Вероятностное пространство

Математическая концепция

В теории вероятностей вероятностное пространство или тройка вероятностей — это математическая конструкция , которая обеспечивает формальную модель случайного процесса или «эксперимента». Например, можно определить вероятностное пространство, моделирующее бросание игральной кости . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

Вероятностное пространство состоит из трех элементов: ^{[1] [2]}

1. Пространство выборки , которое представляет собой набор всех возможных результатов . ${\displaystyle \Omega }$
2. Пространство событий , которое представляет собой набор событий , причем событие представляет собой набор результатов в пространстве выборки. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
3. Функция вероятности , которая присваивает каждому событию в пространстве событий вероятность , которая представляет собой число от 0 до 1 (включительно). ${\displaystyle P}$

Чтобы создать разумную модель вероятности, эти элементы должны удовлетворять ряду аксиом, подробно описанных в этой статье.

В примере с броском стандартной игральной кости мы бы взяли выборочное пространство равным . Для пространства событий мы могли бы просто использовать набор всех подмножеств выборочного пространства, который затем содержал бы простые события, такие как («кубик выпадает на 5»), а также сложные события, такие как («кубик выпадает на 5»). четное число"). Наконец, для функции вероятности мы бы сопоставили каждое событие с количеством исходов в этом событии, деленным на 6 – так, например, будет отображено в и будет отображено в . ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$ ${\displaystyle \{5\}}$ ${\displaystyle \{2,4,6\}}$ ${\displaystyle \{5\}}$ ${\displaystyle 1/6}$ ${\displaystyle \{2,4,6\}}$ ${\displaystyle 3/6=1/2}$

Когда проводится эксперимент, мы представляем, что «природа» «выбирает» один результат из выборочного пространства . Говорят , что все события в пространстве событий , содержащие выбранный результат, «произошли». Этот «отбор» происходит таким образом, что если бы эксперимент повторялся много раз, количество появлений каждого события как доля от общего числа экспериментов, скорее всего, стремилось бы к вероятности, приписываемой этому событию вероятностью функция . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle P}$

Советский математик Андрей Колмогоров ввел понятие вероятностного пространства вместе с другими аксиомами вероятности в 1930-х годах. В современной теории вероятностей существует ряд альтернативных подходов к аксиоматизации — например, алгебра случайных величин .

Введение

Вероятностное пространство для броска игральной кости дважды подряд: Пространство выборки состоит из всех 36 возможных результатов; показаны три разных события (цветные многоугольники) с соответствующими вероятностями (при условии дискретного равномерного распределения ). ${\displaystyle \Omega }$

Вероятностное пространство — это математическая тройка , представляющая модель для определенного класса ситуаций реального мира. Как и в случае с другими моделями, ее автор в конечном итоге определяет, какие элементы , и будут содержать. ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P}$

• Пространство выборки представляет собой набор всех возможных результатов. Результат — это результат одного выполнения модели. Результатами могут быть состояния природы, возможности, результаты экспериментов и тому подобное. Каждый случай реальной ситуации (или проведения эксперимента) должен давать ровно один результат. Если результаты разных серий эксперимента отличаются каким-либо существенным образом, это разные результаты. Какие различия имеют значение, зависит от того, какой анализ мы хотим провести. Это приводит к различному выбору выборочного пространства. ${\displaystyle \Omega }$
• σ -алгебра — это совокупность всех событий, которые мы хотели бы рассмотреть. Эта коллекция может включать или не включать каждое из элементарных событий. Здесь «событие» — это набор из нуля или более результатов; то есть подмножество выборочного пространства. Событие считается «произошедшим» во время эксперимента, если результат последнего является элементом события. Поскольку один и тот же результат может быть частью многих событий, возможно, что многие события произошли при одном исходе. Например, когда испытание состоит из бросания двух игральных костей, набор всех результатов с суммой 7 очков может представлять собой событие, тогда как результаты с нечетным количеством очков могут представлять собой другое событие. Если результатом является элемент элементарного события: два очка на первом кубике и пять очков на втором, то говорят, что оба события: «7 очков» и «нечетное количество очков» произошли. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• Вероятностная мера — это заданная функция, возвращающая вероятность события . Вероятность — это действительное число между нулем (невозможные события имеют нулевую вероятность, хотя события с нулевой вероятностью не обязательно невозможны) и единицей (событие произойдет почти наверняка , с почти полной уверенностью). Таким образом , функция вероятностная мера должна удовлетворять двум простым требованиям: во-первых, вероятность счетного объединения взаимоисключающих событий должна быть равна счетной сумме вероятностей каждого из этих событий. Например, вероятность объединения взаимоисключающих событий и в случайном эксперименте с одним броском монеты , представляет собой сумму вероятности для и вероятности для , . Во-вторых, вероятность выборочного пространства должна быть равна 1 (что объясняет тот факт, что при выполнении модели должен произойти некоторый результат). В предыдущем примере вероятность набора исходов должна быть равна единице, поскольку совершенно очевидно, что результатом будет либо или (модель игнорирует любую другую возможность) при одном подбрасывании монеты. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1].}$ ${\displaystyle {\text{Head}}}$ ${\displaystyle {\text{Tail}}}$ ${\displaystyle P({\text{Head}}\cup {\text{Tail}})}$ ${\displaystyle {\text{Head}}}$ ${\displaystyle {\text{Tail}}}$ ${\displaystyle P({\text{Head}})+P({\text{Tail}})}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle P(\{{\text{Head}},{\text{Tail}}\})}$ ${\displaystyle {\text{Head}}}$ ${\displaystyle {\text{Tail}}}$

Не каждое подмножество выборочного пространства обязательно должно считаться событием: некоторые из подмножеств просто не представляют интереса, другие невозможно «измерить» . В таком случае, как подбрасывание монеты, это не так очевидно. В другом примере можно рассмотреть длины метания копья, где события обычно представляют собой интервалы типа «от 60 до 65 метров» и объединения таких интервалов, а не наборы, такие как «иррациональные числа между 60 и 65 метрами». ${\displaystyle \Omega }$

Определение

Короче говоря, вероятностное пространство — это такое пространство с мерой , что мера всего пространства равна единице.

Расширенное определение следующее: вероятностное пространство — это тройка, состоящая из: ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

• выборочное пространство – произвольное непустое множество , ${\displaystyle \Omega }$
• σ -алгебра (также называемая σ-полем) – набор подмножеств , называемых событиями , таких, что: ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }}$ ${\displaystyle \Omega }$
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$содержит выборочное пространство: , ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$замкнут относительно дополнений : если , то также , ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\Omega \setminus A)\in {\mathcal {F}}}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$замкнуто относительно счетных объединений : если для , то и ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle i=1,2,\dots }$ ${\textstyle (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
    • Следствием из двух предыдущих свойств и закона Де Моргана является то, что оно также замкнуто при счетных пересечениях : если для , то также ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle i=1,2,\dots }$ ${\textstyle (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
• вероятностная мера – функция от такой, что: ${\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
  • P счетно -аддитивен (также называемый σ-аддитивным): если это счетный набор попарно непересекающихся множеств , то ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\textstyle P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}),}$
  • мера всего выборочного пространства равна единице: . ${\displaystyle P(\Omega )=1}$

Дискретный случай

Дискретная теория вероятностей нуждается только в наиболее счетных выборочных пространствах . Вероятности могут быть приписаны точкам с помощью функции массы вероятности такой, что . Все подмножества можно рассматривать как события (таким образом, это набор мощности ). Вероятностная мера принимает простую форму ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle p:\Omega \to [0,1]}$ ${\textstyle \sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$

Величайшая σ-алгебра описывает полную информацию. В общем, σ-алгебра соответствует конечному или счетному разбиению , причем общая форма события равна . См. также примеры. ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }}$ ${\displaystyle \Omega =B_{1}\cup B_{2}\cup \dots }$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A=B_{k_{1}}\cup B_{k_{2}}\cup \dots }$

Этот случай разрешен по определению, но используется редко, поскольку его можно безопасно исключить из выборочного пространства. ${\displaystyle p(\omega )=0}$ ${\displaystyle \omega }$

Общий случай

Если Ω несчетно , тем не менее, может случиться так, что P ( ω ) ≠ 0 для некоторого ω ; такие ω называются атомами . Они представляют собой не более чем счетное (возможно, пустое ) множество, вероятность которого равна сумме вероятностей всех атомов. Если эта сумма равна 1, то все остальные точки можно смело исключить из выборочного пространства, вернув нас к дискретному случаю. В противном случае, если сумма вероятностей всех атомов находится между 0 и 1, то вероятностное пространство распадается на дискретную (атомарную) часть (возможно, пустую) и неатомарную часть .

Неатомарный случай

Если P ( ω ) = 0 для всех ω ∈ Ω (в этом случае Ω должно быть несчетным, поскольку в противном случае P(Ω) = 1 не может быть удовлетворено), то уравнение ( ⁎ ) не выполняется: вероятность набора не равна обязательно сумма по вероятностям его элементов, поскольку суммирование определяется только для счетного числа элементов. Это делает теорию вероятностного пространства гораздо более технической. Применима более сильная формулировка, чем теория суммирования . Первоначально вероятности приписываются некоторым «генераторным» множествам (см. примеры). Тогда предельная процедура позволяет приписать вероятности множествам, которые являются пределами последовательностей порождающих наборов или пределами пределов и т.д. Все эти множества являются σ-алгеброй . Технические подробности см. в теореме о продолжении Каратеодори . Множества, принадлежащие , называются измеримыми . В целом они намного сложнее генераторных установок, но гораздо лучше неизмеримых установок . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Полное вероятностное пространство

Вероятностное пространство называется полным вероятностным пространством, если для всех с и всех есть . Часто изучение вероятностных пространств ограничивается полными вероятностными пространствами. ${\displaystyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;P)}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P(B)=0}$ ${\displaystyle A\;\subset \;B}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$

Примеры

Дискретные примеры

Пример 1

Если эксперимент состоит всего из одного подбрасывания честной монеты , то результатом будет либо орел, либо решка: . σ-алгебра содержит события, а именно: («орёл»), («решка»), («ни орла, ни решки») и («ни орла, ни решки»); другими словами, . Вероятность выпадения орла составляет пятьдесят процентов, а решки — пятьдесят процентов, поэтому мерой вероятности в этом примере является , , , . ${\displaystyle \Omega =\{{\text{H}},{\text{T}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$ ${\displaystyle 2^{2}=4}$ ${\displaystyle \{{\text{H}}\}}$ ${\displaystyle \{{\text{T}}\}}$ ${\displaystyle \{\}}$ ${\displaystyle \{{\text{H}},{\text{T}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{\},\{{\text{H}}\},\{{\text{T}}\},\{{\text{H}},{\text{T}}\}\}}$ ${\displaystyle P(\{\})=0}$ ${\displaystyle P(\{{\text{H}}\})=0.5}$ ${\displaystyle P(\{{\text{T}}\})=0.5}$ ${\displaystyle P(\{{\text{H}},{\text{T}}\})=1}$

Пример 2

Честную монету подбрасывают три раза. Существует 8 возможных исходов: Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} (здесь «HTH», например, означает, что в первый раз монета выпала орлом, во второй раз решкой и в последний раз снова головы). Полная информация описывается σ-алгеброй из 2 ⁸ = 256 событий, где каждое из событий является подмножеством Ω. ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$

Алиса знает результат только второго броска. Таким образом, ее неполная информация описывается разбиением Ω = A ₁ ⊔ A ₂ = {HHH, HHT, THH, THT} ⊔ {HTH, HTT, TTH, TTT} , где ⊔ — непересекающееся объединение , и соответствующая σ-алгебра . Брайан знает только общее количество решок. Его разбиение содержит четыре части: Ω = B ₀ ⊔ B ₁ ⊔ B ₂ ⊔ B ₃ = {HHH} ⊔ {HHT, HTH, THH} ⊔ {TTH, THT, HTT} ⊔ {TTT} ; соответственно, его σ-алгебра содержит 2 ⁴ = 16 событий. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}=\{\{\},A_{1},A_{2},\Omega \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}}$

Две σ-алгебры несравнимы : ни ни ; обе являются суб-σ-алгебрами 2 ^Ω . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}}$

Пример 3

Если 100 избирателей случайным образом выбрать из числа всех избирателей Калифорнии и спросить, за кого они будут голосовать за губернатора, то набор всех последовательностей из 100 калифорнийских избирателей будет пространством выборки Ω. Мы предполагаем, что используется выборка без замены : допускаются только последовательности из 100 разных избирателей. Для простоты рассматривается упорядоченная выборка, то есть последовательность (Алиса, Брайан) отличается от (Брайан, Алиса). Мы также считаем само собой разумеющимся, что каждый потенциальный избиратель точно знает свой будущий выбор, то есть он не делает выбор случайно.

Алисе известно только то, получил ли Арнольд Шварценеггер хотя бы 60 голосов. Ее неполная информация описывается σ-алгеброй, которая содержит: (1) множество всех последовательностей в Ω, в которых за Шварценеггера голосуют не менее 60 человек; (2) набор всех последовательностей, в которых менее 60 голосуют за Шварценеггера; (3) все выборочное пространство Ω; и (4) пустое множество ∅. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}}$

Брайан знает точное количество избирателей, которые собираются проголосовать за Шварценеггера. Его неполная информация описывается соответствующим разбиением Ω = B ₀ ⊔ B ₁ ⊔ ⋯ ⊔ B ₁₀₀ , а σ-алгебра состоит из 2 ¹⁰¹ события. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}}$

В этом случае σ-алгебра Алисы является подмножеством Брайана: . σ-алгебра Брайана, в свою очередь, является подмножеством гораздо большей «полной информационной» σ-алгебры 2 ^Ω , состоящей из 2 ^{n ( n −1)⋯( n −99)} событий, где n — число всех потенциальных избирателей в Калифорнии. . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}\subset {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}}$

Неатомарные примеры

Пример 4

Число от 0 до 1 выбирается случайно и равномерно. Здесь Ω = [0,1] — σ-алгебра борелевских множеств на Ω, а P — мера Лебега на [0,1]. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

В этом случае в качестве генераторных наборов можно взять открытые интервалы вида ( a , b ) , где 0 < a < b < 1 . Каждому такому набору можно приписать вероятность P (( a , b )) = ( b − a ) , которая порождает меру Лебега на [0,1] и борелевскую σ-алгебру на Ω.

Пример 5

Честную монету подбрасывают бесконечно. Здесь можно взять Ω = {0,1} ^∞ , множество всех бесконечных последовательностей чисел 0 и 1. Цилиндрические множества {( x ₁ , x ₂ , ...) ∈ Ω : x ₁ = a ₁ , .. ., x _n = a _n } могут использоваться в качестве генераторных наборов. Каждый такой набор описывает событие, в котором первые n бросков привели к фиксированной последовательности ( a ₁ , ..., an _n ) , а остальная часть последовательности может быть произвольной. Каждому такому событию естественным образом можно присвоить вероятность 2 ^{− n} .

Эти два неатомарных примера тесно связаны: последовательность ( x ₁ , x ₂ , ...) ∈ {0,1} ^∞ приводит к числу 2 ⁻¹ x ₁ + 2 ⁻² x ₂ + ⋯ ∈ [0 ,1] . Однако это не взаимно однозначное соответствие между {0,1} ^∞ и [0,1]: это изоморфизм по модулю нуля , который позволяет рассматривать два вероятностных пространства как две формы одного и того же вероятностного пространства. Фактически, все непатологические неатомарные вероятностные пространства в этом смысле одинаковы. Это так называемые стандартные вероятностные пространства . Основные приложения вероятностных пространств нечувствительны к стандартности. Однако недискретная обусловленность проста и естественна в стандартных вероятностных пространствах, в противном случае она становится неясной.

Связанные понятия

Распределение вероятностей

Любое распределение вероятностей определяет вероятностную меру.

Случайные переменные

Случайная величина X — это измеримая функция X : Ω → S из выборочного пространства Ω в другое измеримое пространство S , называемое пространством состояний .

Если A ⊂ S , обозначение Pr( X ∈ A ) является обычно используемым сокращением для . ${\displaystyle \Pr(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\})}$

Определение событий с точки зрения выборочного пространства

Если Ω счетна , мы почти всегда определяем как набор степеней Ω, т. е . который тривиально является σ-алгеброй и самой большой, которую мы можем создать с помощью Ω. Поэтому мы можем опустить и просто написать (Ω,P), чтобы определить вероятностное пространство. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

С другой стороны, если Ω несчетно и мы используем, у нас возникают проблемы с определением нашей вероятностной меры P , потому что она слишком «большая», т. е. часто будут существовать множества, которым невозможно будет присвоить уникальную меру. В этом случае нам нужно использовать меньшую σ-алгебру , например борелевскую алгебру Ω, которая является наименьшей σ-алгеброй, которая делает все открытые множества измеримыми. ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Условная возможность

Определение Колмогорова вероятностных пространств порождает естественное понятие условной вероятности . Каждое множество A с ненулевой вероятностью (то есть P ( A ) > 0 ) определяет другую вероятностную меру.

$${\displaystyle P(B\mid A)={P(B\cap A) \over P(A)}}$$

BA

Для любого события A такого, что P ( A ) > 0 , функция Q , определяемая формулой Q ( B ) = P ( B  |  A ) для всех событий B , сама является вероятностной мерой.

Независимость

Два события, A и B, называются независимыми , если P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) .

Две случайные величины, X и Y , называются независимыми, если любое событие, определенное через X , не зависит от любого события, определенного через Y. Формально они порождают независимые σ-алгебры, где две σ-алгебры G и H , являющиеся подмножествами F , называются независимыми, если любой элемент G не зависит от любого элемента H .

Взаимная исключительность

Два события, A и B, называются взаимоисключающими или непересекающимися , если появление одного из них подразумевает ненаступление другого, т. е. их пересечение пусто. Это более сильное условие, чем вероятность их пересечения равна нулю.

Если A и B непересекающиеся события, то P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) . Это распространяется на (конечную или счетную) последовательность событий. Однако вероятность объединения несчетного множества событий не является суммой их вероятностей. Например, если Z — нормально распределенная случайная величина, то P ( Z = x ) равно 0 для любого x , но P ( Z ∈ R ) = 1 .

Событие A ∩ B называется « A и B », а событие A ∪ B — « A или B ».

Смотрите также

• Космос (математика)
• Измерьте пространство
• Теория нечеткой меры
• Фильтрованное вероятностное пространство
• Неравенство концентрации Талагранда

Рекомендации

1. Лоев, Мишель. Теория вероятностей, Том 1. Нью-Йорк: Компания Д. Ван Ностранда, 1955.
2. Строк, Д.В. (1999). Теория вероятностей: аналитический взгляд. Издательство Кембриджского университета.

Библиография

• Пьер Симон де Лаплас (1812) Аналитическая теория вероятностей

Первый крупный трактат, сочетающий исчисление с теорией вероятностей, первоначально на французском языке: Théorie Analytique des Probabilités .

• Андрей Николаевич Колмогоров (1950) Основы теории вероятностей

Современное теоретико-мерное основание теории вероятностей; оригинальная немецкая версия ( Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung ) появилась в 1933 году.

• Гарольд Джеффрис (1939) Теория вероятности

Эмпирический, байесовский подход к основам теории вероятностей.

• Эдвард Нельсон (1987) Радикально элементарная теория вероятностей

Основы теории вероятностей, основанные на нестандартном анализе. Можно скачать. http://www.math.princeton.edu/~nelson/books.html

• Патрик Биллингсли : Вероятность и мера , Джон Уайли и сыновья, Нью-Йорк, Торонто, Лондон, 1979.
• Хенк Таймс (2004) Понимание вероятности

Живое введение в теорию вероятностей для начинающих, Cambridge Univ. Нажимать.

• Дэвид Уильямс (1991) Вероятность с мартингалами

Введение в теорию вероятности для студентов, Cambridge Univ. Нажимать.

• Гут, Аллан (2005). Вероятность: аспирантура . Спрингер. ISBN 0-387-22833-0.

Внешние ссылки

• Сазонов, В.В. (2001) [1994], «Пространство вероятностей», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Анимация, демонстрирующая вероятностное пространство игральных костей
• Виртуальные лаборатории вероятностей и статистики (основной автор Кайл Зигрист), особенно «Пространства вероятностей»
• Граждандиум
• Полное вероятностное пространство
• Вайсштейн, Эрик В. «Пространство вероятностей». Математический мир .