Методы H-бесконечности в теории управления

Методы H _∞ (т. е. « H -infinity »)используются в теории управления для синтеза контроллеров для достижения стабилизации с гарантированной производительностью. Чтобы использовать методы H _∞ , разработчик управления выражает задачу управления как задачу математической оптимизации , а затем находит контроллер, который решает эту оптимизацию. Методы H _∞ имеют преимущество перед классическими методами управления в том, что методы H _∞ легко применимы к проблемам, включающим многомерные системы с перекрестной связью между каналами; недостатки методов H _∞ включают уровень математического понимания, необходимый для их успешного применения, и необходимость в достаточно хорошей модели системы, которой нужно управлять. Важно помнить, что полученный контроллер оптимален только по отношению к предписанной функции стоимости и не обязательно представляет собой лучший контроллер с точки зрения обычных показателей производительности, используемых для оценки контроллеров, таких как время установления, затраченная энергия и т. д. Кроме того, нелинейные ограничения, такие как насыщение, обычно не обрабатываются должным образом. Эти методы были введены в теорию управления в конце 1970-х — начале 1980-х годов Джорджем Замсом (минимизация чувствительности), ^[1] Дж. Уильямом Хелтоном (широкополосное согласование) ^[2] и Алленом Танненбаумом (оптимизация запаса усиления). ^[3]

Фраза H _∞ control происходит от названия математического пространства, по которому происходит оптимизация: H _∞ — это пространство Харди матричнозначных функций, которые являются аналитическими и ограниченными в открытой правой половине комплексной плоскости, определяемой соотношением Re( s ) > 0; норма H _∞ — это супремумное сингулярное значение матрицы по этому пространству. В случае скалярнозначной функции элементы пространства Харди, которые непрерывно простираются до границы и непрерывны на бесконечности, — это дисковая алгебра . Для матричнозначной функции норму можно интерпретировать как максимальный коэффициент усиления в любом направлении и на любой частоте; для систем SISO это фактически максимальная величина частотной характеристики.

Методы H _∞ могут использоваться для минимизации воздействия замкнутого контура возмущения: в зависимости от формулировки проблемы воздействие будет измеряться либо в терминах стабилизации, либо в терминах производительности. Одновременная оптимизация надежной производительности и надежной стабилизации является сложной задачей. Одним из методов, который приближается к достижению этой цели, является формирование контура H ∞ , которое позволяет разработчику управления применять классические концепции формирования контура к многопараметрической частотной характеристике для получения хорошей надежной производительности, а затем оптимизировать отклик вблизи полосы пропускания системы для достижения хорошей надежной стабилизации.

Для поддержки синтеза контроллера H∞ доступно коммерческое программное _{обеспечение} .

Формулировка проблемы

Во-первых, процесс должен быть представлен в соответствии со следующей стандартной конфигурацией:

У установки P есть два входа: экзогенный вход w , включающий опорный сигнал и возмущения, и управляемые переменные u . Есть два выхода: сигналы ошибки z , которые мы хотим минимизировать, и измеряемые переменные v , которые мы используем для управления системой. v используется в K для вычисления управляемых переменных u . Обратите внимание, что все они, как правило, являются векторами , тогда как P и K являются матрицами .

В формулах система выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle u=\mathbf {K} (s)\,v}$

Поэтому можно выразить зависимость z от w как:

${\displaystyle z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w}$

Называемое нижним линейным дробным преобразованием , определяется (индекс происходит от lower ): ${\displaystyle F_{\ell }}$

${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}}$

Таким образом, цель проектирования управления состоит в том, чтобы найти контроллер , который минимизируется в соответствии с нормой. То же самое определение применимо к проектированию управления. Бесконечная норма матрицы передаточной функции определяется как: ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$

${\displaystyle ||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))}$

где — максимальное сингулярное значение матрицы . ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )}$

Достижимая норма H _∞ замкнутой системы в основном задается через матрицу D ₁₁ (когда система P задана в виде ( A , B ₁ , B ₂ , C ₁ , C ₂ , D ₁₁ , D ₁₂ , D ₂₂ , D ₂₁ )). Существует несколько способов прийти к регулятору H _∞ :

• Параметризация замкнутого контура Юлы-Кучеры часто приводит к контроллеру очень высокого порядка .
• Подходы на основе Риккати решают два уравнения Риккати для нахождения контроллера, но требуют нескольких упрощающих предположений.
• Переформулировка уравнения Риккати на основе оптимизации использует линейные матричные неравенства и требует меньше предположений.

Смотрите также

• продукт Блашке
• Харди пространство
• H-квадрат
• H-образная бесконечная петля-формирование
• Линейно-квадратично-гауссовское управление (LQG)
• Матрица системы Розенброка

Ссылки

1. Замес, Джордж (1981). «Обратная связь и оптимальная чувствительность: преобразования эталонных моделей, мультипликативные полунормы и приближенные обратные величины». Труды IEEE по автоматическому управлению . 26 (2): 301–320. doi :10.1109/tac.1981.1102603.
2. Helton, J. William (1978). «Структура орбиты действия полугруппы преобразований Мёбиуса на H-бесконечности (широкополосное соответствие)». Adv. Math. Suppl. Stud . 3 : 129–197.
3. Танненбаум, Аллен (1980). «Стабилизация линейных динамических объектов с обратной связью при неопределенности коэффициента усиления». International Journal of Control . 32 (1): 1–16. doi :10.1080/00207178008922838.

Библиография

• Барбу, В.; Шритаран, Сивагуру С. (1998), "H-бесконечное управление динамикой жидкости" (PDF) , Труды Королевского общества A , 545 (1979): 3009–3033, CiteSeerX  10.1.1.177.4397 , doi :10.1098/rspa.1998.0289, S2CID  121983192.

• Дойл, Джон; Фрэнсис, Брюс; Танненбаум, Аллен (1992), Теория управления с обратной связью , MacMillan.

• Грин, М.; Лаймбир, Д. (1995), Линейное надежное управление , Prentice Hall.

• Simon, Dan (2006), Optimal State Estimation: Kalman, H-infinity, and Nonlinear Approaches, Wiley, архивировано из оригинала 2010-12-30 , извлечено 2006-07-05.

• Скогестад, Сигурд; Постлетуэйт, Ян (1996), Многомерное управление с обратной связью: анализ и проектирование , Wiley, ISBN 978-0-471-94277-1.

• Скогестад, Сигурд; Постлетуэйт, Ян (2005), Многомерное управление с обратной связью: анализ и проектирование (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-470-01167-6.