Оператор умножения

В теории операторов оператором умножения называется оператор Tf _, определенный в некотором векторном пространстве функций и значение которого в функции φ задается умножением на фиксированную функцию f . То есть для всех φ в области T _f и всех x в области φ (которая совпадает с областью определения f ). ^[1] $${\displaystyle T_{f}\varphi (x)=f(x)\varphi (x)\quad }$$

Операторы умножения обобщают понятие оператора, заданного диагональной матрицей . ^[2] Точнее, одним из результатов теории операторов является спектральная теорема , утверждающая, что каждый самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен оператору умножения в пространстве L 2 . ^[3]

Эти операторы часто противопоставляются операторам композиции , которые аналогичным образом индуцируются любой фиксированной функцией f . Они также тесно связаны с операторами Теплица , которые представляют собой сжатие операторов умножения на окружности в пространство Харди .

Характеристики

• Оператор умножения на , где X -конечен , ограничен тогда и только тогда, когда f находится в . В этом случае его операторная норма равна . ^[1] ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle L^{2}(X)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$

• Сопряженным оператором умножения является , где – комплексно- сопряженный оператор f . Как следствие, является самосопряженным тогда и только тогда, когда f вещественнозначно. ^[4] ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle T_{\overline {f}}}$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle T_{f}}$

• Спектр ограниченного оператора умножения — это существенный диапазон f ; вне этого спектра обратным является оператор умножения ^[1] ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle (T_{f}-\lambda )}$ ${\displaystyle T_{\frac {1}{f-\lambda }}.}$

• Два ограниченных оператора умножения и on равны, если f и g равны почти всюду . ^[4] ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle T_{g}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Пример

Рассмотрим гильбертово пространство X = L ² [−1, 3] комплекснозначных функций , интегрируемых с квадратом на интервале [−1, 3] . С f ( x ) = x ² определите оператор для любой функции φ из X . Это будет самосопряженный ограниченный линейный оператор со всей областью определения X = L ² [−1, 3] и нормой 9 . Его спектром будет интервал [0, 9] ( диапазон функции x ↦ x ² , определенной на [−1, 3] ). Действительно, для любого комплексного числа λ оператор T _f − λ задается формулой $${\displaystyle T_{f}\varphi (x)=x^{2}\varphi (x)}$$ $${\displaystyle (T_{f}-\lambda )(\varphi )(x)=(x^{2}-\lambda )\varphi (x).}$$

Он обратим тогда и только тогда, когда λ не находится в [0, 9] и тогда его обратным является другой оператор умножения. $${\displaystyle (T_{f}-\lambda )^{-1}(\varphi )(x)={\frac {1}{x^{2}-\lambda }}\varphi (x),}$$

Этот пример можно легко обобщить для характеристики нормы и спектра оператора умножения в ^любом пространстве Lp .

Смотрите также

• Оператор перевода
• Оператор смены
• Оператор трансфера
• Разложение спектра (функциональный анализ)

Рекомендации

1. Арвесон, Уильям (2001). Краткий курс спектральной теории . Тексты для аспирантов по математике. Том. 209. Спрингер Верлаг . ISBN 0-387-95300-0.
2. Халмос, Пол (1982). Книга задач о гильбертовом пространстве . Тексты для аспирантов по математике. Том. 19. Спрингер Верлаг . ISBN 0-387-90685-1.
3. Вайдманн, Иоахим (1980). Линейные операторы в гильбертовых пространствах . Тексты для аспирантов по математике. Том. 68. Спрингер Верлаг . ISBN 978-1-4612-6029-5.
4. Гарсия, Стефан Рамон ; Машреги, Джавад ; Росс, Уильям Т. (2023). Теория операторов на примерах . Оксфордские тексты для выпускников по математике. Том. 30. Издательство Оксфордского университета . ISBN 9780192863867.

• Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике. Том. 96. Спрингер Верлаг . ISBN 0-387-97245-5.