Полуторалинейная форма

Обобщение билинейной формы

В математике полуторалинейная форма — это обобщение билинейной формы , которая, в свою очередь, является обобщением понятия скалярного произведения евклидова пространства . Билинейная форма линейна по каждому из своих аргументов, но полуторалинейная форма позволяет «искажать» один из аргументов полулинейным образом , отсюда и название; который происходит от латинского числового префикса sesqui, что означает «полтора». Базовую концепцию скалярного произведения – получение скаляра из пары векторов – можно обобщить, разрешив более широкий диапазон скалярных значений и, возможно, одновременно расширив определение вектора.

Мотивирующим частным случаем является полуторалинейная форма в комплексном векторном пространстве V. Это отображение V × V → C , которое линейно по одному аргументу и «искажает» линейность другого аргумента посредством комплексного сопряжения (называемого антилинейным по другому аргументу). Этот случай естественным образом возникает в приложениях математической физики. Другой важный случай позволяет скалярам происходить из любого поля , а поворот обеспечивается полевым автоморфизмом .

Приложение в проективной геометрии требует, чтобы скаляры происходили из тела (тела) K , а это означает, что «векторы» должны быть заменены элементами K -модуля . В очень общем случае полуторалинейные формы могут быть определены над R -модулями для произвольных колец R .

Неофициальное знакомство

Полуторалинейные формы абстрагируют и обобщают основное понятие эрмитовой формы в комплексном векторном пространстве . Эрмитовы формы обычно рассматриваются в физике как внутренний продукт сложного гильбертова пространства . В таких случаях стандартная эрмитова форма на C ⁿ имеет вид

${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}$

где обозначает комплексно-сопряженное произведение. Это произведение можно обобщить на ситуации, когда никто не работает с ортонормированным базисом для C ⁿ или даже с каким-либо базисом вообще. Подставив в произведение дополнительный множитель , получим косоэрмитову форму , более точно определенную ниже. Нет особой причины ограничивать определение комплексными числами; его можно определить для произвольных колец, несущих антиавтоморфизм , который неформально понимается как обобщенное понятие «комплексного сопряжения» кольца. ${\displaystyle {\overline {w}}_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}~.}$ ${\displaystyle i}$

Соглашение

Существуют разные соглашения относительно того, какой аргумент должен быть линейным. В коммутативном случае первую будем считать линейной, как это принято в математической литературе, за исключением раздела, посвященного полуторалинейным формам на комплексных векторных пространствах. Здесь мы используем другое соглашение и считаем первый аргумент сопряженно-линейным (т.е. антилинейным), а второй — линейным. Это соглашение используется в основном физиками ^[1] и берет свое начало в системе обозначений скобок Дирака в квантовой механике . Это также согласуется с определением обычного (евклидова) произведения as . ${\displaystyle w,z\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle w^{*}z}$

В более общей некоммутативной ситуации с правыми модулями мы считаем второй аргумент линейным, а с левыми модулями мы считаем линейным первый аргумент.

Комплексные векторные пространства

Предположение : В этом разделе полуторалинейные формы антилинейны по первому аргументу и линейны по второму.

В комплексном векторном пространстве отображение является полуторалинейным, если ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi :V\times V\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)\\&\varphi (ax,by)={\overline {a}}b\,\varphi (x,y)\end{aligned}}}$

для всех и всех Здесь – комплексно-сопряженное скалярное значение ${\displaystyle x,y,z,w\in V}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle {\overline {a}}}$ ${\displaystyle a.}$

Сложную полуторалинейную форму также можно рассматривать как сложное билинейное отображение .

$${\displaystyle {\overline {V}}\times V\to \mathbb {C} }$$

комплексно-сопряженное векторное пространствоуниверсальному свойствупроизведений ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle V.}$

$${\displaystyle {\overline {V}}\otimes V\to \mathbb {C} .}$$

При фиксированном отображении является линейным функционалом на (т.е. элементом двойственного пространства ). Аналогично, отображение представляет собой сопряженно-линейный функционал на ${\displaystyle z\in V}$ ${\displaystyle w\mapsto \varphi (z,w)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle w\mapsto \varphi (w,z)}$ ${\displaystyle V.}$

Учитывая любую сложную полуторалинейную форму, мы можем определить вторую комплексную полуторалинейную форму с помощью сопряженного транспонирования : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w)}}.}$$

эрмитовокосоэрмитово ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Матричное представление

Если — конечномерное комплексное векторное пространство, то относительно любого базиса полуторалинейной формы представляется матрицей и задается выражением ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i}}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle A,}$

$${\displaystyle \varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}{\overline {w_{i}}}z_{j}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\dagger }Az.}$$

транспонирование ${\displaystyle w^{\dagger }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).}$

Эрмитова форма

Термин «эрмитова форма» может также относиться к другой концепции, отличной от той, которая объясняется ниже: он может относиться к определенной дифференциальной форме на эрмитовом многообразии .

Комплексная эрмитова форма (также называемая симметричной полуторалинейной формой ) — это полуторалинейная форма такая, что ${\displaystyle h:V\times V\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w)}}.}$$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

$${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}$$

скалярный продуктгильбертова пространства

Знак минус вводится в эрмитовой форме для определения группы SU(1,1) . ${\displaystyle ww^{*}-zz^{*}}$

Векторное пространство эрмитовой формы называется эрмитовым пространством . ${\displaystyle (V,h)}$

Матричное представление комплексной эрмитовой формы — это эрмитова матрица .

Сложная эрмитова форма, примененная к одному вектору

$${\displaystyle |z|_{h}=h(z,z)}$$

действительное числотогда и только тогда, когдаквадратичная форма ${\displaystyle z\in V.}$

Косоэрмитова форма

Комплексная косоэрмитова форма (также называемая антисимметричной полуторалинейной формой ) — это комплексная полуторалинейная форма такая, что ${\displaystyle s:V\times V\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle s(w,z)=-{\overline {s(z,w)}}.}$$

мнимую единицу ${\displaystyle i:={\sqrt {-1}}}$

Матричное представление комплексной косоэрмитовой формы представляет собой косоэрмитову матрицу .

Сложная косоэрмитова форма, примененная к одному вектору.

$${\displaystyle |z|_{s}=s(z,z)}$$

мнимым числом

Над разделительным кольцом

Этот раздел применяется без изменений , когда тело K коммутативно . Тогда применяется и более конкретная терминология: тело — это поле, антиавтоморфизм — также автоморфизм, а правый модуль — векторное пространство. Следующее применимо к левому модулю с подходящим переупорядочением выражений.

Определение

σ -полуторалинейная форма над правым K -модулем M — это биаддитивное отображение φ  : M × M → K с ассоциированным антиавтоморфизмом σ тела K такое, что для всех x , y в M и всех α , β в K ,

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\sigma (\alpha )\,\varphi (x,y)\,\beta .}$

Соответствующий антиавтоморфизм σ для любой ненулевой полуторалинейной формы φ однозначно определяется φ .

Ортогональность

Для полуторалинейной формы φ над модулем M и подпространства ( подмодуля ) W модуля M ортогональное дополнение W относительно φ равно

${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.}$

Аналогично, x ∈ M ортогонален y ∈ M относительно φ , записанный x ⊥ _φ y ( или просто x ⊥ y , если φ можно вывести из контекста), когда φ ( x , y ) = 0 . Это отношение не обязательно должно быть симметричным , т.е. x ⊥ y не влечет y ⊥ x (но см. § Рефлексивность ниже).

Рефлексивность

Полуторалинейная форма φ рефлексивна, если для всех x , y в M ,

${\displaystyle \varphi (x,y)=0}$подразумевает ${\displaystyle \varphi (y,x)=0.}$

То есть полуторалинейная форма является рефлексивной именно тогда, когда полученное отношение ортогональности симметрично.

Эрмитовые вариации

σ -полуторалинейная форма φ называется ( σ , ε ) -эрмитовой, если существует ε в K такое, что для всех x , y в M ,

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))\,\varepsilon .}$

Если ε = 1 , форма называется σ - эрмитовой , а если ε = −1 , то она называется σ - антиэрмитовой . (Когда подразумевается σ , соответственно просто эрмитово или антиэрмитово .)

Для ненулевой ( σ , ε ) -эрмитовой формы отсюда следует, что для всех α в K ,

${\displaystyle \sigma (\varepsilon )=\varepsilon ^{-1}}$

${\displaystyle \sigma (\sigma (\alpha ))=\varepsilon \alpha \varepsilon ^{-1}.}$

Отсюда также следует, что φ ( x , x ) является неподвижной точкой отображения α ↦ σ ( α ) ε . Неподвижные точки этого отображения образуют подгруппу аддитивной группы K .

( σ , ε ) -эрмитова форма рефлексивна, и каждая рефлексивная σ- полуторалинейная форма является ( σ , ε ) -эрмитовой для некоторого ε . ^{[2] [3] [4] [5]}

В частном случае, когда σ является тождественным отображением (т. е. σ = id ), K коммутативен, φ является билинейной формой и ε ² = 1 . Тогда при ε = 1 билинейная форма называется симметричной , а при ε = −1 — кососимметричной . ^[6]

Пример

Пусть V — трехмерное векторное пространство над ^{конечным} полем F = GF( q2 ) , где q — степень простого числа . Что касается стандартного базиса, мы можем написать x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) и y = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) и определить отображение φ следующим образом:

${\displaystyle \varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{}^{q}.}$

Отображение σ  : t ↦ t ^q является инволютивным автоморфизмом F. _ Тогда отображение φ является σ -полуторалинейной формой. Матрица Mφ _, связанная с этой формой, является единичной матрицей . Это эрмитова форма.

В проективной геометрии

Предположение : В этом разделе полуторалинейные формы антилинейны (соответственно линейны ) по своему второму (соответственно первому) аргументу.

В проективной геометрии G перестановка δ подпространств, обращающая включение, т.е.

S ⊆ T ⇒ T ^δ ⊆ S ^δ для всех подпространств S , T группы G ,

называется корреляцией . Результат Биркгофа и фон Неймана (1936) ^[7] показывает, что корреляции дезарговых проективных геометрий соответствуют невырожденным полуторалинейным формам в базовом векторном пространстве. ^[5] Полуторалинейная форма φ является невырожденной, если φ ( x , y ) = 0 для всех y в V (тогда и) только тогда, когда x = 0 .

Чтобы добиться полной общности этого утверждения, а также поскольку каждая дезаргова проективная геометрия может быть координирована телом , Рейнхольд Бэр расширил определение полуторалинейной формы до тела, что требует замены векторных пространств R -модулями . ^[8] (В геометрической литературе их до сих пор называют либо левыми, либо правыми векторными пространствами над телами.) ^[9]

Над произвольными кольцами

Специализация приведенного выше раздела на телах была следствием применения к проективной геометрии, а не свойственна природе полуторалинейных форм. Для обобщения версии определения с произвольным полем на произвольные кольца требуются лишь незначительные изменения, необходимые для учета некоммутативности умножения.

Пусть R — кольцо , V — R - модуль и σ — антиавтоморфизм R. _ _

Отображение φ  : V × V → R называется σ -полуторалинейным , если

${\displaystyle \varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)}$

${\displaystyle \varphi (cx,dy)=c\,\varphi (x,y)\,\sigma (d)}$

для всех x , y , z , w в V и всех c , d в R.

Элемент x ортогонален другому элементу y относительно полуторалинейной формы φ (записывается x ⊥ y ) , если φ ( x , y ) = 0 . Это отношение не обязательно должно быть симметричным, т.е. x ⊥ y не означает y ⊥ x .

Полуторалинейная форма φ  : V × V → R является рефлексивной (или ортосимметричной ), если из φ ( x , y ) = 0 следует φ ( y , x ) = 0 для всех x , y в V.

Полуторалинейная форма φ  : V × V → R называется эрмитовой, если существует σ такое, что ^{[10] : 325}

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))}$

для всех x , y в V. Эрмитова форма обязательно рефлексивна, и если она не равна нулю, соответствующий антиавтоморфизм σ является инволюцией (т. е. порядка 2).

Поскольку для антиавтоморфизма σ мы имеем σ ( st ) = σ ( t ) σ ( s ) для всех s , t в R , если σ = id , то R должен быть коммутативным, а φ — билинейная форма. В частности, если в данном случае R — тело, то R — поле, а V — векторное пространство билинейной формы.

Антиавтоморфизм σ  : R → R также можно рассматривать как изоморфизм R → Rop , где Rop ^— кольцо, противоположное R , которое имеет тот же основной набор и то же сложение, но чья операция умножения ( ^∗ ) определяется формулой a ∗ b = ba , где произведение справа — это произведение из R. Отсюда следует, что правый (левый) R -модуль V можно превратить в левый (правый) R ^op -модуль V ^o . ^[11] Таким образом, полуторалинейную форму φ  : V × V → R можно рассматривать как билинейную форму φ ′ : V × V ^o → R .

Смотрите также

• *-кольцо

Примечания

1. сноска 1 в книге Энтони Кнаппа «Основная алгебра» (2007), стр. 255
2. «Комбинаторика», Труды Института перспективных исследований НАТО, состоявшиеся в замке Нидженроде, Брекелен, Нидерланды, 8–20 июля 1974 г. , Д. Рейдель : 456–457, 1975 г.– [1]
3. Полуторалинейная форма в Математической энциклопедии.
4. Симеон Болл (2015), Конечная геометрия и комбинаторные приложения , Cambridge University Press , стр. 28– [2]
5. Дембовский 1968, с. 42
6. Когда char K = 2 , кососимметричная и симметричная билинейная формы совпадают, поскольку тогда 1 = −1 . Во всех случаях знакопеременные билинейные формы представляют собой подмножество кососимметричных билинейных форм и не требуют отдельного рассмотрения.
7. Биркгоф, Г.; фон Нейман, Дж. (1936), «Логика квантовой механики», Annals of Mathematics , 37 (4): 823–843, doi : 10.2307/1968621, JSTOR  1968621
8. Баер, Рейнхольд (2005) [1952], Линейная алгебра и проективная геометрия , Дувр, ISBN 978-0-486-44565-6
9. Терминология Бэра дает третий способ обозначения этих идей, поэтому его следует читать с осторожностью.
10. Фор, Клод-Ален; Фрелихер, Альфред (2000), Современная проективная геометрия , Kluwer Academic Publishers
11. Джейкобсон 2009, с. 164

Рекомендации

• Дембовский, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, МР  0233275
• Грюнберг, КВ; Вейр, AJ (1977), Линейная геометрия (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
• Джейкобсон, Натан Дж. (2009) [1985], Основная алгебра I (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47189-1

Внешние ссылки

• «Полуторалинейная форма», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]