом пространстве C ⁿ и используем операторную норму ||·|| на матрицах. Инволюция задается сопряженным транспонированием . В более общем смысле можно рассматривать конечные прямые суммы матричных алгебр. Фактически все С*-алгебры, конечномерные как векторные пространства, имеют этот вид с точностью до изоморфизма. Требование самосопряжённости означает, что конечномерные C*-алгебры являются полупростыми , из чего можно вывести следующую теорему типа Артина – Веддерберна :

Теорема. Конечномерная С*-алгебра А канонически изоморфна конечной прямой сумме

${\displaystyle A=\bigoplus _{e\in \min A}Ae}$

где min A — множество минимальных ненулевых самосопряженных центральных проекторов A .

Каждая C*-алгебра Ae изоморфна (неканоническим образом) полной матричной алгебре M(dim( e ), C ). Конечное семейство, индексированное на min A , заданное {dim( e )} _e, называется вектором размерности A. Этот вектор однозначно определяет класс изоморфизма конечномерной С*-алгебры. _На языке К-теории этот вектор является положительным конусом группы К0 группы А.

† -алгебра (или, более подробно, †-замкнутая алгебра ) — это название, которое иногда используется в физике ^[5] для конечномерной C*-алгебры. Кинжал † используется в названии, потому что физики обычно используют этот символ для обозначения эрмитова сопряженного и часто не беспокоятся о тонкостях, связанных с бесконечным числом измерений. (Математики обычно используют звездочку * для обозначения эрмитова сопряженного.) †-алгебры занимают видное место в квантовой механике и особенно в квантовой информатике .

Непосредственным обобщением конечномерных С*-алгебр являются аппроксимативно конечномерные С*-алгебры .

C*-алгебры операторов

Прототипическим примером С*-алгебры является алгебра В(Н) ограниченных (эквивалентно непрерывных) линейных операторов , определенных на комплексном гильбертовом пространстве Н ; здесь x* обозначает сопряженный оператор x  : H → H . Фактически, каждая C*-алгебра A *-изоморфна замкнутой по норме присоединенной замкнутой подалгебре в B ( H ) для подходящего гильбертова пространства H ; в этом состоит содержание теоремы Гельфанда–Наймарка .

С*-алгебры компактных операторов

Пусть H — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство. Алгебра K ( H ) компактных операторов в H является нормозамкнутой подалгеброй в B ( H ). Он также закрыт при инволюции; следовательно, это C*-алгебра.

Конкретные С*-алгебры компактных операторов допускают характеризацию, аналогичную теореме Веддерберна для конечномерных С*-алгебр:

Теорема. Если A — C*-подалгебра в K ( H ), то существуют гильбертовы пространства { H _i } _{i ∈ I} такие, что

${\displaystyle A\cong \bigoplus _{i\in I}K(H_{i}),}$

где (C*-)прямая сумма состоит из элементов ( T _i ) декартова произведения Π K ( H _i ) с || Т _я || → 0.

Хотя K ( H ) не имеет единичного элемента, для K ( H ) можно разработать последовательное приближенное тождество . Точнее, H изоморфно пространству суммируемых с квадратом последовательностей l ² ; мы можем предположить, что H = l ² . Для каждого натурального числа n пусть H _n будет подпространством последовательностей l ² , которые обращаются в нуль для индексов k ≥ n , и пусть en _будет ортогональным проектором на H _n . Последовательность { e _n } _n является приближенным тождеством для K ( H ).

K ( H ) — двусторонний замкнутый идеал пространства B ( H ). Для сепарабельных гильбертовых пространств это единственный идеал. Фактор B ( H ) по K ( H ) является алгеброй Калкина .

Коммутативные C*-алгебры

Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство. Пространство комплекснозначных непрерывных функций на X , обращающихся в нуль на бесконечности (определенных в статье о локальной компактности ), образует коммутативную С*-алгебру при поточечном умножении и сложении. Инволюция – это точечное сопряжение. имеет мультипликативный единичный элемент тогда и только тогда, когда компактно. Как и любая C*-алгебра, она имеет приближенное тождество . В этом случае это сразу: рассмотрим направленное множество компактных подмножеств , и для каждого компакта пусть будет функция компактного носителя, равная тождественно 1 на . Такие функции существуют по теореме о расширении Титце , которая применима к локально компактным хаусдорфовым пространствам. Любая такая последовательность функций является приближенным тождеством. ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{f_{K}\}}$

Представление Гельфанда утверждает, что всякая коммутативная С*-алгебра *-изоморфна алгебре где — пространство характеров, снабженное слабой* топологией . Далее, если изоморфна as C * -алгебрам, то и гомеоморфны . Эта характеристика является одной из причин создания программ некоммутативной топологии и некоммутативной геометрии . ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

C*-обертывающая алгебра

Для банаховой *-алгебры A с приближенным тождеством существуют единственные (с точностью до C*-изоморфизма) C*-алгебра E ( A ) и *-морфизм π из A в E ( A ) , универсальные , т.е. , любой другой непрерывный *-морфизм π ' : A → B факторизуется однозначно через π. Алгебра E ( A ) называется C*-обертывающей алгеброй банаховой * -алгебры A.

Особое значение имеет С*-алгебра локально компактной группы G. Это определяется как обертывающая C*-алгебра групповой алгебры G . C*-алгебра группы G обеспечивает контекст для общего гармонического анализа группы G в случае, когда G неабелева. В частности, двойственное локально компактной группе определяется как примитивное идеальное пространство групповой С*-алгебры. См. спектр C*-алгебры .

Алгебры фон Неймана

Алгебры фон Неймана , известные до 1960-х годов как W*-алгебры, представляют собой особый вид C*-алгебры. Требуется, чтобы они были замкнуты в слабой операторной топологии , которая слабее нормальной топологии.

Из теоремы Шермана –Такеды следует, что любая C*-алгебра имеет универсальную обертывающую W*-алгебру такую, что любой гомоморфизм W*-алгебры проходит через нее.

Тип для C*-алгебр

AC*-алгебра A имеет тип I тогда и только тогда, когда для всех невырожденных представлений π алгебры фон Неймана π( A )′′ (т. е. бикоммутант π( A )) является алгеброй фон Неймана I типа. алгебра. На самом деле достаточно рассматривать только факторные представления, т.е. представления π, для которых π( A )′′ является фактором.

Локально компактная группа называется типом I тогда и только тогда, когда ее групповая С*-алгебра имеет тип I.

Однако если С*-алгебра имеет представления нетипа I, то по результатам Джеймса Глимма у нее есть представления и типа II, и типа III. Таким образом, для С*-алгебр и локально компактных групп имеет смысл говорить только о свойствах типа I и нетипа I.

C*-алгебры и квантовая теория поля

В квантовой механике обычно описывается физическая система с помощью C*-алгебры A с единичным элементом; самосопряженные элементы A (элементы x с x* = x ) рассматриваются как наблюдаемые , измеримые величины системы. Состояние системы определяется как положительный функционал на A ( C -линейное отображение φ : A → C с φ( u*u ) ≥ 0 для всех u ∈ A ) , такой что φ(1) = 1. Ожидаемое значение наблюдаемой x , если система находится в состоянии φ, тогда равно φ( x ).

Этот подход C*-алгебры используется в аксиоматизации Хаага–Кастлера локальной квантовой теории поля , где каждое открытое множество пространства-времени Минковского связано с C*-алгеброй.

Смотрите также

• Банахова алгебра
• Банахова *-алгебра
• *-алгебра
• Гильберт C*-модуль
• Операторная К-теория
• Операторная система — единичное подпространство C*-алгебры, *-замкнутое.
• Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сегала
• Жорданова операторная алгебра

Примечания

1. Доран и Белфи, 1986, стр. 5–6, Google Книги.
2. Доран и Белфи 1986, с. 6, Google Книги.
3. Сигал 1947
4. Сигал 1947, с. 75
5. Джон А. Холбрук, Дэвид В. Крибс и Раймонд Лафламм. «Бесшумные подсистемы и структура коммутанта при квантовом исправлении ошибок». Квантовая обработка информации . Том 2, номер 5, стр. 381–419. Октябрь 2003 г.

Рекомендации

• Арвесон, В. (1976), Приглашение к C *-алгебре , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. Отличное введение в предмет, доступное для тех, кто обладает знаниями в области базового функционального анализа .
• Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия , ISBN 0-12-185860-Х. Эта книга широко рассматривается как источник нового исследовательского материала, дающего много подкрепляющей интуиции, но это сложно.
• Диксмье, Жак (1969), Les C*-algèbres et leurs représentations , Готье-Вилларс, ISBN 0-7204-0762-1. Это несколько устаревший справочник, но он до сих пор считается высококачественным техническим изложением. Он доступен на английском языке в издательстве North Holland Press.
• Доран, Роберт С .; Бельфи, Виктор А. (1986), Характеризации C *-алгебр: теоремы Гельфанда-Наймарка , CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8.
• Эмч, Г. (1972), Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3. Математически строгий справочник, содержащий обширные знания по физике.
• А.И. Штерн (2001) [1994], «С*-алгебра», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Сакаи, С. (1971), C*-алгебры и W*-алгебры , Springer, ISBN 3-540-63633-1.
• Сигал, Ирвинг (1947), «Неприводимые представления операторных алгебр», Бюллетень Американского математического общества , 53 (2): 73–88, doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5.