Уравнение Риккати

Type of differential equation

В математике уравнение Риккати в самом узком смысле — это любое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка , квадратичное относительно неизвестной функции. Другими словами, это уравнение вида

${\displaystyle y'(x)=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,y(x)+q_{2}(x)\,y^{2}(x)}$

где и . Если уравнение сводится к уравнению Бернулли , а если уравнение превращается в линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка . ${\displaystyle q_{0}(x)\neq 0}$ ${\displaystyle q_{2}(x)\neq 0}$ ${\displaystyle q_{0}(x)=0}$ ${\displaystyle q_{2}(x)=0}$

Уравнение названо в честь Якопо Риккати (1676–1754). ^[1]

В более общем смысле термин « уравнение Риккати» используется для обозначения матричных уравнений с аналогичным квадратичным членом, которые встречаются как в линейно-квадратично-гауссовском управлении с непрерывным, так и с дискретным временем . Стационарная (нединамическая) версия этих уравнений называется алгебраическим уравнением Риккати .

Преобразование к линейному уравнению второго порядка

Нелинейное уравнение Риккати всегда можно преобразовать в линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка: ^[2 ] Если

${\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!}$

тогда, где ненулевое и дифференцируемое, удовлетворяет уравнению Риккати вида ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle v=yq_{2}}$

${\displaystyle v'=v^{2}+R(x)v+S(x),\!}$

где и , потому что ${\displaystyle S=q_{2}q_{0}}$ ${\displaystyle R=q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}}$

${\displaystyle v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!}$

Подставляя , следует, что удовлетворяет линейному ОДУ второго порядка ${\displaystyle v=-u'/u}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u''-R(x)u'+S(x)u=0\!}$

с

${\displaystyle v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!}$

так что

${\displaystyle u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!}$

и поэтому

${\displaystyle u''-Ru'+Su=0.\!}$

Тогда подстановки двух решений этого линейного уравнения второго порядка в преобразование достаточно, чтобы иметь глобальное знание общего решения уравнения Риккати по формуле: ^[3] ${\displaystyle y=-u'/(q_{2}u)=-q_{2}^{-1}(\log(u))'}$

${\displaystyle y=-q_{2}^{-1}(\log(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}))'.}$

Приложение к уравнению Шварца

Важным применением уравнения Риккати является дифференциальное уравнение Шварца 3-го порядка.

${\displaystyle S(w):=(w''/w')'-(w''/w')^{2}/2=f}$

которое встречается в теории конформных отображений и однолистных функций . В этом случае ОДУ находятся в комплексной области, а дифференцирование проводится по комплексной переменной. ( Производная Шварца обладает тем замечательным свойством, что она инвариантна относительно преобразований Мёбиуса, т.е. всякий раз, когда она не равна нулю.) Функция удовлетворяет уравнению Риккати ${\displaystyle S(w)}$ ${\displaystyle S((aw+b)/(cw+d))=S(w)}$ ${\displaystyle ad-bc}$ ${\displaystyle y=w''/w'}$

${\displaystyle y'=y^{2}/2+f.}$

Согласно вышесказанному где – решение линейного ОДУ ${\displaystyle y=-2u'/u}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u''+(1/2)fu=0.}$

Так как интегрирование дает некоторую константу . С другой стороны, любое другое независимое решение линейного ОДУ имеет постоянный ненулевой вронскиан , который можно считать после масштабирования. Таким образом ${\displaystyle w''/w'=-2u'/u}$ ${\displaystyle w'=C/u^{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U'u-Uu'}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle w'=(U'u-Uu')/u^{2}=(U/u)'}$

так что уравнение Шварца имеет решение ${\displaystyle w=U/u.}$

Получение решения в квадратуре

Соответствие между уравнениями Риккати и линейными ОДУ второго порядка имеет и другие последствия. Например, если известно одно решение ОДУ 2-го порядка, то известно, что другое решение можно получить квадратурой, т. е. простым интегрированием. То же самое справедливо и для уравнения Риккати. Фактически, если можно найти одно частное решение, общее решение получается как ${\displaystyle y_{1}}$

${\displaystyle y=y_{1}+u}$

Замена

${\displaystyle y_{1}+u}$

в уравнении Риккати дает

${\displaystyle y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},}$

и с тех пор

${\displaystyle y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2},}$

следует, что

${\displaystyle u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}}$

или

${\displaystyle u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},}$

которое является уравнением Бернулли . Для решения этого уравнения Бернулли необходима замена:

${\displaystyle z={\frac {1}{u}}}$

Замена

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

непосредственно в уравнение Риккати дает линейное уравнение

${\displaystyle z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}}$

Тогда набор решений уравнения Риккати имеет вид

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

где z — общее решение вышеупомянутого линейного уравнения.

Смотрите также

• Линейно-квадратичный регулятор
• Алгебраическое уравнение Риккати
• Линейно-квадратично-гауссово управление

Рекомендации

1. Риккати, Якопо (1724) «Animadversiones in aequationes Differentiales secundi gradus» (Наблюдения относительно дифференциальных уравнений второго порядка), Actorum Eruditorum, quae Lipsiae publicantur, Supplementa , 8  : 66-73. Перевод оригинального латинского текста на английский, сделанный Яном Брюсом.
2. Инс, Э.Л. (1956) [1926], Обыкновенные дифференциальные уравнения , Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 23–25.
3. Конте, Роберт (1999). «Подход Пенлеве к нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям». Собственность Пенлеве . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. стр. 5, 98. doi :10.1007/978-1-4612-1532-5_3. ISBN 978-0-387-98888-7.

дальнейшее чтение

• Хилле, Эйнар (1997) [1976], Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-69620-0
• Нехари, Зеев (1975) [1952], Конформное картографирование, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-61137-Х
• Полянин Андрей Дмитриевич; Зайцев, Валентин Ф. (2003), Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-297-2
• Зеликин, Михаил И. (2000), Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении , Берлин: Springer-Verlag
• Рид, Уильям Т. (1972), Дифференциальные уравнения Риккати , Лондон: Academic Press

Внешние ссылки

• «Уравнение Риккати», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Уравнение Риккати в EqWorld: мир математических уравнений.
• Дифференциальное уравнение Риккати в Mathworld
• Функция MATLAB для решения алгебраического уравнения Риккати в непрерывном времени.
• В SciPy есть функции для решения непрерывного алгебраического уравнения Риккати и дискретного алгебраического уравнения Риккати.