Спинорное расслоение

Геометрическая структура

В дифференциальной геометрии , учитывая спиновую структуру на -мерном ориентируемом римановом многообразии , спинорное расслоение определяется как комплексное векторное расслоение , ассоциированное с соответствующим главным расслоением спиновых реперов над и спиновым представлением его структурной группы в пространстве спиноров . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {S} }\colon {\mathbf {S} }\to M\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n)\,}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$

Часть спинорного расслоения называется спинорным полем . ${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$

Формальное определение

Пусть – спиновая структура на римановом многообразии , т. е. эквивариантный подъем ориентированного ортонормированного реперного расслоения относительно двойного покрытия специальной ортогональной группы спиновой группой . ${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$ ${\displaystyle \rho \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)}$

Спинорное расслоение определяется ^[1] как комплексное векторное расслоение ${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$

$${\displaystyle {\mathbf {S} }={\mathbf {P} }\times _{\kappa }\Delta _{n}\,}$$

спиновой структуройспинового представлениягруппуоператоровгильбертовом пространствеунитарным представлением^[2] ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ ${\displaystyle \kappa \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,}$ ${\displaystyle {\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,}$ ${\displaystyle {\mathbf {W} }.\,}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n).}$

Смотрите также

• Пучок Клиффорда
• Комплект модулей Клиффорда
• Пакет ортонормированных рамок
• Геометрия вращения
• Спинор
• Спинорное представление

Примечания

1. Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1стр. 53
2. Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1страницы 20 и 24

дальнейшее чтение

• Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08542-5.
• Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1

|