Неравенство Гельдера

Неравенство между интегралами в пространствах Lp

В математическом анализе неравенство Гёльдера , названное в честь Отто Гёльдера , является фундаментальным неравенством между интегралами и незаменимым инструментом для изучения пространств L p .

Неравенство Гельдера  —  Пусть ( S , Σ, μ ) — пространство с мерой и пусть p , q ∈ [1, ∞] с 1/ p + 1/ q = 1. Тогда для всех измеримых действительных или комплексных функций f и g на S ,

$${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$$

Если, кроме того, p , q ∈ (1, ∞) и f ∈ L ^p ( μ ) и g ∈ L ^q ( μ ) , то неравенство Гёльдера становится равенством тогда и только тогда, когда | f  | ^p и | g | ^q линейно зависимы в L 1 ⁽ μ ) , что означает, что существуют действительные числа α , β ≥ 0 , не оба равные нулю, такие, что α | f  | ^p = β | g | ^q μ - почти всюду .

Числа p и q выше называются сопряженными по Гёльдеру друг другу. Частный случай p = q = 2 дает форму неравенства Коши–Шварца . ^[1] Неравенство Гёльдера справедливо, даже если ‖ fg ‖ 1 бесконечно , правая часть _также бесконечна в этом случае. Обратно, если f принадлежит L ^p ( μ ) и g принадлежит L ^q ( μ ) , то поточечное произведение fg принадлежит L ¹ ( μ ) .

Неравенство Гёльдера используется для доказательства неравенства Минковского , которое является неравенством треугольника в пространстве L ^p ( μ ) , а также для установления того, что L ^q ( μ ) является сопряженным пространством к L ^p ( μ ) при p ∈ [1, ∞) .

Неравенство Гёльдера (в несколько иной форме) впервые было найдено Леонардом Джеймсом Роджерсом  (1888). Вдохновленный работой Роджерса, Гёльдер (1889) дал другое доказательство в рамках работы, развивающей концепцию выпуклых и вогнутых функций и вводящей неравенство Йенсена , ^[2] которое, в свою очередь, было названо в честь работы Йохана Йенсена, основанной на работе Гёльдера. ^[3]

Замечания

Конвенции

Краткая формулировка неравенства Гёльдера использует некоторые соглашения.

• В определении сопряжений Гельдера 1/∞ означает ноль.
• Если p , q ∈ [1, ∞) , то ‖ f  ‖ _p и ‖ g ‖ _q обозначают (возможно, бесконечные) выражения

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\\&\left(\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}\end{aligned}}}$

• Если p = ∞ , то ‖ f  ‖ _∞ обозначает существенный супремум | f |  , аналогично для ‖ g ‖ _∞ .
• Обозначение ‖ f  ‖ _p с 1 ≤ p ≤ ∞ является небольшим злоупотреблением, поскольку в общем случае это только норма f , если ‖ f  ‖ _p конечно, а f рассматривается как класс эквивалентности μ - почти всюду равных функций. Если f ∈ L ^p ( μ ) и g ∈ L ^q ( μ ) , то обозначение является адекватным.
• В правой части неравенства Гёльдера 0 × ∞, а также ∞ × 0 означают 0. Умножение a > 0 на ∞ дает ∞.

Оценки для интегрируемых продуктов

Как и выше, пусть f и g обозначают измеримые действительные или комплексные функции, определенные на S. Если ‖ fg ‖ ₁ конечно, то поточечные произведения f на g и ее комплексно сопряженную функцию μ -интегрируемы, оценка

${\displaystyle {\biggl |}\int _{S}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu {\biggr |}\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu =\|fg\|_{1}}$

и аналогичное для fg справедливо, и неравенство Гельдера можно применить к правой части. В частности, если f и g находятся в гильбертовом пространстве L ² ( μ ) , то неравенство Гельдера для p = q = 2 влечет

${\displaystyle |\langle f,g\rangle |\leq \|f\|_{2}\|g\|_{2},}$

где угловые скобки относятся к внутреннему произведению L ² ( μ ) . Это также называется неравенством Коши–Шварца , но для его утверждения требуется, чтобы ‖ f ‖ 2 _и ‖ g ‖ 2 _были конечны, чтобы гарантировать, что внутреннее произведение f и g хорошо определено. Мы можем восстановить исходное неравенство (для случая p = 2 ), используя функции | f | и | g | вместо f и g .  

Обобщение для вероятностных мер

Если ( S , Σ, μ ) является вероятностным пространством , то p , q ∈ [1, ∞] просто должны удовлетворять 1/ p + 1/ q ≤ 1 , а не быть сопряженными по Гёльдеру. Сочетание неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена подразумевает, что

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$

для всех измеримых действительных или комплексных функций f и g на  S.

Известные особые случаи

Для следующих случаев предположим, что p и q находятся в открытом интервале (1,∞) с 1/ p + 1/ q = 1 .

Счетная мера

Для -мерного евклидова пространства , когда множество имеет счетную меру , имеем ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}{\text{ for all }}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ or }}\mathbb {C} ^{n}.}$

Часто для любого случая используется следующая практическая форма : ${\displaystyle (r,s)\in \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r}\,|y_{k}|^{s}{\biggr )}^{r+s}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{r}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{s}.}$

Для более чем двух сумм справедливо следующее обобщение (Чен (2015)) с действительными положительными показателями и : ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}+\lambda _{b}+\cdots +\lambda _{z}=1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{\lambda _{a}}\,|b_{k}|^{\lambda _{b}}\cdots |z_{k}|^{\lambda _{z}}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{a}}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{b}}\cdots {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|z_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{z}}.}$

Равенство имеет место тогда и только тогда . ${\displaystyle |a_{1}|:|a_{2}|:\cdots :|a_{n}|=|b_{1}|:|b_{2}|:\cdots :|b_{n}|=\cdots =|z_{1}|:|z_{2}|:\cdots :|z_{n}|}$

Если использовать счетную меру, то мы получаем неравенство Гёльдера для пространств последовательностей : ${\displaystyle S=\mathbb {N} }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}{\text{ for all }}(x_{k})_{k\in \mathbb {N} },(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }{\text{ or }}\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }.}$

мера Лебега

Если — измеримое подмножество с мерой Лебега , а и — измеримые действительные или комплексные функции на , то неравенство Гёльдера имеет вид ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \int _{S}{\bigl |}f(x)g(x){\bigr |}\,\mathrm {d} x\leq {\biggl (}\int _{S}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\int _{S}|g(x)|^{q}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{q}}.}$

Мера вероятности

Для вероятностного пространства пусть обозначает оператор ожидания . Для действительных или комплексных случайных величин и неравенство Гельдера читается как ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ),}$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega ,}$

${\displaystyle \mathbb {E} [|XY|]\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Пусть и определим Тогда — сопряжение Гельдера с Применяем неравенство Гельдера к случайным величинам и получаем ${\displaystyle 1<r<s<\infty }$ ${\displaystyle p={\tfrac {s}{r}}.}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle |X|^{r}}$ ${\displaystyle 1_{\Omega }}$

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{r}{\bigr ]}\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{s}{\bigr ]}\right)^{\frac {r}{s}}.}$

В частности, если s- ^й абсолютный момент конечен, то r  ^-й абсолютный момент также конечен. (Это также следует из неравенства Йенсена .)

Мера продукта

Для двух σ-конечных пространств меры ( S ₁ , Σ ₁ , μ ₁ ) и ( S ₂ , Σ ₂ , μ ₂ ) определим пространство меры произведения следующим образом:

${\displaystyle S=S_{1}\times S_{2},\quad \Sigma =\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2},\quad \mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2},}$

где S — декартово произведение S ₁ и S ₂ , σ-алгебра Σ возникает как произведение σ-алгебры Σ ₁ и Σ ₂ , а μ обозначает меру произведения μ ₁ и μ ₂ . Тогда теорема Тонелли позволяет нам переписать неравенство Гёльдера с использованием повторных интегралов : Если  f и g — Σ -измеримые действительные или комплексные функции на декартовом произведении  S , то

${\displaystyle \int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)\,g(x,y)|\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|g(x,y)|^{q}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Это можно обобщить на более чем два σ-конечных мерных пространства.

Векторнозначные функции

Пусть ( S , Σ, μ ) обозначает σ-конечное мерное пространство и предположим, что f = ( f ₁ , ..., f _n ) и g = ( g ₁ , ..., g _n ) являются Σ -измеримыми функциями на S , принимающими значения в n -мерном вещественном или комплексном евклидовом пространстве. Взяв произведение с мерой подсчета на {1, ..., n } , мы можем переписать приведенную выше версию неравенства Гёльдера с мерой произведения в виде

${\displaystyle \int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)\,g_{k}(x)|\,\mu (\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)|^{p}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|g_{k}(x)|^{q}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Если два интеграла в правой части конечны, то равенство имеет место тогда и только тогда, когда существуют действительные числа α , β ≥ 0 , не оба равные нулю, такие, что

${\displaystyle \alpha \left(|f_{1}(x)|^{p},\ldots ,|f_{n}(x)|^{p}\right)=\beta \left(|g_{1}(x)|^{q},\ldots ,|g_{n}(x)|^{q}\right),}$

для μ - почти всех x в S .

Эта конечномерная версия обобщается на функции f и g, принимающие значения в нормированном пространстве , которое может быть, например, пространством последовательностей или пространством скалярного произведения .

Доказательство неравенства Гёльдера

Существует несколько доказательств неравенства Гёльдера; основная идея в следующем — неравенство Юнга для произведений .

Доказательство

Если ‖ f  ‖ _p = 0 , то f равно нулю μ -почти всюду, а произведение fg равно нулю μ -почти всюду, следовательно, левая часть неравенства Гёльдера равна нулю. То же самое верно, если ‖ g ‖ _q = 0 . Поэтому в дальнейшем мы можем предположить ‖ f  ‖ _p > 0 и ‖ g ‖ _q > 0 .

Если ‖ f  ‖ _p = ∞ или ‖ g ‖ _q = ∞ , то правая часть неравенства Гёльдера бесконечна. Поэтому можно считать, что ‖ f  ‖ _p и ‖ g ‖ _q находятся в (0, ∞) .

Если p = ∞ и q = 1 , то | fg | ≤ ‖ f  ‖ _∞ | g | почти всюду и неравенство Гёльдера следует из монотонности интеграла Лебега. Аналогично для p = 1 и q = ∞ . Поэтому можно предположить, что p , q ∈ (1,∞) .

Разделив f и g на ‖ f  ‖ _p и ‖ g ‖ _q , соответственно, можно предположить, что

${\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.}$

Теперь мы используем неравенство Юнга для произведений , которое гласит, что всякий раз, когда находятся в (1,∞) с ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}$

для всех неотрицательных a и b , где равенство достигается тогда и только тогда, когда a ^p = b ^q . Следовательно

${\displaystyle |f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.}$

Интеграция обеих сторон дает

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{p}}+{\frac {\|g\|_{q}^{q}}{q}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$

что доказывает утверждение.

При предположениях p ∈ (1, ∞) и ‖ f  ‖ _p = ‖ g ‖ _q равенство выполняется тогда и только тогда, когда | f  | ^p = | g | ^q почти всюду. В более общем случае, если ‖ f  ‖ _p и ‖ g ‖ _q находятся в (0, ∞) , то неравенство Гёльдера становится равенством тогда и только тогда, когда существуют действительные числа α , β > 0 , а именно

${\displaystyle \alpha =\|g\|_{q}^{q},\qquad \beta =\|f\|_{p}^{p},}$

такой что

${\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}}$   μ -почти всюду (*).

Случай ‖ f  ‖ _p = 0 соответствует β = 0 в (*). Случай ‖ g ‖ _q = 0 соответствует α = 0 в (*).

Альтернативное доказательство с использованием неравенства Йенсена:

Доказательство

Функция на (0,∞) является выпуклой, поскольку , поэтому по неравенству Йенсена, ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \int h\mathrm {d} \nu \leq \left(\int h^{p}\mathrm {d} \nu \right)^{\frac {1}{p}}}$

где ν - любое распределение вероятностей и h - любая ν -измеримая функция. Пусть μ - любая мера, а ν - распределение, плотность которого wrt μ пропорциональна , т.е. ${\displaystyle g^{q}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \nu ={\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\mathrm {d} \mu }$

Следовательно, используя , отсюда и допуская , имеем ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle p(1-q)+q=0}$ ${\displaystyle h=fg^{1-q}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int fg\,\mathrm {d} \mu =&\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)\int \underbrace {fg^{1-q}} _{h}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\mathrm {d} \mu } _{\mathrm {d} \nu }\\\leq &\left(\int g^{q}\mathrm {d} \mu \right)\left(\int \underbrace {f^{p}g^{p(1-q)}} _{h^{p}}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\,\mathrm {d} \mu } _{\mathrm {d} \nu }\right)^{\frac {1}{p}}\\=&\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)\left(\int {\frac {f^{p}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}.\end{aligned}}}$

Наконец, мы получаем

${\displaystyle \int fg\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\int f^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}}$

Это предполагает, что f , g являются действительными и неотрицательными, но расширение до комплексных функций является простым (используйте модуль f , g ). Это также предполагает, что не являются ни нулем, ни бесконечностью, и что : все эти предположения также могут быть сняты, как в доказательстве выше. ${\displaystyle \|f\|_{p},\|g\|_{q}}$ ${\displaystyle p,q>1}$

Мы также могли бы обойти использование неравенств Юнга и Йенсена. Доказательство ниже также объясняет, почему и где показатель Гельдера появляется естественным образом.

Доказательство

Как и в предыдущем доказательстве, достаточно доказать

${\displaystyle \int _{X}|h|\mathrm {d} \nu \leq \left(\int _{X}|h|^{p}\mathrm {d} \nu \right)^{\frac {1}{p}}}$

где и - измеримая (действительная или комплексная) функция на . Чтобы доказать это, мы должны ограничиться . Не существует константы , которая сделает для всех . Следовательно, мы ищем неравенство вида ${\displaystyle \nu (X)=1}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |h|}$ ${\displaystyle |h|^{p}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle |h(x)|~\leq ~C|h(x)|^{p}}$ ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle |h(x)|~\leq ~a'|h(x)|^{p}+b',\quad for\quad all\quad x>0}$

для подходящего выбора и . ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle b'}$

Мы хотим получить в правой части после интегрирования этого неравенства. Методом проб и ошибок мы видим, что неравенство, которое мы хотим, должно иметь вид ${\displaystyle A:=\|f\|_{p}}$

${\displaystyle |h(x)|~\leq ~aA^{1-p}|h(x)|^{p}+bA,\quad for\quad all\quad x>0,}$

где неотрицательны и . Действительно, интеграл правой части равен как раз . Итак, осталось доказать, что такое неравенство выполняется при правильном выборе ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a+b=1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a,b.}$

Неравенство, которое мы ищем, будет следовать из:

${\displaystyle {\tfrac {y}{A}}~\leq ~a({\tfrac {y}{a}})^{p}+b,\quad for\quad all\quad y>0,}$

что, в свою очередь, эквивалентно

${\displaystyle (*)\quad z~\leq ~az^{p}+b,\quad for\quad all\quad z>0.}$

Оказывается, существует один и только один выбор , при условии , который делает это верным: и, обязательно, . (Вот где рождается сопряженная экспонента Гёльдера!) Это завершает доказательство неравенства в первом абзаце этого доказательства. Доказательство неравенства Гёльдера следует из этого, как и в предыдущем доказательстве. В качестве альтернативы мы можем вывести неравенство Юнга, а затем прибегнуть к первому доказательству, данному выше. Неравенство Юнга следует из неравенства (*) выше, выбрав и умножив обе части на . ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a+b=1}$ ${\displaystyle a={\tfrac {1}{p}}}$ ${\displaystyle b=1-{\tfrac {1}{p}}}$ ${\displaystyle z={\tfrac {a}{b^{q-1}}}}$ ${\displaystyle b^{q}}$

Крайнее равенство

Заявление

Предположим, что 1 ≤ p < ∞ и пусть q обозначает сопряжение Гельдера. Тогда для каждого f ∈ L ^p ( μ ) ,

${\displaystyle \|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{q}(\mu ),\|g\|_{q}\leq 1\right\},}$

где max указывает, что на самом деле существует g, максимизирующий правую часть. Когда p = ∞ и если каждое множество A в σ-поле Σ с μ ( A ) = ∞ содержит подмножество B ∈ Σ с 0 < μ ( B ) < ∞ (что верно, в частности, когда μ является σ-конечным ), то

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{1}(\mu ),\|g\|_{1}\leq 1\right\}.}$

Доказательство экстремального равенства:

Доказательство

По неравенству Гёльдера интегралы определены корректно и при 1 ≤ p ≤ ∞ ,

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu \leq \|f\|_{p},}$

следовательно, левая часть всегда ограничена сверху правой частью.

Наоборот, для 1 ≤ p ≤ ∞ сначала заметим, что утверждение очевидно, когда ‖ f  ‖ _p = 0. Поэтому в дальнейшем мы предполагаем ‖ f  ‖ _p > 0 .

Если 1 ≤ p < ∞ , определим g на S как

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}\|f\|_{p}^{1-p}\,|f(x)|^{p}/f(x)&{\text{if }}f(x)\not =0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Проверяя случаи p = 1 и 1 < p < ∞ по отдельности, мы видим, что ‖ g ‖ _q = 1 и

${\displaystyle \int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu =\|f\|_{p}.}$

Осталось рассмотреть случай p = ∞ . Для ε ∈ (0, 1) определим

${\displaystyle A=\left\{x\in S:|f(x)|>(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }\right\}.}$

Так как f измеримо, A ∈ Σ . По определению ‖ f  ‖ _∞ как существенного супремума f и предположению ‖ f ‖ _∞ > 0 имеем μ ( A ) > 0. Используя дополнительное предположение о σ-поле Σ, если необходимо, существует подмножество B ∈ Σ из A с 0 < μ ( B ) < ∞ . Определим g на S как 

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}{\frac {\|f\|_{\infty }}{f(x)}}&{\text{if }}x\in B,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Тогда g хорошо определен, измерим и | g ( x ) | ≤ 1/ μ ( B ) для x ∈ B , следовательно ‖ g ‖ ₁ ≤ 1 . Более того,

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|=\int _{B}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}\|f\|_{\infty }\,\mathrm {d} \mu =(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }.}$

Замечания и примеры

• Равенство для нарушается всякий раз, когда существует множество бесконечной меры в -поле с , которое не имеет подмножества , которое удовлетворяет: (простейшим примером является -поле, содержащее только пустое множество и и меру с ) Тогда индикаторная функция удовлетворяет , но каждое должно быть -почти всюду постоянным на , поскольку оно -измеримо, и эта константа должна быть равна нулю, поскольку является -интегрируемым. Следовательно, указанный выше супремум для индикаторной функции равен нулю, и экстремальное равенство нарушается. ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle B\in \Sigma }$ ${\displaystyle 0<\mu (B)<\infty .}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (S)=\infty .}$ ${\displaystyle 1_{A}}$ ${\displaystyle \|1_{A}\|_{\infty }=1,}$ ${\displaystyle g\in L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 1_{A}}$
• Ибо супремум в общем случае не достигается. В качестве примера пусть и счетная мера. Определим: ${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} ,\Sigma ={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \\f(n)={\frac {n-1}{n}}\end{cases}}}$

Тогда Для с пусть обозначает наименьшее натуральное число с Тогда ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=1.}$ ${\displaystyle g\in L^{1}(\mu ,\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle 0<\|g\|_{1}\leqslant 1,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g(m)\neq 0.}$

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leqslant {\frac {m-1}{m}}|g(m)|+\sum _{n=m+1}^{\infty }|g(n)|=\|g\|_{1}-{\frac {|g(m)|}{m}}<1.}$

Приложения

• Экстремальное равенство является одним из способов доказательства неравенства треугольника ‖ f ₁ + f ₂ ‖ _p ≤ ‖ f ₁ ‖ _p + ‖ f ₂ ‖ _p для всех f ₁ и f ₂ из L ^p ( μ ) , см. неравенство Минковского .
• Из неравенства Гёльдера следует, что каждая f ∈ L ^p ( μ ) определяет ограниченный (или непрерывный) линейный функционал κ _f на L ^q ( μ ) по формуле

${\displaystyle \kappa _{f}(g)=\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu ,\qquad g\in L^{q}(\mu ).}$

Экстремальное равенство (когда оно верно) показывает, что норма этого функционала κ _f как элемента непрерывного сопряженного пространства L ^q ( μ ) ^* совпадает с нормой f в L ^p ( μ ) (см. также статью о L ^p -пространстве ).

Обобщение с более чем двумя функциями

Заявление

Предположим, что r ∈ (0, ∞] и p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] такие, что

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}}$

где 1/∞ в этом уравнении интерпретируется как 0. Тогда для всех измеримых действительных или комплекснозначных функций f ₁ , ..., f _{n ,} определенных на S ,

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\left\|f_{k}\right\|_{p_{k}}}$

где мы интерпретируем любое произведение с множителем ∞ как ∞, если все множители положительны, но произведение равно 0, если любой множитель равен 0.

В частности, если для всех то ${\displaystyle f_{k}\in L^{p_{k}}(\mu )}$ ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}f_{k}\in L^{r}(\mu ).}$

Примечание: Вопреки обозначениям, ‖ . ‖ _r в общем случае не является нормой, поскольку не удовлетворяет неравенству треугольника . ${\displaystyle r\in (0,1),}$

Доказательство обобщения:

Доказательство

Используем неравенство Гельдера и математическую индукцию . Если то результат будет мгновенным. Перейдем теперь от к Без потери общности предположим, что ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle p_{1}\leq \cdots \leq p_{n}.}$

Случай 1: Если то ${\displaystyle p_{n}=\infty }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}.}$

Выделив существенный супремум | f _n | и используя гипотезу индукции, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|f_{1}\cdots f_{n}\right\|_{r}&\leq \left\|f_{1}\cdots f_{n-1}\right\|_{r}\left\|f_{n}\right\|_{\infty }\\&\leq \left\|f_{1}\right\|_{p_{1}}\cdots \left\|f_{n-1}\right\|_{p_{n-1}}\left\|f_{n}\right\|_{\infty }.\end{aligned}}}$

Случай 2: Если то обязательно также, и тогда ${\displaystyle p_{n}<\infty }$ ${\displaystyle r<\infty }$

${\displaystyle p:={\frac {p_{n}}{p_{n}-r}},\qquad q:={\frac {p_{n}}{r}}}$

являются сопряженными по Гёльдеру в (1, ∞) . Применение неравенства Гёльдера дает

${\displaystyle \left\||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\,|f_{n}|^{r}\right\|_{1}\leq \left\||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\right\|_{p}\,\left\||f_{n}|^{r}\right\|_{q}.}$

Возведение в степень и переписывание, ${\displaystyle 1/r}$

${\displaystyle \|f_{1}\cdots f_{n}\|_{r}\leq \|f_{1}\cdots f_{n-1}\|_{pr}\|f_{n}\|_{qr}.}$

Так как и ${\displaystyle qr=p_{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p_{n}}}={\frac {p_{n}-r}{rp_{n}}}={\frac {1}{pr}},}$

заявленное неравенство теперь следует из предположения индукции.

Интерполяция

Пусть p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] и пусть θ ₁ , ..., θ _n ∈ (0, 1) обозначают веса с θ ₁ + ... + θ _n = 1 . Определим как взвешенное гармоническое среднее , то есть, ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {1}{p}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\theta _{k}}{p_{k}}}.}$

Если заданы измеримые действительные или комплексные функции на S , то приведенное выше обобщение неравенства Гёльдера дает ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\cdots |f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{p}\leq \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\right\|_{\frac {p_{1}}{\theta _{1}}}\cdots \left\||f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{\frac {p_{n}}{\theta _{n}}}=\|f_{1}\|_{p_{1}}^{\theta _{1}}\cdots \|f_{n}\|_{p_{n}}^{\theta _{n}}.}$

В частности, взятие дает ${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{n}=:f}$

${\displaystyle \|f\|_{p}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|f\|_{p_{k}}^{\theta _{k}}.}$

Уточняя далее θ ₁ = θ и θ ₂ = 1- θ , в этом случае получаем результат интерполяции ${\displaystyle n=2,}$

Неравенство Литтлвуда  —  Для и , ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p_{\theta }}}={\frac {\theta }{p_{1}}}+{\frac {1-\theta }{p_{0}}}}$

$${\displaystyle \|f\|_{p_{\theta }}\leqslant \|f\|_{p_{1}}^{\theta }\cdot \|f\|_{p_{0}}^{1-\theta },}$$

Применение Гельдера дает

Неравенство Ляпунова  —  Если то ${\displaystyle p=(1-\theta )p_{0}+\theta p_{1},\qquad \theta \in (0,1),}$

$${\displaystyle \left\||f_{0}|^{\frac {p_{0}(1-\theta )}{p}}\cdot |f_{1}|^{\frac {p_{1}\theta }{p}}\right\|_{p}^{p}\leq \|f_{0}\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\|f_{1}\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }}$$

и в частности

$${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}\leqslant \|f\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\cdot \|f\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }.}$$

И Литтлвуд, и Ляпунов подразумевают, что если то для всех ^[4] ${\displaystyle f\in L^{p_{0}}\cap L^{p_{1}}}$ ${\displaystyle f\in L^{p}}$ ${\displaystyle p_{0}<p<p_{1}.}$

Обратные неравенства Гельдера

Две функции

Предположим, что p ∈ (1, ∞) и что пространство меры ( S , Σ, μ ) удовлетворяет μ ( S ) > 0. Тогда для всех измеримых действительных или комплекснозначных функций f и g на S, таких, что g ( s ) ≠ 0 для μ -почти всех s ∈ S ,

${\displaystyle \|fg\|_{1}\geqslant \|f\|_{\frac {1}{p}}\,\|g\|_{\frac {-1}{p-1}}.}$

Если

${\displaystyle \|fg\|_{1}<\infty \quad {\text{and}}\quad \|g\|_{\frac {-1}{p-1}}>0,}$

то обратное неравенство Гельдера является равенством тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \exists \alpha \geqslant 0\quad |f|=\alpha |g|^{\frac {-p}{p-1}}\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}.}$

Примечание: Выражения:

${\displaystyle \|f\|_{\frac {1}{p}}}$и ${\displaystyle \|g\|_{\frac {-1}{p-1}},}$

не являются нормами, это просто компактные обозначения для

${\displaystyle \left(\int _{S}|f|^{\frac {1}{p}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{p}\quad {\text{and}}\quad \left(\int _{S}|g|^{\frac {-1}{p-1}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{-(p-1)}.}$

Доказательство обратного неравенства Гёльдера (скрыто, нажмите «Показать», чтобы увидеть».)

Обратите внимание, что p и

${\displaystyle q:={\frac {p}{p-1}}\in (1,\infty )}$

являются сопряженными по Гёльдеру. Применение неравенства Гёльдера дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}&=\left\||fg|^{\frac {1}{p}}\,|g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{1}\\&\leqslant \left\||fg|^{\frac {1}{p}}\right\|_{p}\left\||g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{q}\\&=\|fg\|_{1}^{\frac {1}{p}}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{\frac {p-1}{p}}\end{aligned}}}$

Возводя в степень p, получаем:

${\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\leqslant \|fg\|_{1}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{p-1}.}$

Поэтому:

${\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{-(p-1)}\leqslant \|fg\|_{1}.}$

Теперь нам просто нужно вспомнить наши обозначения.

Поскольку g не почти везде равна нулевой функции, мы можем иметь равенство тогда и только тогда, когда существует константа α ≥ 0 такая, что | fg | = α  | g | ^{− q / p} почти везде. Решение для абсолютного значения f дает утверждение.

Множественные функции

Обратное неравенство Гельдера (выше) можно обобщить на случай множественных функций, если все сопряженные функции, кроме одной, отрицательны. То есть,

Пусть и таковы, что (следовательно ). Пусть будут измеримыми функциями для . Тогда ${\displaystyle p_{1},...,p_{m-1}<0}$ ${\displaystyle p_{m}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{p_{k}}}=1}$ ${\displaystyle 0<p_{m}<1}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle k=1,...,m}$

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{m}f_{k}\right\|_{1}\geq \prod _{k=1}^{m}\left\|f_{k}\right\|_{p_{k}}.}$

Это следует из симметричной формы неравенства Гёльдера (см. ниже).

Симметричные формы неравенства Гельдера

Аксель и Беккенбах ^[5] заметили, что неравенство Гёльдера можно представить в более симметричной форме, ценой введения дополнительного вектора (или функции):

Пусть — векторы с положительными элементами и такие, что для всех . Если — ненулевые действительные числа, такие, что , то: ${\displaystyle f=(f(1),\dots ,f(m)),g=(g(1),\dots ,g(m)),h=(h(1),\dots ,h(m))}$ ${\displaystyle f(i)g(i)h(i)=1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p,q,r}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=0}$

• ${\displaystyle \|f\|_{p}\|g\|_{q}\|h\|_{r}\geq 1}$если все, кроме одного, положительны; ${\displaystyle p,q,r}$
• ${\displaystyle \|f\|_{p}\|g\|_{q}\|h\|_{r}\leq 1}$если все, кроме одного, отрицательны. ${\displaystyle p,q,r}$

Стандартное неравенство Гельдера немедленно следует из этой симметричной формы (и, как легко видеть, оно эквивалентно ей). Симметричное утверждение также подразумевает обратное неравенство Гельдера (см. выше).

Результат можно распространить на несколько векторов:

Пусть будут векторами в с положительными элементами и такими, что для всех . Если будут ненулевыми действительными числами, такими, что , то: ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f_{1}(i)\dots f_{n}(i)=1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p_{1}}}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}=0}$

• ${\displaystyle \|f_{1}\|_{p_{1}}\dots \|f_{n}\|_{p_{n}}\geq 1}$если все числа, кроме одного, положительны; ${\displaystyle p_{i}}$
• ${\displaystyle \|f_{1}\|_{p_{1}}\dots \|f_{n}\|_{p_{n}}\leq 1}$если все числа, кроме одного, отрицательные. ${\displaystyle p_{i}}$

Как и в стандартных неравенствах Гёльдера, существуют соответствующие утверждения для бесконечных сумм и интегралов.

Условное неравенство Гельдера

Пусть (Ω, F , ) ${\displaystyle \mathbb {P} }$ — вероятностное пространство, G ⊂ F — подалгебра σ , а p , q ∈ ( 1, ∞) сопряжены Гёльдером, что означает, что 1/ p + 1/ q = 1. Тогда для всех действительных или комплексных случайных величин X и Y на  Ω ,

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}\leq {\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}}\,{\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}\qquad \mathbb {P} {\text{-almost surely.}}}$

Замечания:

• Если неотрицательная случайная величина Z имеет бесконечное математическое ожидание , то ее условное ожидание определяется как

${\displaystyle \mathbb {E} [Z|{\mathcal {G}}]=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\mathbb {E} [\min\{Z,n\}|{\mathcal {G}}]\quad {\text{a.s.}}}$

• В правой части условного неравенства Гёльдера 0 умножить на ∞, а также ∞ умножить на 0 означает 0. Умножение a > 0 на ∞ дает ∞.

Доказательство условного неравенства Гёльдера:

Доказательство

Определить случайные величины

${\displaystyle U={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}},\qquad V={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}}$

и заметим, что они измеримы относительно под-σ-алгебры . Поскольку

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}1_{\{U=0\}}{\bigr ]}=\mathbb {E} {\bigl [}1_{\{U=0\}}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}} _{=\,U^{p}}{\bigr ]}=0,}$

следует, что | X | = 0 как на множестве { U = 0} . Аналогично, | Y | = 0 как на множестве { V = 0} , следовательно

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}=0\qquad {\text{a.s. on }}\{U=0\}\cup \{V=0\}}$

и на этом множестве выполняется условное неравенство Гельдера. На множестве

${\displaystyle \{U=\infty ,V>0\}\cup \{U>0,V=\infty \}}$

правая часть бесконечна и условное неравенство Гельдера также выполняется. Разделив на правую часть, остается, таким образом, показать, что

${\displaystyle {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}\leq 1\qquad {\text{a.s. on the set }}H:=\{0<U<\infty ,\,0<V<\infty \}.}$

Это делается путем проверки того, что неравенство сохраняется после интегрирования по произвольному

${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},\quad G\subset H.}$

Используя измеримость U, V, 1 _G относительно под-σ-алгебры , правила для условных ожиданий, неравенство Гёльдера и 1/ p + 1/ q = 1 , мы видим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}1_{G}{\biggr ]}&=\mathbb {E} {\biggl [}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|XY|}{UV}}1_{G}{\bigg |}\,{\mathcal {G}}{\biggr ]}{\biggr ]}\\&=\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|}{U}}1_{G}\cdot {\frac {|Y|}{V}}1_{G}{\biggr ]}\\&\leq {\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|^{p}}{U^{p}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|Y|^{q}}{V^{q}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&={\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{U^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{V^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&=\mathbb {E} {\bigl [}1_{G}{\bigr ]}.\end{aligned}}}$

Неравенство Гельдера для возрастающих полунорм

Пусть S — множество, а — пространство всех комплекснозначных функций на S. Пусть N — возрастающая полунорма на , означающая, что для всех вещественнозначных функций имеет место следующая импликация (полунорме также разрешено достигать значения ∞): ${\displaystyle F(S,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle F(S,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle f,g\in F(S,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \forall s\in S\quad f(s)\geqslant g(s)\geqslant 0\qquad \Rightarrow \qquad N(f)\geqslant N(g).}$

Затем:

${\displaystyle \forall f,g\in F(S,\mathbb {C} )\qquad N(|fg|)\leqslant {\bigl (}N(|f|^{p}){\bigr )}^{\frac {1}{p}}{\bigl (}N(|g|^{q}){\bigr )}^{\frac {1}{q}},}$

где числа и являются сопряженными по Гёльдеру. ^[6] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Замечание: Если ( S , Σ, μ ) — пространство с мерой и — верхний интеграл Лебега , то ограничение N на все Σ -измеримые функции дает обычную версию неравенства Гёльдера. ${\displaystyle N(f)}$ ${\displaystyle |f|}$

Расстояния, основанные на неравенстве Гельдера

Неравенство Гельдера может быть использовано для определения статистических мер различия ^[7] между распределениями вероятностей. Эти расхождения Гельдера являются проективными: они не зависят от фактора нормализации плотностей.

Смотрите также

• Неравенство Коши–Шварца
• неравенство Минковского
• Неравенство Йенсена
• Неравенство Юнга для продуктов
• Неравенства Кларксона
• Неравенство Браскампа–Либа

Цитаты

1. Роман 2008, стр. 303 §12
2. Малигранда, Лех (1998), «Почему неравенство Гёльдера следует называть неравенством Роджерса», Математические неравенства и их применения , 1 (1): 69–83, doi : 10.7153/mia-01-05 , MR  1492911
3. Guessab, A.; Schmeisser, G. (2013), "Необходимые и достаточные условия для справедливости неравенства Йенсена", Archiv der Mathematik , 100 (6): 561–570, doi :10.1007/s00013-013-0522-3, MR  3069109, S2CID  253600514, при дополнительном предположении, что существует, это неравенство уже было получено Гёльдером в 1889 году ${\displaystyle \varphi ''}$
4. Войтащик, П. (1991). Банаховы пространства для аналитиков. Кембриджские исследования по высшей математике. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56675-9.
5. Бекенбах, EF (1980). Общие неравенства 2. Международная серия по числовой математике / Internationale Schriftenreihe zur Numerischen Mathematik / Série Internationale d'Analyse Numérique. Том. 47. Биркхойзер Базель. стр. 145–150. дои : 10.1007/978-3-0348-6324-7. ISBN 978-3-7643-1056-1.
6. Доказательство см. в (Trèves 1967, Lemma 20.1, стр. 205–206).
7. Нильсен, Франк; Сан, Ке; Маршан-Мейллет, Стефан (2017). «О проективных расхождениях Гёльдера». Энтропия . 3 (19): 122. arXiv : 1701.03916 . Bibcode : 2017Entrp..19..122N. doi : 10.3390/e19030122 .

Ссылки

• Гриншпан, AZ (2010), «Взвешенные неравенства и отрицательные биномы», Успехи в прикладной математике , 45 (4): 564–606, doi : 10.1016/j.aam.2010.04.004
• Харди, GH ; Литтлвуд, JE ; Полиа, G. (1934), Неравенства , Cambridge University Press , стр. XII+314, ISBN 0-521-35880-9, JFM  60.0169.01, Zbl  0010.10703.
• Гёльдер, О. (1889), «Ueber einen Mittelwertsatz», Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen , Band (на немецком языке), 1889 (2): 38–47, JFM  21.0260.07. Доступно в Digi Zeitschriften.
• Купцов, Л.П. (2001) [1994], "Неравенство Гёльдера", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Роджерс, Л. Дж. (февраль 1888 г.), «Расширение некоторой теоремы о неравенствах», Вестник математики , Новая серия, XVII (10): 145–150, JFM  20.0254.02, архивировано из оригинала 21 августа 2007 г..
• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Graduate Texts in Mathematics (Третье изд.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5
• Трев, Франсуа (1967), Топологические векторные пространства, распределения и ядра , Чистая и прикладная математика. Серия монографий и учебников, т. 25, Нью-Йорк, Лондон: Academic Press, MR  0225131, Zbl  0171.10402.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

Внешние ссылки

• Чен, Эван (2015), Краткое введение в олимпиадные неравенства (PDF).
• Каттлер, Кеннет (2007), Введение в линейную алгебру (PDF) , Электронная книга в формате PDF, Университет имени Бригама Янга, архивировано из оригинала (PDF) 07.08.2008 , извлечено 26.03.2008.
• Лоуотер, Артур (1982), Введение в неравенства (PDF).
• Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Тисделл, Крис (2012), Неравенство Холдера, YouTube.