Полупростая алгебра

В теории колец , разделе математики, полупростая алгебра — это ассоциативная артинова алгебра над полем , имеющая тривиальный радикал Джекобсона (только нулевой элемент алгебры находится в радикале Джекобсона). Если алгебра конечномерна, это эквивалентно утверждению, что она может быть выражена как декартово произведение простых подалгебр .

Определение

Радикал Джекобсона алгебры над полем — это идеал, состоящий из всех элементов, которые аннулируют любой простой левый модуль. Радикал содержит все нильпотентные идеалы , и если алгебра конечномерна, то сам радикал является нильпотентным идеалом. Конечномерная алгебра тогда называется полупростой , если ее радикал содержит только нулевой элемент.

Алгебра A называется простой, если она не имеет собственных идеалов и A ² = { ab | a , b ∈ A } ≠ {0}. Как следует из терминологии, простые алгебры являются полупростыми. Единственными возможными идеалами простой алгебры A являются A и {0}. Таким образом, если A проста, то A не нильпотентна. Поскольку A ² является идеалом A и A проста, A ² = A . По индукции, A ⁿ = A для любого положительного целого числа n , т. е . A не нильпотентна.

Любая самосопряженная подалгебра A матриц n × n с комплексными элементами является полупростой. Пусть Rad( A ) — радикал алгебры A . Предположим, что матрица M принадлежит Rad( A ). Тогда M*M лежит в некоторых нильпотентных идеалах алгебры A , поэтому ( M*M ) ^k = 0 для некоторого положительного целого числа k . В силу положительной полуопределенности M*M это влечет M*M = 0. Таким образом, M x — нулевой вектор для всех x , т. е. M = 0.

Если { A _i } — конечный набор простых алгебр, то их декартово произведение A=Π A _i является полупростым. Если ( a _i ) — элемент Rad( A ), а e ₁ — мультипликативное тождество в A ₁ (все простые алгебры обладают мультипликативным тождеством), то ( a ₁ , a ₂ , ...) · ( e ₁ , 0, ...) = ( a ₁ , 0..., 0) лежит в некотором нильпотентном идеале Π A _i . Это означает, что для всех b из A ₁ , a ₁ b нильпотентен в A ₁ , т. е. a ₁ ∈ Rad( A ₁ ). Поэтому a ₁ = 0. Аналогично, a _i = 0 для всех остальных i .

Из определения менее очевидно, что обратное утверждение также верно, то есть любая конечномерная полупростая алгебра изоморфна декартову произведению конечного числа простых алгебр.

Характеристика

Пусть A — конечномерная полупростая алгебра, и

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}\subset A}$

будет композиционным рядом A , тогда A изоморфно следующему декартову произведению:

${\displaystyle A\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}\times J_{3}/J_{2}\times ...\times J_{n}/J_{n-1}\times A/J_{n}}$

где каждый

${\displaystyle J_{i+1}/J_{i}\,}$

— простая алгебра.

Доказательство можно набросать следующим образом. Во-первых, используя предположение, что A полупроста, можно показать, что J ₁ является простой алгеброй (следовательно, унитальной). Так что J ₁ является унитальной подалгеброй и идеалом J ₂ . Следовательно, можно разложить

${\displaystyle J_{2}\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}.}$

В силу максимальности J ₁ как идеала в J ₂ , а также полупростоты A , алгебра

${\displaystyle J_{2}/J_{1}\,}$

является простым. Продолжение индукции аналогичным образом доказывает утверждение. Например, J ₃ является декартовым произведением простых алгебр

${\displaystyle J_{3}\simeq J_{2}\times J_{3}/J_{2}\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}\times J_{3}/J_{2}.}$

Вышеуказанный результат можно переформулировать по-другому. Для полупростой алгебры A = A ₁ ×...× A _{n ,} выраженной через ее простые множители, рассмотрим единицы e _i ∈ A _i . Элементы E _i = (0,..., e _i ,...,0) являются идемпотентными элементами в A , и они лежат в центре A . Кроме того, E _i A = A _i , E _i E _j = 0 для i ≠ j , и Σ E _i = 1, мультипликативное тождество в A .

Следовательно, для каждой полупростой алгебры A существуют идемпотенты { E _i } в центре A , такие, что

1. E _i E _j = 0 при i ≠ j (такой набор идемпотентов называется центрально-ортогональным ),
2. Σ E _i = 1,
3. A изоморфна декартовому произведению простых алгебр E ₁ A ×...× E _n A .

Классификация

Теорема Джозефа Веддерберна полностью классифицирует конечномерные полупростые алгебры над полем . Любая такая алгебра изоморфна конечному произведению, где — натуральные числа, — алгебры с делением над , а — алгебра матриц над . Это произведение единственно с точностью до перестановки множителей. ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \prod M_{n_{i}}(D_{i})}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})}$ ${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$ ${\displaystyle D_{i}}$

Эта теорема была позже обобщена Эмилем Артином на полупростые кольца. Этот более общий результат называется теоремой Веддерберна–Артина .

Ссылки

1. Энтони Кнапп (2007). Высшая алгебра, гл. II: Теория колец Веддерберна-Артина (PDF) . Спрингер Верлаг.

Энциклопедия математики Springer