Гамильтониан (квантовая механика)

Квантовый оператор суммы энергий системы

В квантовой механике гамильтониан системы — это оператор , соответствующий полной энергии этой системы, включая как кинетическую , так и потенциальную энергию . Его спектр , энергетический спектр системы или набор собственных значений энергии , представляет собой набор возможных результатов, получаемых в результате измерения полной энергии системы. Из-за своей тесной связи с энергетическим спектром и эволюцией системы во времени , он имеет фундаментальное значение в большинстве формулировок квантовой теории .

Гамильтониан назван в честь Уильяма Роуэна Гамильтона , который разработал революционную переформулировку ньютоновской механики , известную как гамильтонова механика , которая исторически сыграла важную роль в развитии квантовой физики. Подобно векторной записи , она обычно обозначается , где шляпка указывает, что это оператор. Его также можно записать как или . ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\check {H}}}$

Введение

Гамильтониан системы представляет собой полную энергию системы; то есть сумма кинетической и потенциальной энергий всех частиц, связанных с системой. Гамильтониан принимает разные формы и в некоторых случаях может быть упрощен, принимая во внимание конкретные характеристики анализируемой системы, такие как наличие одной или нескольких частиц в системе, взаимодействие между частицами, вид потенциальной энергии, изменяющийся во времени потенциал или не зависящий от времени потенциал. один.

Гамильтониан Шрёдингера

Одна частица

По аналогии с классической механикой гамильтониан принято выражать как сумму операторов , соответствующих кинетической и потенциальной энергиям системы, в виде

$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},}$$

где

$${\displaystyle {\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t),}$$

потенциальным энергетическим

$${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},}$$

кинетической энергиимассаскалярное произведение ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,}$$

оператор импульсаоператор delпроизведениелапласианомдекартовых координат ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}}$$

Хотя это не техническое определение гамильтониана в классической механике , это та форма, которую он принимает чаще всего. Объединение этих значений дает форму, используемую в уравнении Шредингера :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}}$$

что позволяет применять гамильтониан к системам, описываемым волновой функцией . Это подход, обычно используемый при вводном рассмотрении квантовой механики с использованием формализма волновой механики Шредингера. ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$

Можно также сделать замены в определенных переменных, чтобы они соответствовали конкретным случаям, например, связанным с электромагнитными полями.

Ожидаемая стоимость

Можно показать, что математическое ожидание гамильтониана, которое дает математическое ожидание энергии, всегда будет больше или равно минимальному потенциалу системы.

Рассмотрим вычисление ожидаемого значения кинетической энергии:

${\displaystyle {\begin{aligned}KE&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}\left({\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\right)\,dx\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]_{-\infty }^{+\infty }}-\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)^{*}\,dx\right)\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}\,dx\geq 0\end{aligned}}}$

Следовательно, математическое ожидание кинетической энергии всегда неотрицательно. Этот результат можно использовать для расчета математического ожидания полной энергии, которая дается для нормированной волновой функции как:

${\displaystyle E=KE+\langle V(x)\rangle =KE+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)}$

которые завершают доказательство. Аналогично, это условие можно обобщить на любые более высокие измерения, используя теорему о дивергенции .

Многие частицы

Формализм можно распространить на частицы: ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}}$$

где

$${\displaystyle {\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t),}$$

$${\displaystyle {\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{n}}}\nabla _{n}^{2}}$$

n ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla _{n}^{2}}$

$${\displaystyle \nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}},}$$

Их объединение дает гамильтониан Шредингера для случая -частицы: ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}}$$

Однако в задаче многих тел могут возникнуть осложнения . Поскольку потенциальная энергия зависит от пространственного расположения частиц, кинетическая энергия также будет зависеть от пространственной конфигурации для сохранения энергии. Движение любой частицы будет меняться в зависимости от движения всех остальных частиц в системе. По этой причине в гамильтониане могут появиться перекрестные члены для кинетической энергии; смесь градиентов для двух частиц:

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}}$$

где обозначает массу совокупности частиц, образующих эту дополнительную кинетическую энергию. Члены этой формы известны как члены массовой поляризации и появляются в гамильтониане многих электронных атомов (см. Ниже). ${\displaystyle M}$

Для взаимодействующих частиц, то есть частиц, которые взаимодействуют друг с другом и образуют ситуацию многих тел, функция потенциальной энергии не является просто суммой отдельных потенциалов (и, конечно, не продуктом, поскольку это неверно по размерности). Функцию потенциальной энергии можно записать только так, как указано выше: функцию всех пространственных положений каждой частицы. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$

Для невзаимодействующих частиц, т.е. частиц, которые не взаимодействуют друг с другом и движутся независимо, потенциал системы представляет собой сумму отдельной потенциальной энергии каждой частицы, ^[1] то есть

$${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)}$$

Общий вид гамильтониана в этом случае следующий:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}}$$

где сумма берется по всем частицам и соответствующим им потенциалам; в результате гамильтониан системы представляет собой сумму отдельных гамильтонианов для каждой частицы. Это идеализированная ситуация: на практике частицы почти всегда находятся под влиянием некоторого потенциала, и существуют взаимодействия многих тел. Одним из наглядных примеров взаимодействия двух тел, где эта форма не применима, являются электростатические потенциалы, возникающие из-за заряженных частиц, поскольку они взаимодействуют друг с другом посредством кулоновского взаимодействия (электростатической силы), как показано ниже.

Уравнение Шрёдингера

Гамильтониан порождает временную эволюцию квантовых состояний. Если это состояние системы в момент времени , то ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}$$

Это уравнение является уравнением Шрёдингера . Оно принимает ту же форму, что и уравнение Гамильтона–Якоби , которое по одной из причин также называется гамильтонианом. Учитывая состояние в некоторый начальный момент времени ( ), мы можем решить его, чтобы получить состояние в любой последующий момент времени. В частности, если не зависит от времени, то ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$$

Экспоненциальный оператор в правой части уравнения Шредингера обычно определяется соответствующим степенным рядом в . Можно заметить, что использование полиномов или степенных рядов неограниченных операторов , которые не определены везде, может не иметь математического смысла. Строго говоря, чтобы взять функции неограниченных операторов, необходимо функциональное исчисление . В случае показательной функции достаточно непрерывного или просто голоморфного функционального исчисления . Заметим, однако, еще раз, что для обычных расчетов формулировки физиков вполне достаточно. ${\displaystyle H}$

По свойству *-гомоморфизма функционального исчисления оператор

$${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$$

является унитарным оператором . Это оператор временной эволюции или распространитель замкнутой квантовой системы. Если гамильтониан не зависит от времени, сформируйте унитарную группу с одним параметром (больше, чем полугруппа ); это порождает физический принцип детального баланса . ${\displaystyle \{U(t)\}}$

формализм Дирака

Однако в более общем формализме Дирака гамильтониан обычно реализуется как оператор в гильбертовом пространстве следующим образом:

Собственные векторы ( собственные векторы ) , обозначенные , обеспечивают ортонормированный базис для гильбертова пространства. Спектр разрешенных энергетических уровней системы задается набором собственных значений, обозначаемых , решающих уравнение: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left|a\right\rangle }$ ${\displaystyle \{E_{a}\}}$

$${\displaystyle H\left|a\right\rangle =E_{a}\left|a\right\rangle .}$$

Поскольку оператор является эрмитовым , энергия всегда является действительным числом . ${\displaystyle H}$

С математически строгой точки зрения необходимо соблюдать осторожность при использовании приведенных выше предположений. Операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах не обязаны иметь собственные значения (множество собственных значений не обязательно совпадает со спектром оператора ). Однако все рутинные квантово-механические расчеты можно выполнить, используя физическую формулировку. ^{[ нужны разъяснения ]}

Выражения для гамильтониана

Ниже приведены выражения для гамильтониана в ряде ситуаций. ^[2] Типичными способами классификации выражений являются количество частиц, количество измерений и характер функции потенциальной энергии — что немаловажно, зависимость от пространства и времени. Массы обозначаются , а заряды – . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

Общие формы для одной частицы

Свободная частица

Частица не связана никакой потенциальной энергией, поэтому потенциал равен нулю, и этот гамильтониан является самым простым. Для одного измерения:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$$

и в более высоких измерениях:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$$

Яма с постоянным потенциалом

Для частицы в области постоянного потенциала (не зависящей от пространства и времени) в одном измерении гамильтониан имеет вид: ${\displaystyle V=V_{0}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}}$$

в трех измерениях

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}}$$

Это относится к элементарной задаче « частица в ящике » и ступенчатым потенциалам .

Простой гармонический генератор

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал меняется в зависимости от положения (но не времени) согласно:

$${\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$$

где угловая частота , эффективная жесткость пружины и масса осциллятора удовлетворяют: ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$$

поэтому гамильтониан:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$$

Для трех измерений это становится

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}}$$

где трехмерный вектор положения, использующий декартовы координаты, равен , его величина равна ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

$${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$

Полный вывод гамильтониана показывает, что это просто сумма одномерных гамильтонианов в каждом направлении:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\[6pt]&=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Жесткий ротор

Для жесткого ротора — т. е. системы частиц, которые могут свободно вращаться вокруг любых осей, не связанных никаким потенциалом (например, свободные молекулы с незначительными колебательными степенями свободы , скажем, из-за двойных или тройных химических связей ), гамильтониан имеет вид:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{\hat {J}}_{x}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{\hat {J}}_{y}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{\hat {J}}_{z}^{2}}$$

где , , и - компоненты момента инерции (технически диагональные элементы тензора момента инерции ), а , , и - операторы полного углового момента (компоненты) относительно осей , и соответственно. ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{yy}}$ ${\displaystyle I_{zz}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{x}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{y}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Электростатический (кулоновский) потенциал

Кулоновская потенциальная энергия для двух точечных зарядов и (т. е. тех, которые не имеют независимой пространственной протяженности) в трех измерениях равна (в единицах СИ , а не в гауссовских единицах , которые часто используются в электромагнетизме ): ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$

$${\displaystyle V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}}$$

Однако это всего лишь возможность возникновения одного точечного заряда из-за другого. Если имеется много заряженных частиц, каждый заряд имеет потенциальную энергию, обусловленную каждым другим точечным зарядом (кроме самого себя). Для зарядов потенциальная энергия заряда, обусловленная всеми другими зарядами, равна (см. также Электростатическая потенциальная энергия, запасенная в конфигурации дискретных точечных зарядов ): ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q_{j}}$

$${\displaystyle V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$$

где – электростатический потенциал заряда при . Тогда общий потенциал системы равен сумме : ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{i})}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$$

поэтому гамильтониан:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&=\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}}$$

Электрический диполь в электрическом поле

Для электрического дипольного момента , составляющего заряды величиной , в однородном электростатическом поле (независящем от времени) , расположенном в одном месте, потенциал равен: ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

$${\displaystyle V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} }$$

сам дипольный момент является оператором

$${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }$$

Поскольку частица неподвижна, поступательная кинетическая энергия диполя отсутствует, поэтому гамильтониан диполя представляет собой просто потенциальную энергию:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E} }$$

Магнитный диполь в магнитном поле

Для магнитного дипольного момента в однородном магнитостатическом поле (независящем от времени) , расположенном в одном месте, потенциал равен: ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$$

Поскольку частица неподвижна, поступательная кинетическая энергия диполя отсутствует, поэтому гамильтониан диполя представляет собой просто потенциальную энергию:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$$

Для частицы со спином 1/2 соответствующий спиновый магнитный момент равен: [ ^4]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} }$$

где – «спиновый g-фактор » (не путать с гиромагнитным отношением ), – заряд электрона, – вектор спинового оператора , компонентами которого являются матрицы Паули , следовательно ${\displaystyle g_{s}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B} }$$

Заряженная частица в электромагнитном поле

Для частицы с массой и зарядом в электромагнитном поле, описываемой скалярным потенциалом и векторным потенциалом , в гамильтониане необходимо заменить две части. ^[1] Канонический оператор импульса , который включает в себя вклад поля и удовлетворяет каноническому коммутационному соотношению , должен быть квантован; ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} ,}$$

где кинетический импульс . Рецепт квантования гласит: ${\displaystyle m{\dot {\mathbf {r} }}}$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla ,}$$

поэтому соответствующий оператор кинетической энергии равен

$${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}}$$

а потенциальная энергия, обусловленная полем , определяется выражением ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\hat {V}}=q\phi .}$$

Преобразование всего этого в гамильтониан дает

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi .}$$

Вырождение собственной энергии, симметрия и законы сохранения

Во многих системах два или более собственных энергетических состояний имеют одинаковую энергию. Простым примером этого является свободная частица, собственные энергетические состояния которой имеют волновые функции, распространяющие плоские волны. Энергия каждой из этих плоских волн обратно пропорциональна квадрату ее длины волны . Волна, распространяющаяся в направлении, представляет собой другое состояние, чем волна, распространяющаяся в направлении , но если они имеют одинаковую длину волны, то их энергии будут одинаковыми. Когда это происходит, говорят, что государства вырождаются . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Оказывается, вырождение происходит всякий раз, когда нетривиальный унитарный оператор коммутирует с гамильтонианом. Чтобы увидеть это, предположим, что это собственный энергетический блок. Тогда – собственный энергетический блок с тем же собственным значением, так как ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |a\rangle }$ ${\displaystyle U|a\rangle }$

$${\displaystyle UH|a\rangle =UE_{a}|a\rangle =E_{a}(U|a\rangle )=H\;(U|a\rangle ).}$$

Поскольку это нетривиально, по крайней мере одна пара и должна представлять разные состояния. Следовательно, имеет хотя бы одну пару собственных вырожденных энергетических цепей. В случае свободной частицы унитарным оператором, обеспечивающим симметрию, является оператор вращения , который поворачивает волновые функции на некоторый угол, сохраняя при этом их форму. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |a\rangle }$ ${\displaystyle U|a\rangle }$ ${\displaystyle H}$

Существование оператора симметрии подразумевает существование сохраняющейся наблюдаемой . Пусть будет эрмитовым генератором : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle U=I-i\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})}$$

Несложно показать, что если коммутирует с , то и : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle [H,G]=0}$$

Поэтому,

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi (t)|G|\psi (t)\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi (t)|[G,H]|\psi (t)\rangle =0.}$$

Для получения этого результата мы использовали уравнение Шрёдингера, а также двойственное ему уравнение

$${\displaystyle \langle \psi (t)|H=-i\hbar {\partial \over \partial t}\langle \psi (t)|.}$$

Таким образом, ожидаемое значение наблюдаемой сохраняется для любого состояния системы. В случае свободной частицы сохраняющейся величиной является угловой момент . ${\displaystyle G}$

Уравнения Гамильтона

Уравнения Гамильтона в классической гамильтоновой механике имеют прямую аналогию в квантовой механике. Предположим, у нас есть набор базисных состояний , которые не обязательно должны быть собственными состояниями энергии. Для простоты будем считать, что они дискретны и ортонормированы, т. е. ${\displaystyle \left\{\left|n\right\rangle \right\}}$

$${\displaystyle \langle n'|n\rangle =\delta _{nn'}}$$

Обратите внимание, что эти базисные состояния считаются независимыми от времени. Будем считать, что гамильтониан также не зависит от времени.

Мгновенное состояние системы в момент времени , , можно разложить на следующие базисные состояния: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$

$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle }$$

где

$${\displaystyle a_{n}(t)=\langle n|\psi (t)\rangle .}$$

Коэффициенты являются комплексными переменными. Мы можем рассматривать их как координаты, которые определяют состояние системы, подобно координатам положения и импульса, которые определяют классическую систему. Подобно классическим координатам, они, как правило, не постоянны во времени, и их зависимость от времени порождает зависимость от времени системы в целом. ${\displaystyle a_{n}(t)}$

Среднее значение гамильтониана этого состояния, которое также является средней энергией, равно

$${\displaystyle \langle H(t)\rangle \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \langle \psi (t)|H|\psi (t)\rangle =\sum _{nn'}a_{n'}^{*}a_{n}\langle n'|H|n\rangle }$$

где последний шаг был получен путем расширения по базисным состояниям. ${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$

Каждая фактически соответствует двум независимым степеням свободы, поскольку переменная имеет действительную и мнимую части. Теперь мы проделаем следующий трюк: вместо того, чтобы использовать действительную и мнимую части в качестве независимых переменных, мы используем и ее комплексно-сопряженную величину . При таком выборе независимых переменных мы можем вычислить частную производную ${\displaystyle a_{n}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}^{*}(t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=\sum _{n}a_{n}\langle n'|H|n\rangle =\langle n'|H|\psi \rangle }$$

Применяя уравнение Шрёдингера и используя ортонормированность базисных состояний, это далее сводится к

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=i\hbar {\frac {\partial a_{n'}}{\partial t}}}$$

Аналогично можно показать, что

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-i\hbar {\frac {\partial a_{n}^{*}}{\partial t}}}$$

Если мы определим переменные «сопряженного импульса» как ${\displaystyle \pi _{n}}$

$${\displaystyle \pi _{n}(t)=i\hbar a_{n}^{*}(t)}$$

тогда приведенные выше уравнения станут

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial \pi _{n}}}={\frac {\partial a_{n}}{\partial t}},\quad {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-{\frac {\partial \pi _{n}}{\partial t}}}$$

что представляет собой в точности форму уравнений Гамильтона, где s является обобщенными координатами, s — сопряженными импульсами и заменяет классический гамильтониан. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \langle H\rangle }$

Смотрите также

• гамильтонова механика
• Квантовая система с двумя состояниями
• Оператор (физика)
• Обозначение Бра-кета
• Квантовое состояние
• Линейная алгебра
• Сохранение энергии
• Потенциальная теория
• Задача многих тел
• Электростатика
• Электрическое поле
• Магнитное поле
• Неравенство Либа – Тирринга

Рекомендации

1. Резник, Р.; Айсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-87373-Х.
2. Аткинс, PW (1974). Кванта: Справочник концепций . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-855493-1.
3. Грант, И.С.; Филлипс, WR (2008). Электромагнетизм . Манчестерская серия по физике (2-е изд.). ISBN 978-0-471-92712-9.
4. Брансден, Британская Колумбия; Хоахейн, CJ (1983). Физика атомов и молекул . Лонгман. ISBN 0-582-44401-2.

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с гамильтонианом (квантовой механикой) в Wikiquote