Харди космос

Концепция в рамках комплексного анализа

В комплексном анализе пространства Харди (или классы Харди ) Hp — некоторые ^{пространства} голоморфных функций на единичном круге или верхней полуплоскости . Они были представлены Фриджесом Риссом (Riesz 1923), который назвал их в честь Г.Х. Харди из-за статьи (Hardy 1915). В реальном анализе пространства Харди — это некоторые пространства распределений на вещественной прямой, которые являются (в смысле распределений) граничными значениями голоморфных функций комплексных пространств Харди и связаны с ^{пространствами} Lp функционального анализа . При 1 ≤  p  < ∞ эти реальные пространства Харди H ^p являются определенными подмножествами L p , тогда как при p < 1 пространства L ^p обладают некоторыми нежелательными свойствами, и пространства Харди ведут себя гораздо лучше ^.

Существуют также обобщения более высокой размерности, состоящие из некоторых голоморфных функций на трубчатых областях в комплексном случае или некоторых пространств распределений на R ⁿ в вещественном случае.

Пространства Харди имеют ряд приложений в самом математическом анализе , а также в теории управления (например, методы H ∞ ) и в теории рассеяния .

Харди-пространства для единичного диска

Для пространств голоморфных функций на открытом единичном круге пространство Харди H ² состоит из функций f , среднеквадратичное значение которых на окружности радиуса r остается ограниченным при r → 1 снизу.

В более общем смысле пространство Харди H ^p для 0 < p < ∞ — это класс голоморфных функций f на открытом единичном круге, удовлетворяющих условиям

${\displaystyle \sup _{0\leqslant r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|^{p}\;\mathrm {d} \theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$

Этот класс H ^p является векторным пространством. Число в левой части приведенного выше неравенства представляет собой p -норму пространства Харди для f , обозначаемую как Оно является нормой, когда p ≥ 1, но не когда 0 < p  < 1. ${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}.}$

Пространство H∞ определяется как векторное пространство ограниченных голоморфных функций на круге с ^нормой

${\displaystyle \|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{|z|<1}\left|f(z)\right|.}$

При 0 < p ≤ q ≤ ∞ класс H ^q является подмножеством H p , и H ^p -норма увеличивается с p (следствием неравенства Гёльдера является то, ^что L ^p -норма увеличивается для вероятностных мер , т.е. меры с общей массой 1).

Пространства Харди на единичном круге

Пространства Харди, определенные в предыдущем разделе, также можно рассматривать как некоторые замкнутые векторные подпространства комплексных пространств L p на единичной окружности. Эту связь обеспечивает следующая теорема (Кацнельсон, 1976, теорема 3.8): Для любого f ∈ H ^p и p ≥ 1 радиальный предел

${\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=\lim _{r\to 1}f\left(re^{i\theta }\right)}$

существует почти для любого θ. Функция принадлежит пространству Lp для единичного круга, ^{[ необходимы пояснения ] ,} и это ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle \|{\tilde {f}}\|_{L^{p}}=\|f\|_{H^{p}}.}$

Обозначая единичную окружность через T и через H ^p ( T ) векторное подпространство L ^p ( T ), состоящее из всех предельных функций , когда f меняется в H ^p , тогда получается то же самое для p  ≥ 1 (Кацнельсон 1976) ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle g\in H^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ if and only if }}g\in L^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ and }}{\hat {g}}(n)=0{\text{ for all }}n<0,}$

где ĝ ( n ) — коэффициенты Фурье функции g , интегрируемой на единичной окружности,

${\displaystyle \forall n\in \mathbf {Z} ,\ \ \ {\hat {g}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g\left(e^{i\phi }\right)e^{-in\phi }\,\mathrm {d} \phi .}$

Пространство H ^p ( T ) является замкнутым подпространством L ^p ( T ). Поскольку L ^p ( T ) является банаховым пространством (при 1 ⩽ p ⩽ ∞), то же самое и H ^p ( T ).

Вышеописанное можно изменить. Учитывая функцию с p ≥ 1, можно восстановить ( гармоническую ) функцию f на единичном круге с помощью ядра Пуассона P _r : ${\displaystyle {\tilde {f}}\in L^{p}(\mathbf {T} )}$

${\displaystyle f\left(re^{i\theta }\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -\phi ){\tilde {f}}\left(e^{i\phi }\right)\,\mathrm {d} \phi ,\quad r<1,}$

и f принадлежит H ^p ровно тогда, когда находится в H ^p ( T ). Предположим, что он находится в H ^p ( T ), т. е . имеет коэффициенты Фурье ( an ) _{n ∈ Z} с n ₌ 0 для каждого n < 0, _тогда элемент f пространства Харди H ^p , связанный с ним, является голоморфной функцией ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\ \ \ |z|<1.}$

В приложениях функции с исчезающими отрицательными коэффициентами Фурье обычно интерпретируются как причинные решения. ^{[ необходимы разъяснения ]} Таким образом, пространство H ² естественным образом находится внутри пространства L ² и представлено бесконечными последовательностями , индексированными N ; тогда как L ² состоит из бибесконечных последовательностей, индексированных Z .

Связь с реальными пространствами Харди на окружности

Когда 1 ≤ p < ∞, вещественные пространства Харди H ^p , обсуждаемые далее ^{[ необходимы пояснения ]} в этой статье, легко описать в данном контексте. Действительная функция f на единичной окружности принадлежит реальному пространству Харди H ^p ( T ), если она является вещественной частью функции из H ^p ( T ), а комплексная функция f принадлежит реальному пространству Харди тогда и только тогда, когда Re( f ) и Im( f ) принадлежат пространству (см. раздел о реальных пространствах Харди ниже). Таким образом, при 1 ≤ p < ∞ реальное пространство Харди содержит пространство Харди, но оно намного больше, поскольку между действительной и мнимой частью функции не устанавливается никакой связи.

При 0 < p < 1 такие инструменты, как коэффициенты Фурье, интеграл Пуассона, сопряженная функция, перестают действовать. Например, рассмотрим функцию

${\displaystyle F(z)={\frac {1+z}{1-z}},\quad |z|<1.}$

Тогда F находится в H ^p для любого 0 < p < 1 и радиальный предел

${\displaystyle f(e^{i\theta }):=\lim _{r\to 1}F(re^{i\theta })=i\,\cot({\tfrac {\theta }{2}}).}$

существует для п.в. ^θ и находится в Hp ( T ), но Re( f ) почти всюду равно 0, поэтому восстановить F из Re( f ) уже невозможно . Как следствие этого примера, видно, что для 0 < p < 1 невозможно охарактеризовать реальный H ^p ( T ) (определенный ниже) простым способом, приведенным выше, ^{[ необходимы пояснения ]} , но необходимо использовать фактическое определение, используя максимальные функции, которые приведены где-то ниже.

Для той же функции F пусть f _r (e ^iθ ) = F ( re ^iθ ). Предел Re( f _r ) при r → 1 в смысле распределений на окружности является ненулевым кратным распределению Дирака при z = 1. Распределение Дирака в точке единичного круга принадлежит вещественному - H ^p ( T ) для каждого p  < 1 (см. ниже).

Факторизация на внутренние и внешние функции (Берлинг)

Для 0 <  p  ≤ ∞ каждую ненулевую функцию f из H ^p можно записать как произведение f = Gh , где G — внешняя функция , а h — внутренняя функция , как определено ниже (Рудин 1987, теорема 17.17). Эта « факторизация Берлинга » позволяет полностью охарактеризовать пространство Харди пространствами внутренних и внешних функций. ^{[1] [2]}

Говорят, что G ( z ) ^{[ необходимы пояснения ]} является внешней (внешней) функцией , если она принимает вид

${\displaystyle G(z)=c\,\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\log \!\left(\varphi \!\left(e^{i\theta }\right)\right)\,\mathrm {d} \theta \right)}$

для некоторого комплексного числа c с | с | = 1, и некоторую положительную измеримую функцию на единичной окружности, интегрируемую на ней. В частности, когда G интегрируема на окружности, G находится в H ¹ , поскольку вышеизложенное принимает форму ядра Пуассона (Рудин 1987, теорема 17.16). Это означает, что ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \log(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}\left|G\left(re^{i\theta }\right)\right|=\varphi \left(e^{i\theta }\right)}$

почти для каждого θ.

Говорят, что h — внутренняя (внутренняя) функция тогда и только тогда, когда | ч | ≤ 1 на единичном круге и предел

${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}h(re^{i\theta })}$

существует почти для всех θ и его модуль равен 1 п.в. В частности, h находится в H ^∞ . ^{[ необходимы разъяснения ]} Внутреннюю функцию можно дополнительно преобразовать в форму, включающую произведение Бляшке .

Функция f , разложенная как f = Gh , ^{[ необходимы пояснения ]} находится в H ^p тогда и только тогда, когда φ принадлежит L ^p ( T ) , где φ — положительная функция в представлении внешней функции G.

Пусть G — внешняя функция, представленная, как указано выше, из функции φ на окружности. Заменяя φ на φα ^, α > 0, получается семейство ( Gα _{) внешних функций со свойствами:}

г ₁  знак равно г , г _α+β знак равно г _α  г _β   и | г _α | = | г | ^α почти всюду на окружности.

Отсюда следует, что всякий раз, когда 0 < p , q , r < ∞ и 1/ r = 1/ p + 1/ q , каждая функция f в H ^r может быть выражена как произведение функции из H ^p и функции из H ^q . . Например: каждая функция из H ¹ является произведением двух функций из H ² ; каждая функция из H ^p , p < 1, может быть выражена как произведение нескольких функций из некоторого H ^q , q  > 1.

Методы действительных переменных на единичном круге

Методы действительных переменных, в основном связанные с изучением вещественных пространств Харди , определенных на R ⁿ (см. ниже), также используются в более простой структуре круга. Обычной практикой является учет сложных функций (или распределений) в этих «реальных» пространствах. Следующее определение не делает различия между реальным и сложным случаем.

Обозначим через P _r ядро ​​Пуассона на единичной окружности T . Для распределения f на единичной окружности положим

${\displaystyle (Mf)(e^{i\theta })=\sup _{0<r<1}\left|(f*P_{r})\left(e^{i\theta }\right)\right|,}$

где звездочка указывает на свертку между распределением f и функцией e ^iθ → P _r (θ) на окружности. А именно, ( f ∗ P _r )(e ^iθ ) является результатом действия f на C ^∞ -функцию, определенную на единичной окружности формулой

${\displaystyle e^{i\varphi }\rightarrow P_{r}(\theta -\varphi ).}$

При 0 < p  < ∞ вещественное пространство Харди H ^p ( T ) состоит из распределений f таких, что M f   находится в L ^p ( T ).

Функция F , определенная на единичном круге формулой F ( re ^iθ ) = ( f ∗ P _r )(e ^iθ ), является гармонической, а M f   — радиальная максимальная функция F . Когда M f   принадлежит L ^p ( T ) и p  ≥ 1, распределение f   « является » функцией в L ^p ( T ), а именно граничным значением F . Для p  ≥ 1 вещественное пространство Харди H ^p ( T ) является подмножеством L ^p ( T ).

Сопряженная функция

Каждому действительному тригонометрическому многочлену u на единичном круге сопоставляется действительный сопряженный многочлен v такой, что u + i v продолжается до голоморфной функции в единичном круге:

${\displaystyle u(e^{i\theta })={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\cos(k\theta )+b_{k}\sin(k\theta )\longrightarrow v(e^{i\theta })=\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\sin(k\theta )-b_{k}\cos(k\theta ).}$

Это отображение u → v продолжается до ограниченного линейного оператора H на L ^p ( T ), когда 1 < p  < ∞ (с точностью до скалярного кратного это преобразование Гильберта на единичной окружности), а H также отображает L ¹ ( T ) до слабого L ¹ ( T ) . Когда 1 ≤ p  < ∞, следующие условия эквивалентны для вещественнозначной интегрируемой функции f на единичной окружности:

• функция f является вещественной частью некоторой функции g ∈ H ^p ( T )
• функция f и ее сопряженная H(f) принадлежат L ^p ( T )
• радиальная максимальная функция M f   принадлежит L ^p ( T ).

Когда 1 < p < ∞, H(f) принадлежит L ^p ( T ), когда f ∈ L ^p ( T ), следовательно, вещественное пространство Харди H ^p ( T ) совпадает с L ^p ( T ) в этом случае. При p = 1 вещественное пространство Харди H ¹ ( T ) является собственным подпространством L ¹ ( T ).

Случай p = ∞ был исключен из определения вещественных пространств Харди, поскольку максимальная функция M f   функции L ^∞ всегда ограничена и потому что нежелательно, чтобы real- H ^∞ была равна L ^∞ . Однако два следующих свойства эквивалентны для вещественнозначной функции f

• функция f   является вещественной частью некоторой функции g ∈ H ^∞ ( T )
• функция f   и сопряженная с ней ^H (f) принадлежат L∞ ( T ).

Вещественные пространства Харди для 0 < p

При 0 < p < 1 функция F из H ^p не может быть восстановлена ​​по вещественной части ее граничной предельной функции на окружности из-за отсутствия выпуклости L ^p в этом случае. Выпуклость терпит неудачу, но остается своего рода « комплексная выпуклость », а именно тот факт, что z → | г | ^q является субгармоническим для любого q > 0. Как следствие, если

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad |z|<1}$

находится в H ^p , можно показать, что c _n = O( n ^{1/ p –1} ). Отсюда следует, что ряд Фурье

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}e^{in\theta }}$

сходится в смысле распределений к распределению f на единичной окружности и F ( re ^iθ ) = ( f  ∗  P _r )(θ). Функция F ∈ H ^p может быть восстановлена ​​по вещественному распределению Re( f ) на окружности, поскольку коэффициенты Тейлора c _n функции F можно вычислить из коэффициентов Фурье функции Re( f ).

Распределения на окружности достаточно общие для работы с пространствами Харди, когда p  < 1. Распределения, которые не являются функциями, встречаются, как это видно на примере функций F ( z ) = (1 − z ) ^{− N} (для | z | < 1), которые принадлежат H ^p , когда 0 < N  p  < 1 (и N целое число ≥ 1).

Вещественное распределение на окружности принадлежит вещественному H ^p ( T ) тогда и только тогда, когда оно является граничным значением вещественной части некоторого F ∈ H ^p . Распределение Дирака δ _x в любой точке x единичного круга принадлежит вещественному H ^p ( T ) для каждого p < 1; производные δ′ _x принадлежат, когда p < 1/2, вторые производные δ′′ _x, когда p < 1/3, и так далее.

Пространства Харди для верхней полуплоскости

Можно определить пространства Харди в других областях, кроме диска, и во многих приложениях используются пространства Харди на комплексной полуплоскости (обычно правой полуплоскости или верхней полуплоскости).

Пространство Харди H ^p ( H ) в верхней полуплоскости H определяется как пространство голоморфных функций f на H с ограниченной нормой, норма задается формулой

${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}=\sup _{y>0}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Соответствующий H ^∞ ( H ) определяется как функция ограниченной нормы с нормой, заданной выражением

${\displaystyle \|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{z\in \mathbf {H} }|f(z)|.}$

Хотя единичный круг D и верхняя полуплоскость H могут быть отображены друг в друга с помощью преобразований Мёбиуса , они не являются взаимозаменяемыми ^{[ необходимы пояснения ]} как области для пространств Харди. Этому различию способствует тот факт, что единичная окружность имеет конечную (одномерную) меру Лебега , а действительная линия - нет. Однако для H 2 справедлива следующая теорема: если m  : D → H обозначает преобразование Мёбиуса

${\displaystyle m(z)=i\cdot {\frac {1+z}{1-z}}.}$

Тогда линейный оператор M  : H ² ( H ) → H ² ( D ), определенный формулой

${\displaystyle (Mf)(z):={\frac {\sqrt {\pi }}{1-z}}f(m(z)).}$

является изометрическим изоморфизмом гильбертовых пространств.

Вещественные пространства Харди для R n

При анализе вещественного векторного пространства R ⁿ пространство Харди H ^p (при 0 <  p  ≤ ∞) состоит из умеренных распределений f таких, что для некоторой функции Шварца Φ с ∫Φ = 1 максимальная функция

${\displaystyle (M_{\Phi }f)(x)=\sup _{t>0}|(f*\Phi _{t})(x)|}$

находится в L ^p ( R ⁿ ), где * - свертка и Φ _t ( x ) знак равно t ^{- n} Φ( x  /  t ) . H ^p - квазинорма || _ ж  || _Hp распределения f из H ^p определяется как L ^p норма M _Φ f (это зависит от выбора Φ, но другой выбор функций Шварца Φ дает эквивалентные нормы). H ^p -квазинорма является нормой, когда p ≥ 1, но не когда p  < 1.

Если 1 < p  < ∞, пространство Харди H ^p является тем же векторным пространством, что и L ^p , с эквивалентной нормой. Когда p  = 1, пространство Харди H ¹ является собственным подпространством L ¹ . В H1 можно найти последовательности , ограниченные в ^L1 , ^но неограниченные в H1 , например, на ^прямой

${\displaystyle f_{k}(x)=\mathbf {1} _{[0,1]}(x-k)-\mathbf {1} _{[0,1]}(x+k),\ \ \ k>0.}$

Нормы L1 и H1 не ^{эквивалентны} на H1 ^{, и} H1 не ^{замкнута} в L1 ^. Двойственным к H ¹ является пространство BMO функций ограниченного среднего колебания . Пространство BMO содержит неограниченные функции (еще раз доказывая, что H ¹ не замкнуто в L ¹ ).

Если p  < 1, то пространство Харди H ^p содержит элементы, не являющиеся функциями, а его двойственным является однородное липшицево пространство порядка n (1/ p  − 1). При p < 1 H ^p -квазинорма не является нормой, так как не является субаддитивной. p - я степень || ж  || _Hp ^p является субаддитивным для p  < 1 и, таким образом, определяет метрику в пространстве Харди H ^p , которая определяет топологию и превращает H ^p в полное метрическое пространство.

Атомный разложение

При 0 < p ≤ 1 ограниченная измеримая функция f с компактным носителем находится в пространстве Харди H ^p тогда и только тогда, когда все ее моменты

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}\,\mathrm {d} x,}$

порядок которых i ₁ + ... + i _n не превосходит n (1/ p  − 1), равны нулю. Например, интеграл от f должен обращаться в нуль, чтобы f ∈ H ^p , 0 < p ≤ 1, и пока p  > n  /( n +1), этого также достаточно.

Если, кроме того, f имеет носитель в некотором шаре B и ограничена | Б | ^{−1/ p} , то f называется H ^p -атомом (здесь | B | обозначает евклидов объем B в R ⁿ ). H ^p -квазинорма произвольного H ^p -атома ограничена константой, зависящей только от p и функции Шварца Φ .

Когда 0 < p ≤ 1, любой элемент f из H ^p имеет атомное разложение как сходящаяся бесконечная комбинация H ^p -атомов,

${\displaystyle f=\sum c_{j}a_{j},\ \ \ \sum |c_{j}|^{p}<\infty }$

где a j _— атомы H p, а c ^j — _{скаляры} .

На прямой, например, разность распределений Дирака f  = δ ₁ −δ ₀ можно представить как ряд функций Хаара , сходящийся в H ^p -квазинорме при 1/2 < p  < 1 (на окружности соответствующее представление справедливо для 0 < p  < 1, но на прямой функции Хаара не принадлежат H ^p , когда p ≠ 1/2, поскольку их максимальная функция эквивалентна на бесконечности a  x ⁻² для некоторого a  ≠ 0).

Мартингейл Х п

Пусть ( M _n ) _{n ≥0} — мартингал в некотором вероятностном пространстве (Ω, Σ,  P ) относительно возрастающей последовательности σ-полей (Σ _n ) _{n ≥0} . Предположим для простоты, что Σ равно σ-полю, порожденному последовательностью (Σ _n ) _{n ≥0} . Максимальная функция мартингала определяется выражением

${\displaystyle M^{*}=\sup _{n\geq 0}\,|M_{n}|.}$

Пусть 1 ⩽ p < ∞. Мартингал ⁽ Mn ) _n≥0 принадлежит мартингалу -Hp _, когда M * ^∈ Lp . _{_} _

Если M* ^∈ Lp , мартингал ₍ Mn ) _{n ≥0} ограничен ^в Lp ; следовательно, он почти наверняка сходится к некоторой функции f по теореме о мартингальной сходимости . Более _того , Mn сходится к f в Lp ^- норме по теореме о доминируемой сходимости ; следовательно, M _n можно выразить как условное ожидание f на Σ _n . Таким образом, можно отождествить мартингал- Hp с подпространством Lp ⁽ Ω, Σ,  P ), состоящим из таких f ^, что мартингал

${\displaystyle M_{n}=\operatorname {E} {\bigl (}f|\Sigma _{n}{\bigr )}}$

принадлежит мартингалу ^- Hp .

Из максимального неравенства Дуба следует, что мартингал- H ^p совпадает с L ^p (Ω, Σ,  P ), когда 1 < p < ∞. Интересное пространство — мартингал- ^H1 , двойственным которому является мартингал-BMO (Garsia 1973).

Неравенства Беркхолдера–Ганди (когда p  > 1) и неравенство Бёрджесса-Дэвиса (когда p = 1) связывают L ^p -норму максимальной функции с нормой квадратной функции мартингала

${\displaystyle S(f)=\left(|M_{0}|^{2}+\sum _{n=0}^{\infty }|M_{n+1}-M_{n}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$

Мартингейл- H ^p можно определить, сказав, что S ( f ) ∈ L ^p (Garsia 1973).

Также можно рассмотреть мартингалы с непрерывным параметром времени. Прямая связь с классической теорией получается через комплексное броуновское движение ( B _t ) в комплексной плоскости, начиная с точки z = 0 в момент времени t = 0. Пусть τ обозначает время попадания в единичную окружность. Для каждой голоморфной функции F в единичном круге

${\displaystyle M_{t}=F(B_{t\wedge \tau })}$

является мартингалом, принадлежащим мартингалу- H ^p тогда и только тогда , когда F  ∈  H ^p (Буркхолдер, Ганди и Сильверстайн, 1971).

Пример: диадический мартингал - H 1

В этом примере Ω = [0, 1] и Σ _n — конечное поле, порожденное двоичным разбиением [0, 1] на 2 ⁿ интервалов длины 2 ^{− n} для каждого n ≥ 0. Если функция f на [0, 1] представлено его разложением по системе Хаара ( h _k )

${\displaystyle f=\sum c_{k}h_{k},}$

тогда норма мартингала H ^{1 функции} f может быть определена нормой L ¹ квадратичной функции

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\Bigl (}\sum |c_{k}h_{k}(x)|^{2}{\Bigr )}^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} x.}$

Это пространство, иногда обозначаемое H ¹ (δ), изоморфно классическому вещественному пространству H ¹ на окружности (Müller 2005). Система Хаара является безусловным базисом для H ¹ (δ).

Примечания

1. Берлинг, Арне (1948). «О двух задачах, касающихся линейных преобразований в гильбертовом пространстве». Акта Математика . 81 : 239–255. дои : 10.1007/BF02395019 .
2. Войчик, Майкл; Зальцман, Лоуренс (1965). «Внутренние и внешние функции на римановых поверхностях». Труды Американского математического общества . 16 (6): 1200–1204. дои : 10.1090/S0002-9939-1965-0183883-1 .

Рекомендации

• Беркхолдер, Дональд Л.; Ганди, Ричард Ф.; Сильверстайн, Мартин Л. (1971), «Максимальная функциональная характеристика класса H ^p », Transactions of the American Mathematical Society , 157 : 137–153, doi : 10.2307/1995838, JSTOR  1995838, MR  0274767, S2CID  53996980.
• Чима, Джозеф А.; Росс, Уильям Т. (2000), Сдвиг назад в пространстве Харди , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2083-4
• Колвелл, Питер (1985), Произведения Бляшке — ограниченные аналитические функции , Анн-Арбор: Издательство Мичиганского университета , ISBN 978-0-472-10065-1
• Дюрен, П. (1970), Теория H ^p -пространств , Academic Press
• Фефферман, Чарльз ; Штейн, Элиас М. (1972), « Пространства H ^p нескольких переменных», Acta Mathematica , 129 (3–4): 137–193, doi : 10.1007/BF02392215 , MR  0447953.
• Фолланд, Великобритания (2001) [1994], «Пространства Харди», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Гарсия, Адриано М. (1973), Неравенства Мартингейла: заметки семинара о недавнем прогрессе , Серия конспектов лекций по математике, В. А. Бенджамин МР 0448538
• Харди, Г.Х. (1915), «О среднем значении модуля аналитической функции», Труды Лондонского математического общества , 14 : 269–277, doi : 10.1112/plms/s2_14.1.269, JFM  45.1331.03
• Хоффман, Кеннет (1988), Банаховы пространства аналитических функций , Dover Publications , ISBN 978-0-486-65785-1
• Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ , Dover Publications , ISBN 978-0-486-63331-2
• Кусис, П. (1998), Введение в пространства H _p (второе изд.), Cambridge University Press
• Машреги, Дж. (2009), Теоремы о представлении в пространствах Харди, Cambridge University Press, ISBN 9780521517683
• Мюллер, Пауль FX (2005), Изоморфизмы между пространствами H ¹ , Институт математики Польской академии наук. Математические монографии (новая серия), Базель: Биркхойзер , ISBN 978-3-7643-2431-5, МР  2157745
• Рисс, Ф. (1923), «Über die Randwerte einer analytischen Funktion», Mathematische Zeitschrift , 18 : 87–95, doi : 10.1007/BF01192397, S2CID  121306447
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-100276-9
• Шведенко, С.В. (2001) [1994], «Классы Харди», Математическая энциклопедия , EMS Press