Касательный вектор

Вектор, касательный к кривой или поверхности в данной точке

В математике касательный вектор — это вектор , касающийся кривой или поверхности в данной точке . Касательные векторы описываются в дифференциальной геометрии кривых в контексте кривых в R ⁿ . В более общем смысле, касательные векторы — это элементы касательного пространства дифференцируемого многообразия . Касательные векторы также можно описать в терминах ростков . Формально касательный вектор в точке представляет собой линейное дифференцирование алгебры, определяемой множеством ростков в точке . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Мотивация

Прежде чем перейти к общему определению касательного вектора, мы обсудим его использование в исчислении и его тензорные свойства.

Исчисление

Пусть – параметрическая гладкая кривая . Касательный вектор задается выражением «при условии, что он существует и при условии» , где мы использовали штрих вместо обычной точки, чтобы указать дифференцирование по параметру t . ^[1] Единичный касательный вектор определяется выражением ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)\neq \mathbf {0} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\,.}$$

Пример

Учитывая кривую

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left\{\left(1+t^{2},e^{2t},\cos {t}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle t=0}$

$${\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} '(0)}{\|\mathbf {r} '(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},-\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.}$$

Контравариантность

If задан параметрически в n -мерной системе координат x ⁱ (здесь мы использовали верхние индексы в качестве индекса вместо обычного нижнего индекса) с помощью или ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))}$

$${\displaystyle \mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,}$$

${\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}$

$${\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.}$$

$${\displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n}$$

u ⁱ ${\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}$

$${\displaystyle {\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}}$$

соглашение Эйнштейна о суммированииконтравариантный тензор первого порядка. ^[2]

Определение

Пусть – дифференцируемая функция и пусть – вектор из . Определим производную по направлению в точке по формуле ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.}$$

^[3] ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle \mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (\nabla _{\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.}$$

Характеристики

Пусть – дифференцируемые функции, пусть – касательные векторы в at и пусть . Затем ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle (a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)}$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)}$
3. ${\displaystyle \mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.}$

Касательный вектор на многообразиях

Пусть – дифференцируемое многообразие и пусть – алгебра вещественнозначных дифференцируемых функций на . Тогда касательный вектор к в точке многообразия задается выводом, который должен быть линейным, т. е. для любого и мы имеем ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f,g\in A(M)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.}$

Обратите внимание, что вывод по определению будет обладать свойством Лейбница.

${\displaystyle D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.}$

Смотрите также

• Дифференцируемая кривая § Касательный вектор
• Дифференцируемая поверхность § Касательная плоскость и вектор нормали

Рекомендации

1. Дж. Стюарт (2001)
2. Д. Кей (1988)
3. А. Грей (1993)

Библиография

• Грей, Альфред (1993), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Бока-Ратон: CRC Press.
• Стюарт, Джеймс (2001), Исчисление: концепции и контексты , Австралия: Томсон/Брукс/Коул.
• Кей, Дэвид (1988), Очерк теории и проблем тензорного исчисления Шаумса , Нью-Йорк: McGraw-Hill.