Функциональный анализ

Область математики

Один из возможных режимов вибрации идеализированной круглой головки барабана . Эти режимы являются собственными функциями линейного оператора в функциональном пространстве, распространенной конструкции в функциональном анализе.

Функциональный анализ — это раздел математического анализа , ядро ​​которого формируется путем изучения векторных пространств, наделенных некоторой структурой, связанной с пределом (например, скалярным произведением , нормой или топологией ), и линейных функций, определенных на этих пространствах и соответствующим образом уважающих эти структуры. Исторические корни функционального анализа лежат в изучении пространств функций и формулировании свойств преобразований функций, таких как преобразование Фурье, как преобразований, определяющих, например, непрерывные или унитарные операторы между функциональными пространствами. Эта точка зрения оказалась особенно полезной для изучения дифференциальных и интегральных уравнений .

Использование слова функционал в качестве существительного восходит к вариационному исчислению , подразумевая функцию, аргументом которой является функция . Термин был впервые использован в книге Адамара 1910 года по этой теме. Однако общее понятие функционала было ранее введено в 1887 году итальянским математиком и физиком Вито Вольтеррой . ^{[1] [2]} Теория нелинейных функционалов была продолжена учениками Адамара, в частности Фреше и Леви . Адамар также основал современную школу линейного функционального анализа, в дальнейшем развитую Риссом и группой польских математиков вокруг Стефана Банаха .

В современных вводных текстах по функциональному анализу предмет рассматривается как изучение векторных пространств, наделенных топологией, в частности, бесконечномерных пространств . ^{[3] [4]} Напротив, линейная алгебра имеет дело в основном с конечномерными пространствами и не использует топологию. Важной частью функционального анализа является расширение теорий меры , интегрирования и вероятности на бесконечномерные пространства, также известное как бесконечномерный анализ .

Нормированные векторные пространства

Базовый и исторически первый класс пространств, изучаемых в функциональном анализе, — это полные нормированные векторные пространства над действительными или комплексными числами . Такие пространства называются банаховыми пространствами . Важным примером является гильбертово пространство , где норма возникает из скалярного произведения. Эти пространства имеют фундаментальное значение во многих областях, включая математическую формулировку квантовой механики , машинное обучение , уравнения в частных производных и анализ Фурье .

В более общем плане функциональный анализ включает изучение пространств Фреше и других топологических векторных пространств, не наделенных нормой.

Важным объектом изучения в функциональном анализе являются непрерывные линейные операторы, определенные на банаховых и гильбертовых пространствах. Это естественным образом приводит к определению C*-алгебр и других операторных алгебр .

Гильбертовы пространства

Гильбертовы пространства могут быть полностью классифицированы: существует единственное гильбертово пространство с точностью до изоморфизма для каждой мощности ортонормированного базиса . ^[5] Конечномерные гильбертовы пространства полностью изучены в линейной алгебре , а бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны . Поскольку сепарабельность важна для приложений, функциональный анализ гильбертовых пространств, следовательно, в основном имеет дело с этим пространством. Одной из открытых проблем в функциональном анализе является доказательство того, что каждый ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве имеет собственное инвариантное подпространство . Многие особые случаи этой проблемы инвариантного подпространства уже доказаны. ${\displaystyle \ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,}$

Банаховы пространства

Общие банаховы пространства сложнее гильбертовых пространств и не могут быть классифицированы таким простым образом, как те. В частности, во многих банаховых пространствах отсутствует понятие, аналогичное ортонормированному базису .

Примерами банаховых пространств являются -пространства для любого действительного числа . Если также задана мера на множестве , то , иногда также обозначаемая или , имеет в качестве векторов классы эквивалентности измеримых функций, абсолютная величина -й степени которых имеет конечный интеграл; то есть функции, для которых имеется ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{p}(X)}$ ${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle [\,f\,]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<\infty .}$$

Если есть счетная мера , то интеграл можно заменить суммой. То есть, нам требуется ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<\infty .}$$

Тогда нет необходимости иметь дело с классами эквивалентности, а пространство обозначается , записывается проще в случае, когда — множество неотрицательных целых чисел . ${\displaystyle \ell ^{p}(X)}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle X}$

В банаховых пространствах большая часть исследования касается дуального пространства : пространства всех непрерывных линейных отображений из пространства в его базовое поле, так называемых функционалов. Банахово пространство может быть канонически отождествлено с подпространством его бидуального пространства, которое является дуальным к его дуальному пространству. Соответствующее отображение является изометрией, но в общем случае не на. Общее банахово пространство и его бидуальное пространство не обязательно должны быть изометрически изоморфными каким-либо образом, в отличие от конечномерной ситуации. Это объясняется в статье о дуальном пространстве.

Также понятие производной может быть распространено на произвольные функции между банаховыми пространствами. См., например, статью о производной Фреше .

Линейный функциональный анализ

^[6]

Основные и основополагающие результаты

Существуют четыре основные теоремы, которые иногда называют четырьмя столпами функционального анализа:

• теорема Хана –Банаха
• теорема об открытом отображении
• теорема о замкнутом графике
• принцип равномерной ограниченности , также известный как теорема Банаха–Штейнгауза .

Важные результаты функционального анализа включают:

Принцип равномерной ограниченности

Принцип равномерной ограниченности или теорема Банаха–Штейнгауза является одним из фундаментальных результатов в функциональном анализе. Вместе с теоремой Хана–Банаха и теоремой об открытом отображении он считается одним из краеугольных камней этой области. В своей базовой форме он утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов (и, следовательно, ограниченных операторов), областью определения которых является банахово пространство , точечная ограниченность эквивалентна равномерной ограниченности по норме оператора.

Теорема была впервые опубликована в 1927 году Стефаном Банахом и Гуго Штейнхаузом, но была также независимо доказана Гансом Ханом .

Теорема (принцип равномерной ограниченности)  —  Пусть будет банаховым пространством и будет нормированным векторным пространством . Предположим, что — набор непрерывных линейных операторов из в . Если для всех в одном имеет то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$$ $${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}$$

Спектральная теорема

Существует много теорем, известных как спектральные теоремы , но одна из них имеет множество применений в функциональном анализе.

Спектральная теорема ^[7]  —  Пусть — ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве . Тогда существует пространство меры и вещественнозначная существенно ограниченная измеримая функция на и унитарный оператор такой, что где T — оператор умножения : и . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U:H\to L_{\mu }^{2}(X)}$ $${\displaystyle U^{*}TU=A}$$ $${\displaystyle [T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).}$$ ${\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\infty }}$

Это начало обширной области исследований функционального анализа, называемой теорией операторов ; см. также спектральная мера .

Существует также аналогичная спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственное отличие в выводе состоит в том, что теперь может быть комплекснозначным. ${\displaystyle f}$

Теорема Хана–Банаха

Теорема Хана–Банаха является центральным инструментом в функциональном анализе. Она позволяет расширить ограниченные линейные функционалы, определенные на подпространстве некоторого векторного пространства , на все пространство, а также показывает, что существует «достаточно» непрерывных линейных функционалов, определенных на каждом нормированном векторном пространстве , чтобы сделать изучение сопряженного пространства «интересным».

Теорема Хана–Банаха: ^[8]  —  Если — сублинейная функция , а — линейный функционал на линейном подпространстве , которое доминируется на ; то есть, существует линейное расширение на все пространство , которое доминируется на ; то есть, существует линейный функционал такой, что ${\displaystyle p:V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U}$$ ${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\varphi (x)&\forall x\in U,\\\psi (x)&\leq p(x)&\forall x\in V.\end{aligned}}}$$

Теорема об открытом отображении

Теорема об открытом отображении , также известная как теорема Банаха–Шаудера (названная в честь Стефана Банаха и Юлиуша Шаудера ), является фундаментальным результатом, который утверждает, что если непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами является сюръективным , то он является открытым отображением . Точнее, ^[8]

Теорема об открытом отображении  —  Если и являются банаховыми пространствами, а — сюръективный непрерывный линейный оператор, то — открытое отображение (то есть, если — открытое множество в , то — открыто в ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A(U)}$ ${\displaystyle Y}$

Доказательство использует теорему Бэра о категории , и полнота обоих и существенна для теоремы. Утверждение теоремы больше не является верным, если одно из пространств просто предполагается нормированным пространством , но является верным, если и считаются пространствами Фреше . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Теорема о замкнутом графике

Теорема о замкнутом графике  —  Если — топологическое пространство и — компактное хаусдорфово пространство , то график линейного отображения из в замкнут тогда и только тогда, когда — непрерывен . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Другие темы

Основы математических соображений

Большинство пространств, рассматриваемых в функциональном анализе, имеют бесконечную размерность. Чтобы показать существование базиса векторного пространства для таких пространств, может потребоваться лемма Цорна . Однако в функциональном анализе обычно более уместна несколько иная концепция, базис Шаудера . Многие теоремы требуют теоремы Хана–Банаха , обычно доказанной с использованием аксиомы выбора , хотя достаточно строго более слабой теоремы о простом булевом идеале . Теорема Бэра о категории , необходимая для доказательства многих важных теорем, также требует формы аксиомы выбора.

Точки зрения

Функциональный анализ включает в себя следующие тенденции:

• Абстрактный анализ . Подход к анализу, основанный на топологических группах , топологических кольцах и топологических векторных пространствах .
• Геометрия банаховых пространств содержит много тем. Одна из них — комбинаторный подход, связанный с Жаном Бургейном ; другая — характеристика банаховых пространств, в которых выполняются различные формы закона больших чисел .
• Некоммутативная геометрия . Разработана Аленом Коннесом , частично основываясь на более ранних представлениях, таких какподход Джорджа Макки к эргодической теории .
• Связь с квантовой механикой . Либо узко определенная, как в математической физике , либо широко интерпретируемая, например, Израилем Гельфандом , чтобы включить большинство типов теории представлений .

Смотрите также

• Список тем функционального анализа
• Спектральная теория

Ссылки

1. Ловер, Ф. Уильям. "Volterra's functionals and covariant cohesion of space" (PDF) . acsu.buffalo.edu . Труды майской встречи 1997 года в Перудже. Архивировано из оригинала (PDF) 2003-04-07 . Получено 2018-06-12 .
2. Сарайва, Луис (октябрь 2004 г.). История математических наук. МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. п. 195. дои : 10.1142/5685. ISBN 978-93-86279-16-3.
3. Боуэрс, Адам; Калтон, Найджел Дж. (2014). Вводный курс в функциональный анализ . Springer . С. 1.
4. Кадец, Владимир (2018). Курс функционального анализа и теории меры [ КУРС ФУНКОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ]. Спрингер . стр. xvi.
5. Рисс, Фридьес (1990). Функциональный анализ. Бела Секефальви-Надь, Лео Ф. Борон (изд. Дувра). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 195–199. ISBN 0-486-66289-6. OCLC  21228994.
6. Райнн, Брайан; Янгсон, Мартин А. (29 декабря 2007 г.). Линейный функциональный анализ. Springer . Получено 30 декабря 2023 г. .
7. Холл, Брайан С. (2013-06-19). Квантовая теория для математиков. Springer Science & Business Media . стр. 147. ISBN 978-1-4614-7116-5.
8. Rudin, Walter (1991). Функциональный анализ. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5.
9. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология. Prentice Hall, Incorporated. стр. 171. ISBN 978-0-13-181629-9.

Дальнейшее чтение

• Aliprantis, CD, Border, KC: Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , 3-е изд., Springer 2007, ISBN 978-3-540-32696-0 . Онлайн doi : 10.1007/3-540-29587-9 (по подписке) 
• Бахман, Г., Наричи, Л.: Функциональный анализ , Academic Press, 1966. (перепечатка Dover Publications)
• Банах С. Теория линейных операций Архивировано 28 октября 2021 г. в Wayback Machine . Том 38, Математическая библиотека Северной Голландии, 1987, ISBN 0-444-70184-2 
• Брезис, Х .: Анализ Fonctionnelle , Dunod ISBN 978-2-10-004314-9 или ISBN 978-2-10-049336-4  
• Конвей, Дж. Б .: Курс функционального анализа , 2-е издание, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5 
• Данфорд, Н. и Шварц, Дж. Т.: Линейные операторы, Общая теория, John Wiley & Sons и другие 3 тома, включая диаграммы визуализации
• Эдвардс, Р. Э.: Функциональный анализ, теория и приложения , Холд, Райнхарт и Уинстон, 1965.
• Эйдельман, Юлий, Виталий Мильман и Антонис Цоломитис: Функциональный анализ: Введение , Американское математическое общество, 2004.
• Фридман, А .: Основы современного анализа , Dover Publications, издание в мягкой обложке, 21 июля 2010 г.
• Джайлс, Дж. Р.: Введение в анализ нормированных линейных пространств , Cambridge University Press, 2000
• Хирш Ф., Лакомб Г. - «Элементы функционального анализа», Springer 1999.
• Хатсон, В., Пим, Дж. С., Клауд М. Дж.: Приложения функционального анализа и теории операторов , 2-е издание, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1 
• Канторовиц, С., Введение в современный анализ , Oxford University Press, 2003, 2-е изд., 2006.
• Колмогоров, А.Н. и Фомин, С.В .: Элементы теории функций и функционального анализа , Dover Publications, 1999
• Крейциг, Э .: Вводный функциональный анализ с приложениями , Wiley, 1989.
• Лакс, П .: Функциональный анализ , Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1 
• Лебедев, Л.П. и Ворович, И.И.: Функциональный анализ в механике , Springer-Verlag, 2002
• Мишель, Энтони Н. и Чарльз Дж. Хергет: Прикладная алгебра и функциональный анализ , Довер, 1993.
• Питч, Альбрехт: История банаховых пространств и линейных операторов , Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6 
• Рид, М. , Саймон, Б .: «Функциональный анализ», Academic Press, 1980.
• Рисс, Ф. и С.-Надь, Б.: Функциональный анализ , Dover Publications, 1990
• Рудин, В .: Функциональный анализ , McGraw-Hill Science, 1991
• Саксон, Карен: Основы функционального анализа , Springer, 2001
• Шехтер, М.: Принципы функционального анализа , AMS, 2-е издание, 2001 г.
• Шилов, Георгий Э.: Элементарный функциональный анализ , Довер, 1996.
• Соболев, С.Л .: Приложения функционального анализа в математической физике , АМН, 1963
• Фогт, Д., Мейс, Р.: Введение в функциональный анализ , Oxford University Press, 1997.
• Йосида, К .: Функциональный анализ , Springer-Verlag, 6-е издание, 1980 г.

Внешние ссылки

• «Функциональный анализ», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Темы действительного и функционального анализа Джеральда Тешля , Венский университет.
• Конспект лекций по функциональному анализу Евгения Виленского, Нью-Йоркский университет.
• Видеолекции по функциональному анализу Грега Морроу. Архивировано 01.04.2017 в Wayback Machine из Университета Колорадо, Колорадо-Спрингс.