Группа спина

Группа Ли двойного покрытия специальной ортогональной группы

В математике группа спинов , обозначаемая Spin( n ), ^{[1] [2]} — это группа Ли , базовое многообразие которой является двойным покрытием специальной ортогональной группы SO( n ) = SO( n , R ) , такой что существует короткая точная последовательность групп Ли (когда n ≠ 2 )

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1.}$

Закон группового умножения на двойном покрытии задается путем поднятия умножения на . ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

Таким образом , как группа Ли, Spin( n ) разделяет свою размерность n ( n − 1)/2 и свою алгебру Ли со специальной ортогональной группой.

При n > 2 Spin( n ) односвязен и, таким образом, совпадает с универсальным покрытием SO ( n ) .

Нетривиальный элемент ядра обозначается −1, что не следует путать с ортогональным преобразованием отражения через начало координат , обычно обозначаемым −I .

Spin( n ) может быть построен как подгруппа обратимых элементов в алгебре Клиффорда Cl( n ). Отдельная статья обсуждает спиновые представления .

Мотивация и физическая интерпретация

Группа спинов используется в физике для описания симметрий (электрически нейтральных, незаряженных) фермионов . Ее комплексификация, Spinc, используется для описания электрически заряженных фермионов, в первую очередь электрона . Строго говоря, группа спинов описывает фермион в нульмерном пространстве; однако пространство не является нульмерным, и поэтому группа спинов используется для определения спиновых структур на (псевдо-) римановых многообразиях : группа спинов является структурной группой спинорного пучка . Аффинная связь на спинорном пучке является спиновой связью ; спиновая связь может упростить вычисления в общей теории относительности . Спиновая связь, в свою очередь, позволяет записать уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени (фактически в тетрадных координатах), что, в свою очередь, обеспечивает основу для квантовой гравитации , а также формализацию излучения Хокинга (где один из пары запутанных виртуальных фермионов падает за горизонт событий, а другой — нет).

Строительство

Построение группы Spin часто начинается с построения алгебры Клиффорда над вещественным векторным пространством V с определенной квадратичной формой q . ^[3] Алгебра Клиффорда является фактором тензорной алгебры T V пространства V по двустороннему идеалу. Тензорная алгебра (над вещественными числами) может быть записана как

${\displaystyle \mathrm {T} V=\mathbb {R} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus \cdots }$

Тогда алгебра Клиффорда Cl( V ) является фактор-алгеброй

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\mathrm {T} V/\left(v\otimes v-q(v)\right),}$

где — квадратичная форма, примененная к вектору . Полученное пространство конечномерно, естественно градуировано (как векторное пространство) и может быть записано как ${\displaystyle q(v)}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{1}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Cl} ^{n}}$

где — размерность , и . Спиновая алгебра определяется как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{0}=\mathbf {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{1}=V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {spin}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{2}={\mathfrak {spin}}(V)={\mathfrak {spin}}(n),}$

где последнее является сокращением для V, являющегося действительным векторным пространством действительной размерности n . Это алгебра Ли ; она имеет естественное действие на V , и таким образом можно показать, что она изоморфна алгебре Ли специальной ортогональной группы . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

Группа выводов является подгруппой группы Клиффорда всех элементов вида ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k},}$

где каждый имеет единичную длину: ${\displaystyle v_{i}\in V}$ ${\displaystyle q(v_{i})=1.}$

Спиновая группа тогда определяется как

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)=\operatorname {Pin} (V)\cap \operatorname {Cl} ^{\text{even}},}$

где — подпространство, порожденное элементами, которые являются произведением четного числа векторов. То есть, Spin( V ) состоит из всех элементов Pin( V ), приведенных выше, с ограничением на k, являющееся четным числом. Ограничение на четное подпространство является ключевым для формирования двухкомпонентных (вейлевских) спиноров, построенных ниже. ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\text{even}}=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \operatorname {Cl} ^{4}\oplus \cdots }$

Если набор является ортонормированным базисом (действительного) векторного пространства V , то указанное выше отношение наделяет пространство естественной антикоммутативной структурой: ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$для ${\displaystyle i\neq j,}$

что следует из рассмотрения для . Эта антикоммутация оказывается важной в физике, поскольку она отражает дух принципа исключения Паули для фермионов . Точная формулировка здесь выходит за рамки, но она включает в себя создание спинорного расслоения в пространстве-времени Минковского ; полученные спинорные поля можно рассматривать как антикоммутирующие как побочный продукт построения алгебры Клиффорда. Это свойство антикоммутации также является ключевым для формулировки суперсимметрии . Алгебра Клиффорда и группа спинов обладают многими интересными и любопытными свойствами, некоторые из которых перечислены ниже. ${\displaystyle v\otimes v}$ ${\displaystyle v=e_{i}+e_{j}}$

Геометрическое построение

Группы спинов можно построить менее явно, но без обращения к алгебрам Клиффорда. Как многообразие, является двойным покрытием . Его закон умножения можно определить путем подъема следующим образом. Назовем отображение покрытия . Тогда — множество с двумя элементами, и один из них можно выбрать без потери общности в качестве тождества. Назовем это . Затем, чтобы определить умножение в , для выберем пути, удовлетворяющие , и . Они определяют путь в определенном удовлетворяющем . Поскольку — двойное покрытие, существует единственный подъем с . Затем определим произведение как . ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle p:\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle p^{-1}(\{e\})}$ ${\displaystyle {\tilde {e}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle a,b\in \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}(0)=\gamma _{b}(0)={\tilde {e}}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}(1)=a,\gamma _{b}(1)=b}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \gamma (t)=p(\gamma _{a}(t))\cdot p(\gamma _{b}(t))}$ ${\displaystyle \gamma (0)=e}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {e}}}$ ${\displaystyle a\cdot b={\tilde {\gamma }}(1)}$

Затем можно показать, что это определение не зависит от путей , что умножение непрерывно и аксиомы группы выполняются, причем инверсия непрерывна, что создает группу Ли. ${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$

Двойное покрытие

Для квадратичного пространства V двойное покрытие SO( V ) посредством Spin( V ) может быть задано явно следующим образом. Пусть — ортонормированный базис для V . Определим антиавтоморфизм как ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \left(e_{i}e_{j}\cdots e_{k}\right)^{t}=e_{k}\cdots e_{j}e_{i}.}$

Это можно распространить на все элементы по линейности. Это антигомоморфизм, поскольку ${\displaystyle a,b\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle (ab)^{t}=b^{t}a^{t}.}$

Обратите внимание, что Pin( V ) можно определить как все элементы , для которых ${\displaystyle a\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle aa^{t}=1.}$

Теперь определим автоморфизм , который на элементах степени 1 задается формулой ${\displaystyle \alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \alpha (v)=-v,\quad v\in V,}$

и пусть обозначает , который является антиавтоморфизмом Cl( V ). При таком обозначении явное двойное покрытие — это гомоморфизм , заданный формулой ${\displaystyle a^{*}}$ ${\displaystyle \alpha (a)^{t}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)}$

${\displaystyle \rho (a)v=ava^{*},}$

где . Когда a имеет степень 1 (т.е. ), соответствует отражение относительно гиперплоскости, ортогональной к a ; это следует из антикоммутативного свойства алгебры Клиффорда. ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle a\in V}$ ${\displaystyle \rho (a)}$

Это дает двойное покрытие как O( V ), так и Pin( V ), а также SO( V ) с помощью Spin( V ), поскольку дает то же самое преобразование, что и . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

Спинорное пространство

Стоит рассмотреть, как строятся спинорное пространство и спиноры Вейля , учитывая этот формализм. Если задано вещественное векторное пространство V размерности n = 2 m четное число, его комплексификация равна . Его можно записать как прямую сумму подпространства спиноров и подпространства антиспиноров: ${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$

${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

Пространство охватывается спинорами для и комплексно-сопряженными спинорами span . Легко видеть, что спиноры антикоммутируют, и что произведение спинора и антиспинора является скаляром. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \eta _{k}=\left(e_{2k-1}-ie_{2k}\right)/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq m}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$

Спинорное пространство определяется как внешняя алгебра . (Комплексифицированная) алгебра Клиффорда действует естественным образом на этом пространстве; (комплексифицированная) группа спинов соответствует эндоморфизмам, сохраняющим длину . Существует естественная градуировка на внешней алгебре: произведение нечетного числа копий соответствует физическому понятию фермионов; четное подпространство соответствует бозонам. Представления действия группы спинов на спинорном пространстве могут быть построены относительно простым способом. ^[3] ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$ ${\displaystyle W}$

Сложный случай

Группа Spin ^C определяется точной последовательностью

${\displaystyle 1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

Это мультипликативная подгруппа комплексификации алгебры Клиффорда, и, в частности, это подгруппа, порожденная Spin( V ) и единичной окружностью в C . С другой стороны, это фактор ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C} }$

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(V)=\left(\operatorname {Spin} (V)\times S^{1}\right)/\sim }$

где эквивалентность отождествляет ( a , u ) с (− a , − u ) . ${\displaystyle \sim }$

Это имеет важные приложения в теории 4-многообразий и теории Зайберга–Виттена . В физике группа Spin подходит для описания незаряженных фермионов, в то время как группа Spin C ^{используется} для описания электрически заряженных фермионов. В этом случае симметрия U(1) является калибровочной группой электромагнетизма .

Исключительные изоморфизмы

В низких размерностях существуют изоморфизмы среди классических групп Ли, называемые исключительными изоморфизмами . Например, существуют изоморфизмы между низкоразмерными спиновыми группами и некоторыми классическими группами Ли из-за низкоразмерных изоморфизмов между корневыми системами (и соответствующих изоморфизмов диаграмм Дынкина ) различных семейств простых алгебр Ли . Записывая R для действительных чисел, C для комплексных чисел, H для кватернионов и общее понимание того, что Cl( n ) является сокращением для Cl( R ⁿ ), а Spin( n ) является сокращением для Spin( R ⁿ ) и так далее, то получаем, что ^[3]

Cl ^четный (1) = R действительные числа

Pin(1) = {+i, −i, +1, −1}

Spin(1) = O(1) = {+1, −1} ортогональная группа размерности ноль.

--

Cl ^четные (2) = C комплексные числа

Spin(2) = U(1) = SO(2) , который действует на z в R ² двойным фазовым вращением z ↦ u ² z . Соответствует абелеву . dim = 1 ${\displaystyle D_{1}}$

--

Cl ^четный ( 3) = H кватернионы

Spin(3) = Sp(1) = SU(2) , что соответствует . dim = 3 ${\displaystyle B_{1}\cong C_{1}\cong A_{1}}$

--

Cl ^четный (4) = H ⊕ H

Спин(4) = SU(2) × SU(2), что соответствует . dim = 6 ${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$

--

Cl ^четный (5)= M(2, H ) матрицы размером два на два с кватернионными коэффициентами

Spin(5) = Sp(2) , что соответствует . dim = 10 ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$

--

Cl ^четный (6)= M(4, C ) матрицы размером четыре на четыре с комплексными коэффициентами

Спин(6) = SU(4) , что соответствует . dim = 15 ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$

Имеются некоторые остатки этих изоморфизмов, оставшиеся для n = 7, 8 (см. Spin(8) для более подробной информации). Для более высоких n эти изоморфизмы полностью исчезают.

Неопределенная подпись

В неопределенной сигнатуре группа спинов Spin( p , q ) строится через алгебры Клиффорда аналогично стандартным группам спинов. Это двойное покрытие SO 0 ₍ p , q ) , связной компоненты тождества неопределенной ортогональной группы SO( p , q ) . Для p + q > 2 Spin ( p , q ) связна; для ( p , q ) = (1, 1) имеются две связные компоненты. ^{[4] : 193} Как и в определенной сигнатуре, существуют некоторые случайные изоморфизмы в низких размерностях:

Спин(1, 1) = GL(1, R )

Спин(2, 1) = SL(2, R )

Спин(3, 1) = SL(2, C )

Спин(2, 2) = SL(2, R ) × SL(2, R )

Спин(4, 1) = Сп(1, 1)

Спин(3, 2) = Сп(4, R )

Спин(5, 1) = SL(2, H )

Спин(4, 2) = SU(2, 2)

Спин(3, 3) = SL(4, R )

Спин(6, 2) = SU(2, 2, H )

Обратите внимание, что Spin( p , q ) = Spin( q , p ) .

Топологические соображения

Связные и односвязные группы Ли классифицируются по их алгебре Ли. Так, если G — связная группа Ли с простой алгеброй Ли, где G ′ — универсальное покрытие G , то существует включение

${\displaystyle \pi _{1}(G)\subset \operatorname {Z} (G'),}$

с Z( G ′) — центром G ′ . Это включение и алгебра Ли группы G полностью определяют G (обратите внимание, что это не тот случай, когда и π ₁ ( G ) полностью определяют G ; например, SL(2, R ) и PSL(2, R ) имеют одну и ту же алгебру Ли и одну и ту же фундаментальную группу Z , но не изоморфны). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Определенные сигнатуры Spin( n ) все односвязны при n  > 2, поэтому они являются универсальными покрытиями SO( n ).

В неопределенной сигнатуре Spin( p , q ) не обязательно связен, и в общем случае компонент тождества Spin ₀ ( p , q ) не является просто связным, поэтому он не является универсальным покрытием. Фундаментальную группу проще всего понять, рассмотрев максимальную компактную подгруппу SO( p , q ), которая есть SO( p ) × SO( q ), и отметив, что вместо того, чтобы быть произведением 2-кратных покрытий (следовательно, 4-кратным покрытием), Spin( p , q ) является «диагональным» 2-кратным покрытием – это 2-кратное частное 4-кратного покрытия. Явно, максимальная компактная связная подгруппа Spin( p , q ) есть

Спин( p ) × Спин( q )/{(1, 1), (−1, −1)}.

Это позволяет нам вычислить фундаментальные группы SO( p , q ), принимая p ≥ q :

${\displaystyle \pi _{1}({\mbox{SO}}(p,q))={\begin{cases}0&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\mathbb {Z} _{2}&p>2,q=0,1\\\mathbb {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbb {Z} &p>2,q=2\\\mathbb {Z} _{2}&p,q>2\\\end{cases}}}$

Таким образом, если p , q > 2, то фундаментальной группой будет Z2 _, поскольку она является двукратным фактором произведения двух универсальных накрытий.

Карты на фундаментальных группах задаются следующим образом. Для p , q > 2 это означает, что отображение π ₁ (Spin( p , q )) → π ₁ (SO( p , q )) задается как 1 ∈ Z _{2 ,} переходящее в (1, 1) ∈ Z ₂ × Z ₂ . Для p = 2, q > 2 это отображение задается как 1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z ₂ . И, наконец, для p = q = 2 (1, 0) ∈ Z × Z задается как (1,1) ∈ Z × Z , а (0, 1) задается как (1, −1) .

Фундаментальные группы SO(n)

Фундаментальные группы могут быть получены более непосредственно с использованием результатов в теории гомотопий . В частности, мы можем найти для , поскольку три наименьших имеют знакомые базовые многообразия: — это точечное многообразие, , и (показано с использованием представления ось-угол ). ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))}$ ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle SO(1)}$ ${\displaystyle SO(2)\cong S^{1}}$ ${\displaystyle SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3}}$

Доказательство использует известные результаты алгебраической топологии . ^[5]

Тот же аргумент можно использовать, чтобы показать , рассматривая расслоение , где — верхний лист двуполостного гиперболоида , который является стягиваемым , а — единичный компонент собственной группы Лоренца (собственной ортохронной группы Лоренца). ${\displaystyle \pi ({\text{SO}}(1,n)^{\uparrow })\cong \pi ({\text{SO}}(n))}$ $${\displaystyle {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }\rightarrow H^{n},}$$ ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }}$

Центр

Центр спиновых групп для n ≥ 3 (комплексных и действительных) определяется следующим образом: ^{[4] : 208}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n,\mathbf {C} ))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&n=2k+1\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k\\\end{cases}}\\\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&p{\text{ or }}q{\text{ odd}}\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

Факторные группы

Факторгруппы могут быть получены из спиновой группы путем факторизации по подгруппе центра, при этом спиновая группа будет покрывающей группой полученной факторгруппы, и обе группы будут иметь одну и ту же алгебру Ли.

Факторизация по всему центру дает минимальную такую ​​группу, проективную специальную ортогональную группу , которая не имеет центра , в то время как факторизация по {±1} дает специальную ортогональную группу – если центр равен {±1} (а именно в нечетном измерении), эти две факторгруппы совпадают. Если группа спинов односвязна (как Spin( n ) для n > 2 ), то Spin является максимальной группой в последовательности, и мы имеем последовательность из трех групп,

Спин( n ) → SO( n ) → PSO( n ),

разделение по паритету дает:

Спин(2n ) → SO(2n ) → PSO(2n ) ,

Спин(2n + 1) → SO(2n + 1) = PSO(2n + 1),

которые являются тремя компактными действительными формами (или двумя, если SO = PSO ) компактной алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).}$

Гомотопические группы накрытия и фактора связаны длинной точной последовательностью расслоения с дискретным слоем (слой является ядром) – таким образом, все гомотопические группы для k > 1 равны, но π ₀ и π ₁ могут различаться.

При n > 2 Spin( n ) односвязен ( π ₀ = π ₁ = Z ₁ тривиально), поэтому SO( n ) связен и имеет фундаментальную группу Z _{2 ,} в то время как PSO( n ) связен и имеет фундаментальную группу, равную центру Spin( n ).

В неопределенной сигнатуре покрытия и гомотопические группы сложнее – Spin( p , q ) не является односвязным, а факторизация также влияет на связные компоненты. Анализ упрощается, если рассмотреть максимальный (связный) компакт SO( p ) × SO( q ) ⊂ SO( p , q ) и компонентную группу Spin ( p , q ) .

Башня Уайтхед

Группа спинов появляется в башне Уайтхеда , закрепленной ортогональной группой :

${\displaystyle \ldots \rightarrow {\text{Fivebrane}}(n)\rightarrow {\text{String}}(n)\rightarrow {\text{Spin}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{O}}(n)}$

Башня получается путем последовательного удаления (убийства) гомотопических групп возрастающего порядка. Это делается путем построения коротких точных последовательностей, начинающихся с пространства Эйленберга–Маклейна для гомотопической группы, которая должна быть удалена. Убивая гомотопическую группу π ₃ в Spin( n ), получаем бесконечномерную струнную группу String( n ).

Дискретные подгруппы

Дискретные подгруппы спиновой группы можно понять, связав их с дискретными подгруппами специальной ортогональной группы ( группами точек вращения ).

Учитывая двойное покрытие Spin( n ) → SO( n ) , по теореме о решетке существует связь Галуа между подгруппами Spin( n ) и подгруппами SO( n ) (вращательными точечными группами): образ подгруппы Spin( n ) является вращательной точечной группой, а прообраз точечной группы является подгруппой Spin( n ), а оператор замыкания на подгруппах Spin( n ) является умножением на {±1}. Их можно назвать "бинарными точечными группами"; наиболее знакомым является 3-мерный случай, известный как бинарные полиэдральные группы .

Конкретно, каждая бинарная точечная группа является либо прообразом точечной группы (отсюда обозначение 2 G для точечной группы G ), либо является подгруппой индекса 2 прообраза точечной группы, которая отображается (изоморфно) на точечную группу; в последнем случае полная бинарная группа является абстрактной (поскольку {±1} является центральной). В качестве примера этих последних, если задана циклическая группа нечетного порядка в SO( n ), ее прообразом является циклическая группа удвоенного порядка, а подгруппа Z _{2 k +1} < Spin( n ) отображается изоморфно в Z _{2 k +1} < SO( n ) . ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times G}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2k+1}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{4k+2}\cong \mathrm {Z} _{2k+1}\times \mathrm {Z} _{2},}$

Особого внимания заслуживают две серии:

• высшие бинарные тетраэдрические группы , соответствующие 2-кратному покрытию симметрий n -симплекса ; эту группу можно также рассматривать как двойное покрытие симметрической группы , 2⋅A _n → A _n , причем знакопеременная группа является (вращательной) группой симметрии n -симплекса.
• высшие бинарные октаэдрические группы , соответствующие двукратным покрытиям гипероктаэдрической группы (симметрии гиперкуба или , что эквивалентно, его двойственного, кросс-политопа ).

Для точечных групп, которые меняют ориентацию, ситуация более сложная, поскольку имеются две группы выводов , поэтому существуют две возможные бинарные группы, соответствующие данной точечной группе.

Смотрите также

• Алгебра Клиффорда
• Анализ Клиффорда
• Спинор
• Спинорный пучок
• Спиновая структура
• Таблица групп Ли
• Аньон
• Запутанность ориентации

Связанные группы

• Группа Pin Pin( n ) – двукратное покрытие ортогональной группы , O( n )
• Метаплектическая группа Mp(2 n ) – двукратное накрытие симплектической группы Sp(2 n )
• Группа струн String(n) – следующая группа в башне Уайтхеда

Ссылки

1. Лоусон, Х. Блейн; Михельсон, Мари-Луиза (1989). Геометрия спина . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08542-5.страница 14
2. Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1страница 15
3. Юрген Йост, Риманова геометрия и геометрический анализ , (2002) Springer Verlag ISBN 3-540-42627-2 (см. главу 1.) 
4. Varadarajan, VS (2004). Суперсимметрия для математиков: введение . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0821835742. OCLC  55487352.
5. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология (PDF) . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 9780521795401. Получено 24 февраля 2023 г. .

Внешние ссылки

• Существенная размерность спиновых групп — OEIS:A280191.
• «Индекс кручения» Гротендика — OEIS:A096336.

Дальнейшее чтение

• Каруби, Макс (2008). K-Theory . Springer. стр. 210–214. ISBN 978-3-540-79889-7.