В физике свободная частица — это частица, которая в некотором смысле не связана внешней силой или, что то же самое, не находится в области изменения ее потенциальной энергии. В классической физике это означает, что частица находится в «свободном от поля» пространстве. В квантовой механике это означает, что частица находится в области однородного потенциала, который обычно равен нулю в интересующей области, поскольку потенциал может быть произвольно установлен равным нулю в любой точке пространства.
Классическая свободная частица
Классическая свободная частица характеризуется фиксированной скоростью v . Импульс задается _
с амплитудой A и имеет два разных правила в зависимости от его массы:
если частица имеет массу : (или эквивалентную ).
если частица является безмассовой частицей: .
Спектр собственных значений бесконечно вырожден, поскольку каждому собственному значению E >0 соответствует бесконечное число собственных функций, соответствующих различным направлениям .
Соотношения Де Бройля : , применяются. Поскольку потенциальная энергия равна (как утверждается) нулю, полная энергия E равна кинетической энергии, которая имеет ту же форму, что и в классической физике:
Что касается всех квантовых частиц, свободных или связанных, применяются принципы неопределенности Гейзенберга . Понятно, что поскольку плоская волна имеет определенный импульс (определенную энергию), вероятность обнаружения местоположения частицы едина и пренебрежимо мала во всем пространстве. Другими словами, волновая функция не нормируема в евклидовом пространстве, эти стационарные состояния не могут соответствовать физически реализуемым состояниям . [1]
где * обозначает комплексно-сопряженное число , по всему пространству — это вероятность найти частицу во всем пространстве, которая должна быть равна единице, если частица существует:
Это условие нормировки волновой функции. Волновая функция не нормируема для плоской волны, но нормируется для волнового пакета .
Интерпретация волновой функции для одной частицы со спином 0 в одном измерении. Показанные волновые функции являются непрерывными, конечными, однозначными и нормированными. Непрозрачность цвета (%) частиц соответствует плотности вероятности (которая может измеряться в %) обнаружения частицы в точках на оси x.
Разложение Фурье
Волновая функция свободной частицы может быть представлена суперпозицией собственных функций импульса с коэффициентами, заданными преобразованием Фурье исходной волновой функции: [2]
где интеграл ведется по всему k -пространству и (чтобы гарантировать, что волновой пакет является решением уравнения Шредингера для свободных частиц). Здесь — значение волновой функции в момент времени 0, а — преобразование Фурье . (Преобразование Фурье, по сути, представляет собой волновую функцию импульса волновой функции положения , но записанную как функцию от .)
Среднее значение импульса p для комплексной плоской волны равно
а для общего волнового пакета это
Ожидаемое значение энергии E равно
Групповая скорость и фазовая скорость
Фазовая скорость определяется как скорость, с которой распространяется решение в виде плоской волны, а именно:
Обратите внимание, что это не скорость классической частицы с импульсом ; скорее, это половина классической скорости.
При этом предположим, что исходная волновая функция представляет собой волновой пакет , преобразование Фурье которого сосредоточено вблизи определенного волнового вектора . Тогда групповая скорость плоской волны определяется как
что согласуется с формулой для классической скорости частицы. Групповая скорость — это (приблизительная) скорость, с которой распространяется весь волновой пакет, а фазовая скорость — это скорость, с которой движутся отдельные пики волнового пакета. [3] На рисунке показано это явление: отдельные пики внутри волнового пакета распространяются со скоростью вдвое меньшей скорости всего пакета.
Распространение волнового пакета
Понятие групповой скорости основано на линейной аппроксимации дисперсионного уравнения вблизи определенного значения . [4] В этом приближении амплитуда волнового пакета движется со скоростью, равной групповой скорости, не меняя формы . Этот результат является приближением, которое не отражает некоторые интересные аспекты эволюции свободной квантовой частицы. Примечательно, что ширина волнового пакета, измеряемая неопределенностью положения, растет линейно во времени в течение больших времен. Это явление называется расплыванием волнового пакета свободной частицы.
В частности, нетрудно вычислить точную формулу неопределенности как функции времени, где – оператор положения. Для простоты работая в одном пространственном измерении, мы имеем: [5]
Таким образом, при больших положительных временах неопределенность растет линейно с коэффициентом, равным . Если импульс исходной волновой функции сильно локализован, волновой пакет будет распространяться медленно и приближение групповой скорости останется хорошим в течение длительного времени. Интуитивно этот результат говорит о том, что если исходная волновая функция имеет очень четко определенный импульс, то частица имеет четко определенную скорость и будет (в хорошем приближении) распространяться с этой скоростью в течение длительного времени.