Прямая сумма модулей

Операция в абстрактной алгебре

В абстрактной алгебре прямая сумма — это конструкция, объединяющая несколько модулей в новый, более крупный модуль. Прямая сумма модулей — это наименьший модуль, который содержит данные модули в виде подмодулей без «ненужных» ограничений, что делает его примером копродукции . Сравните с прямым произведением , которое представляет собой двойственное понятие.

Наиболее знакомые примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторных пространств (модулей над полем ) и абелевых групп (модулей над кольцом целых чисел Z ). Конструкция может быть также распространена на банаховы и гильбертовы пространства .

См. статью «Декомпозиция модуля» , чтобы узнать, как записать модуль как прямую сумму подмодулей.

Конструкция векторных пространств и абелевых групп.

Приведем сначала конструкцию в этих двух случаях, предполагая, что у нас всего два объекта. Затем мы обобщаем на произвольное семейство произвольных модулей. Ключевые элементы общей конструкции можно более четко определить при более глубоком рассмотрении этих двух случаев.

Построение двух векторных пространств.

Предположим, что V и W — векторные пространства над полем K. Декартову произведению V × W можно придать структуру векторного пространства над K (Halmos 1974, §18), определив операции покомпонентно:

• ( v ₁ , ш ₁ ) + ( v ₂ , ш ₂ ) знак равно ( v ₁ + v ₂ , ш ₁ + ш ₂ )
• α ( v , ш ) знак равно ( α v , α ш )

для v , v ₁ , v ₂ ∈ V , ш , ш ₁ , ш ₂ ∈ W и α ∈ K .

Полученное векторное пространство называется прямой суммой V и W и обычно обозначается знаком плюса внутри круга:

$${\displaystyle V\oplus W}$$

Элементы упорядоченной суммы принято записывать не в виде упорядоченных пар ( v , w ), а в виде суммы v + w .

Подпространство V × {0} пространства V ⊕ W изоморфно V и часто отождествляется с V ; аналогично для {0} × W и W . (См. внутреннюю прямую сумму ниже.) Благодаря этой идентификации каждый элемент V ⊕ W может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента V и элемента W . Размерность V ⊕ W равна сумме размерностей V и W . Одним из элементарных применений является реконструкция конечного векторного пространства из любого подпространства W и его ортогонального дополнения:

$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp }}$$

Эта конструкция легко обобщается на любое конечное число векторных пространств.

Построение для двух абелевых групп.

Для абелевых групп G и H , которые записаны аддитивно, прямое произведение G и H также называется прямой суммой (Mac Lane & Birkhoff 1999, §V.6) . Таким образом, декартово произведение G × H наделено структурой абелевой группы за счет покомпонентного определения операций:

( г ₁ , час ₁ ) + ( г ₂ , час ₂ ) знак равно ( г ₁ + г ₂ , час ₁ + час ₂ )

для g ₁ , g ₂ в G и h ₁ , h ₂ в H .

Целые кратные аналогично определяются покомпонентно формулой

п ( г , час ) знак равно ( нг , пч )

для g в G , h в H и n — целое число . Это аналогично расширению скалярного произведения векторных пространств до прямой суммы, указанной выше.

Полученная абелева группа называется прямой суммой G и H и обычно обозначается знаком плюса внутри круга:

$${\displaystyle G\oplus H}$$

Элементы упорядоченной суммы принято записывать не в виде упорядоченных пар ( g , h ), а в виде суммы g + h .

Подгруппа G × {0} группы G ⊕ H изоморфна G и часто отождествляется с G ; аналогично для {0} × H и H . (См. внутреннюю прямую сумму ниже.) При таком отождествлении верно, что каждый элемент G ⊕ H может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента G и элемента H . Ранг G ⊕ H равен сумме рангов G и H .

Эту конструкцию легко обобщить на любое конечное число абелевых групп.

Построение произвольного семейства модулей

Следует отметить явное сходство определений прямой суммы двух векторных пространств и двух абелевых групп. По сути, каждый является частным случаем конструкции прямой суммы двух модулей . Кроме того, изменив определение, можно учесть прямую сумму бесконечного семейства модулей. Точное определение следующее (Бурбаки 1989, §II.1.6).

Пусть R — кольцо, а { M _i  :  i  ∈  I } — семейство левых R - модулей, индексированных множеством I. Прямая сумма { M _i } затем определяется как набор всех последовательностей где и для коконечного числа индексов i . ( Прямое произведение аналогично, но индексы не обязательно должны обращаться в нуль.) ${\displaystyle (\alpha _{i})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$

Его также можно определить как функции α от I до дизъюнктного объединения модулей M _i такие, что α( i ) ∈  _Mi для всех i ∈ I и α( i ) = 0 для коконечного числа индексов i . Эти функции можно эквивалентно рассматривать как конечно поддерживаемые секции расслоения над набором индексов I , причем слой над . ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Этот набор наследует структуру модуля посредством покомпонентного сложения и скалярного умножения. Явно две такие последовательности (или функции) α и β можно сложить, написав для всех i (обратите внимание, что это снова ноль для всех индексов, кроме конечного числа), и такую ​​функцию можно умножить на элемент r из R , определив для всех я . Таким образом, прямая сумма становится левым R -модулем и обозначается ${\displaystyle (\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}}$ ${\displaystyle r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}}$

$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}.}$$

Последовательность принято записывать в виде суммы . Иногда суммирование со штрихом используется, чтобы указать, что коконечные многие члены равны нулю. ${\displaystyle (\alpha _{i})}$ ${\displaystyle \sum \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \sum '\alpha _{i}}$

Характеристики

• Прямая сумма является подмодулем прямого произведения модулей Mi ( _{Бурбаки} 1989, §II.1.7). Прямое произведение — это совокупность всех функций α от I до дизъюнктного объединения модулей M _i с α ( i ) ∈ M _i , но не обязательно обращающихся в нуль для всех, кроме конечного числа i . Если набор индексов I конечен, то прямая сумма и прямое произведение равны.
• Каждый из модулей Mi можно отождествить с подмодулем прямой суммы, состоящим из тех функций, которые обращаются в нуль по всем индексам, отличным _от i . С помощью этих отождествлений каждый элемент x прямой суммы можно записать одним и только одним способом как _сумму конечного числа элементов модулей Mi.
• Если Mi на самом деле _{являются} векторными пространствами, то _{размерность} прямой суммы равна сумме размерностей Mi. То же самое относится и к рангу абелевых групп и длине модулей .
• Каждое векторное пространство над полем K изоморфно прямой сумме достаточного числа копий K , поэтому в некотором смысле следует рассматривать только эти прямые суммы. Это неверно для модулей над произвольными кольцами.
• Тензорное произведение распределяется по прямым суммам в следующем смысле: если N — некоторый правый R -модуль, _то прямая сумма тензорных произведений N с Mi (которые являются абелевыми группами) естественно изоморфна тензорному произведению N с прямая сумма Mi. _{_}
• Прямые суммы коммутативны и ассоциативны (с точностью до изоморфизма), а это означает, что не имеет значения, в каком порядке формировать прямую сумму.
• Абелева группа R - линейных гомоморфизмов из прямой суммы в некоторый левый R -модуль L естественно изоморфна прямому произведению абелевых групп R -линейных гомоморфизмов из Mi _в L :
  $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right).}$$
  Действительно, очевидно, существует гомоморфизм τ из левой части в правую, где τ ( θ )( i ) — R -линейный гомоморфизм, переводящий _x ∈ Mi в θ ( x ) (с использованием естественного включения M _я в прямую сумму). Обратный гомоморфизм τ определяется формулой
  $${\displaystyle \tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))}$$
  для любого α в прямой сумме модулей M _i . Ключевым моментом является то, что определение τ ⁻¹ имеет смысл, поскольку α ( i ) равно нулю для всех, кроме конечного числа i , и поэтому сумма конечна.
  В частности, двойственное векторное пространство прямой суммы векторных пространств изоморфно прямому произведению двойственных к этим пространствам.
• Конечная прямая сумма модулей является двойным произведением : если
  $${\displaystyle p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}}$$
  являются каноническими проекционными отображениями и
  $${\displaystyle i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$$
  являются отображениями включения, то
  $${\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}}$$
  равен тождественному морфизму A ₁ ⊕ ⋯ _⊕ An и
  $${\displaystyle p_{k}\circ i_{l}}$$
  является тождественным морфизмом A _k в случае l = k и является нулевым отображением в противном случае.

Внутренняя прямая сумма

Предположим, что M — R - модуль , а Mi — подмодуль M для каждого i _из I. Если каждый x в M можно записать ровно одним способом как сумму конечного числа элементов Mi , то мы говорим, что _M является внутренней прямой суммой подмодулей Mi ( _Halmos 1974, §18). В этом случае M естественно изоморфна (внешней) прямой сумме Mi , _как определено выше (Адамсон 1972, стр. 61).

Подмодуль N модуля M называется прямым слагаемым модуля M , если существует другой подмодуль N' модуля M такой, что M является внутренней прямой суммой модулей N и N' . В этом случае N и N′ называются дополнительными подмодулями .

Универсальная собственность

На языке теории категорий прямая сумма является копроизведением и , следовательно, копределом в категории левых R -модулей, а это означает, что она характеризуется следующим универсальным свойством . Для каждого i в I рассмотрим естественное вложение

${\displaystyle j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$

который отправляет элементы Mi в те функции, которые равны нулю для всех аргументов, _кроме i . Пусть теперь M — произвольный R -модуль и f _i  : Mi → M — произвольные R -линейные отображения для каждого i , тогда существует ровно одно R -линейное отображение _.

${\displaystyle f:\bigoplus _{i\in I}M_{i}\rightarrow M}$

такой, что f o j _i знак равно f _i для всех i .

Группа Гротендика

Прямая сумма придает набору объектов структуру коммутативного моноида , в котором определяется сложение объектов, но не вычитание. Фактически, можно определить вычитание, и каждый коммутативный моноид можно расширить до абелевой группы . Это расширение известно как группа Гротендика . Расширение осуществляется путем определения классов эквивалентности пар объектов, что позволяет рассматривать определенные пары как инверсные. Конструкция, подробно описанная в статье о группе Гротендика, является «универсальной», поскольку она обладает универсальным свойством быть уникальной и гомоморфной любому другому вложению коммутативного моноида в абелеву группу.

Прямая сумма модулей с дополнительной структурой

Если рассматриваемые нами модули несут некоторую дополнительную структуру (например, норму или внутренний продукт ), то часто можно заставить прямую сумму модулей также нести и эту дополнительную структуру. В этом случае мы получаем копроизведение в соответствующей категории всех объектов, несущих дополнительную структуру. Два ярких примера встречаются для банаховых пространств и гильбертовых пространств .

В некоторых классических текстах словосочетание «прямая сумма алгебр над полем » вводится также для обозначения алгебраической структуры , которую в настоящее время чаще называют прямым произведением алгебр; то есть декартово произведение базовых множеств с покомпонентными операциями . Эта конструкция, однако, дает не копроизведение в категории алгебр, а прямое произведение ( см. примечание ниже и замечание о прямых суммах колец ).

Прямая сумма алгебр

Прямая сумма алгебр и является прямой суммой векторных пространств с произведением ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}).}$

Рассмотрим эти классические примеры:

${\displaystyle \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} }$кольцо изоморфно расщепленным комплексным числам , также используемым в интервальном анализе .

${\displaystyle \mathbf {C} \oplus \mathbf {C} }$— алгебра тессаринов , введенная Джеймсом Коклом в 1848 году.

${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} ,}$называемые сплит-бикватернионы , были введены Уильямом Кингдоном Клиффордом в 1873 году.

Джозеф Веддерберн использовал концепцию прямой суммы алгебр в своей классификации гиперкомплексных чисел . См. его «Лекции по матрицам» (1934), стр. 151. Веддерберн разъясняет различие между прямой суммой и прямым произведением алгебр: для прямой суммы поле скаляров действует совместно на обе части, тогда как для прямого произведения скалярный множитель могут собираться попеременно частями, но не обеими обеими частями: Ян Р. Портеус использует три приведенные выше прямые суммы, обозначая их как кольца скаляров в своем анализе « Алгебр Клиффорда и классических групп» (1995). ${\displaystyle \lambda (x\oplus y)=\lambda x\oplus \lambda y}$ ${\displaystyle \lambda (x,y)=(\lambda x,y)=(x,\lambda y).\!}$ ${\displaystyle ^{2}R,\ ^{2}C,\ ^{2}H,}$

Описанная выше конструкция, а также использование Уэддерберном терминов « прямая сумма» и «прямое произведение» следуют другому соглашению, отличному от соглашения в теории категорий . В категориальных терминах прямая сумма Веддерберна является категориальным произведением , в то время как прямое произведение Веддерберна является копроизведением (или категориальной суммой) , которое (для коммутативных алгебр) фактически соответствует тензорному произведению алгебр .

Прямая сумма банаховых пространств

Прямая сумма двух банаховых пространств и является прямой суммой векторных пространств и рассматривается как векторные пространства с нормой для всех и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|(x,y)\|=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y.}$

Обычно, если это совокупность банаховых пространств, где проходит множество индексов, то прямая сумма представляет собой модуль, состоящий из всех функций, определенных над такими, что для всех и ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x(i)\in X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .}$$

Норма определяется суммой, указанной выше. Прямая сумма с этой нормой снова является банаховым пространством.

Например, если мы возьмем набор индексов, а затем прямую сумму — это пространство , состоящее из всех последовательностей действительных чисел с конечной нормой. ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{1},}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)}$ ${\textstyle \|a\|=\sum _{i}\left|a_{i}\right|.}$

Замкнутое подпространство банахова пространства дополняется, если в нем существует другое замкнутое подпространство , равное внутренней прямой сумме. Обратите внимание, что не каждое замкнутое подпространство дополняется; например , не дополняется в ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\oplus B.}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

Прямая сумма модулей билинейной формы

Пусть — семейство модулей, снабженных билинейными формами . Ортогональная прямая сумма — это прямая сумма модуля с билинейной формой, определенной ^[1] ${\displaystyle \left\{\left(M_{i},b_{i}\right):i\in I\right\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i}\left({x_{i},y_{i}}\right)}$$

${\displaystyle I}$

Прямая сумма гильбертовых пространств

Если задано конечное число гильбертовых пространств , можно построить их ортогональную прямую сумму, как указано выше (поскольку они являются векторными пространствами), определив скалярный продукт как: ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$

$${\displaystyle \left\langle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +\cdots +\langle x_{n},y_{n}\rangle .}$$

Полученная прямая сумма представляет собой гильбертово пространство, которое содержит данные гильбертовы пространства как взаимно ортогональные подпространства.

Если дано бесконечно много гильбертовых пространств для , мы можем провести ту же конструкцию; обратите внимание, что при определении внутреннего продукта только конечное число слагаемых будут ненулевыми. Однако результатом будет только внутреннее пространство продукта , и оно не обязательно будет полным . Затем мы определяем прямую сумму гильбертовых пространств как пополнение этого пространства внутреннего произведения. ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle H_{i}}$

Альтернативно и эквивалентно, можно определить прямую сумму гильбертовых пространств как пространство всех функций α с областью определения, такой, что является элементом для каждого и: ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \alpha (i)}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

$${\displaystyle \sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .}$$

Тогда внутренний продукт двух таких функций α и β определяется как:

$${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .}$$

Это пространство полно, и мы получаем гильбертово пространство.

Например, если мы возьмем набор индексов, а затем прямую сумму - это пространство , которое состоит из всех последовательностей действительных чисел с конечной нормой. Сравнивая это с примером для банаховых пространств , мы видим, что прямая сумма банахового пространства и прямая сумма гильбертова пространства суммы не обязательно одинаковы. Но если слагаемых конечное число, то прямая сумма банахового пространства изоморфна прямой сумме гильбертова пространства, хотя норма будет другой. ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{2},}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)}$ ${\textstyle \|a\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}.}$

Каждое гильбертово пространство изоморфно прямой сумме достаточного числа копий основного поля, которое является либо Это эквивалентно утверждению, что каждое гильбертово пространство имеет ортонормированный базис. В более общем смысле, каждое замкнутое подпространство гильбертова пространства дополняется, поскольку оно допускает ортогональное дополнение . И наоборот, теорема Линденштрауса – Цафрири утверждает, что если каждое замкнутое подпространство банахового пространства дополнимо, то банахово пространство изоморфно (топологически) гильбертовому пространству. ${\displaystyle \mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C} .}$

Смотрите также

• Бипродукт
• Неразборный модуль
• Теорема Джордана – Гёльдера
• Теорема Крулля – Шмидта  - Математическая теорема
• Разделенная точная последовательность  - короткая точная последовательность, в которой средний член представляет собой прямую сумму внешних, а структурные карты являются каноническим включением и проекцией.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Рекомендации

1. Милнор, Дж .; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Том. 73. Шпрингер-Верлаг . стр. 4–5. ISBN 3-540-06009-Х. Збл  0292.10016.

• Адамсон, Иэн Т. (1972), Элементарные кольца и модули , Университетские математические тексты, Оливер и Бойд, ISBN 0-05-002192-3.
• Бурбаки, Николя (1989), Элементы математики, Алгебра I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (1991), Абстрактная алгебра , Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall, Inc., ISBN 0-13-004771-6.
• Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Спрингер, ISBN 0-387-90093-4
• Мак Лейн, С .; Биркгоф, Г. (1999), Алгебра , AMS Челси, ISBN 0-8218-1646-2.