С начала 1980-х годов струйные пучки появились как краткий способ описания явлений, связанных с производными карт, особенно тех, которые связаны с вариационным исчислением . [1] Следовательно, расслоение струй теперь признано правильной областью для геометрической ковариантной теории поля , и большая работа проделана в области общерелятивистских формулировок полей с использованием этого подхода.
Джеты
Предположим, что M — m - мерное многообразие и что ( E , π, M ) — расслоение . Для p ∈ M пусть Γ(p) обозначает множество всех локальных сечений, область определения которых содержит p . Пусть это мультииндекс ( набор m неотрицательных целых чисел, не обязательно в порядке возрастания), затем определите:
Определим локальные сечения σ, η ∈ Γ(p) так, чтобы они имели одну и ту же r -струю в точке p , если
Отношение того, что два отображения имеют одну и ту же r -струю, является отношением эквивалентности . r - джет является классом эквивалентности по этому отношению, и r -джет с представителем σ обозначается . Целое число r также называется порядком струи, p — ее источник , а σ( p ) — ее цель .
Струйные коллекторы
r -е струйное многообразие π — это множество
Мы можем определить проекции π r и π r ,0, называемые исходной и целевой проекциями соответственно, следующим образом:
Если 1 ⩽ k ⩽ r , то проекция k -струи — это функция π r,k, определенная формулой
Из этого определения ясно, что π r = π o π r ,0 и что если 0 ⩽ m ⩽ k , то π r,m = π k,m o π r,k . Традиционно рассматривать π r,r как тождественное отображение на J r ( π ) и отождествлять J 0 ( π ) с E .
Система координат на E будет порождать систему координат на J r ( π ). Пусть ( U , u ) — адаптированная координатная карта на E , где u = ( x i , u α ). Индуцированная координатная карта ( U r , u r ) на J r ( π ) определяется формулой
где
и функции, известные как производные координаты :
Учитывая атлас адаптированных карт ( U , u ) на E , соответствующий набор карт ( U r , ur ) является конечномерным атласом C ∞ на J r ( π ).
Реактивные пакеты
Поскольку атлас на каждом из них определяет многообразие, тройки и все определяют расслоенные многообразия. В частности, если — расслоение, тройка определяет r -е струйное расслоение π .
Если W ⊂ M — открытое подмногообразие, то
Если p ∈ M , то слой обозначается как .
Пусть σ — локальное сечение π с областью определения W ⊂ M. r - е струйное продолжение σ — это отображение , определяемое формулой
Обратите внимание, что , so действительно является разделом. В местных координатах имеет вид
Мы идентифицируем себя с .
Алгебро-геометрическая перспектива
Приведено самостоятельно мотивированное построение пучка разделов .
Рассмотрим диагональное отображение , где гладкое многообразие является локально окольцованным пространством для каждого открытого пространства . Пусть – идеальный пучок , что то же самое – пучок гладких ростков , исчезающих для всех . Обращение факторпучка от к by есть пучок k- струй . [2]
Прямой предел последовательности инжекций, заданной каноническими включениями пучков, приводит к возникновению бесконечного струйного пучка . Заметим, что по конструкции прямого предела это фильтруемое кольцо.
Пример
Если π — тривиальное расслоение ( M × R , pr 1 , M ), то существует канонический диффеоморфизм между первым расслоением струй и T*M × R . Чтобы построить этот диффеоморфизм, для каждого σ в write .
Тогда всякий раз, когда p ∈ M
Следовательно, отображение
четко определен и явно инъективен . Запись его в координатах показывает, что это диффеоморфизм, потому что если (x i , u) — координаты на M × R , где u = id R — единичная координата, то производные координаты u i на J 1 (π) соответствуют координатам ∂i на T *M .
Аналогично, если π — тривиальное расслоение ( R × M , pr 1 , R ), то существует канонический диффеоморфизм между и R × TM .
Структура контактов
Пространство J r (π) несет в себе естественное распределение , то есть подрасслоение касательного расслоения TJ r (π)), называемое распределением Картана . Распределение Картана натянуто всеми касательными плоскостями к графикам голономных сечений; то есть сечения вида j r φ для φ — сечения π.
Аннулятор распределения Картана — это пространство дифференциальных одноформ , называемых контактными формами , на J r (π). Пространство дифференциальных одноформ на J r (π) обозначается через , а пространство контактных форм – через . Единичная форма является контактной формой при условии, что ее откат вдоль каждого продолжения равен нулю. Другими словами, является контактной формой тогда и только тогда, когда
для всех локальных сечений σ точки π над M .
Распределение Картана является основной геометрической структурой в пространствах джетов и играет важную роль в геометрической теории уравнений в частных производных . Распределения Картана совершенно неинтегрируемы. В частности, они не инволютивны . Размерность распределения Картана растет с увеличением порядка струйного пространства. Однако в пространстве бесконечных струй J ∞ распределение Картана становится инволютивным и конечномерным: его размерность совпадает с размерностью базового многообразия M .
Пример
Рассмотрим случай (E, π, M) , где E ≃ R 2 и M ≃ R . Тогда (J 1 (π), π, M) определяет первое расслоение струй и может координироваться с помощью (x, u, u 1 ) , где
для всех p ∈ M и σ в Γ p (π). Общая 1-форма на J 1 (π) принимает вид
Сечение σ в Γ p (π) имеет первое продолжение
Следовательно, (j 1 σ)*θ можно вычислить как
Это будет равно нулю для всех участков σ тогда и только тогда, когда c = 0 и a = − bσ′(x) . Следовательно, θ = b(x, u, u 1 )θ 0 обязательно должно быть кратным основной контактной форме θ 0 = du − u 1 dx . Переходя ко второму струйному пространству J 2 (π) с дополнительной координатой u 2 , такой, что
общая 1-форма имеет конструкцию
Это контактная форма тогда и только тогда, когда
откуда следует, что e = 0 и a = − bσ′(x) − cσ′′(x) . Следовательно, θ является контактной формой тогда и только тогда, когда
где θ 1 = du 1 − u 2 dx — следующая базовая контактная форма (заметим, что здесь мы отождествляем форму θ 0 с ее возвратом к J 2 (π) ).
В общем случае, если x, u ∈ R , контактная форма на J r+1 (π) может быть записана как линейная комбинация основных контактных форм
где
Подобные рассуждения приводят к полной характеристике всех контактных форм.
В локальных координатах каждую контактную одноформу на J r+1 (π) можно записать в виде линейной комбинации
с гладкими коэффициентами основных контактных форм
|Я| известен как заказ контактной формы . Заметим, что контактные формы на J r+1 (π) имеют порядок не выше r . Контактные формы дают характеристику тех локальных сечений π r+1 , которые являются продолжениями сечений π.
Пусть ψ ∈ Γ W ( π r+1 ), тогда ψ = j r+1 σ, где σ ∈ Γ W (π), тогда и только тогда, когда
Векторные поля
Общее векторное поле на общем пространстве E , координируемое , есть
Векторное поле называется горизонтальным , что означает, что все вертикальные коэффициенты равны нулю, если = 0.
Векторное поле называется вертикальным , что означает, что все горизонтальные коэффициенты обращаются в нуль, если ρ i = 0.
При фиксированном (x, u) мы определяем
имеющий координаты (x, u, ρ i , φ α ) с элементом в слое T xu E TE над ( x, u) в E , называемый касательным вектором в TE . Секция
называется векторным полем на E с
и ψ в Γ(TE) .
Струйный пучок J r (π) координируется . Для фиксированного (x, u, w) определите
имея координаты
с элементом в слое TJ r ( π) над (x, u, w) ∈ J r (π) , называемым касательным вектором в TJ r (π) . Здесь,
являются вещественными функциями на J r (π) . Секция
является векторным полем на J r (π) , и мы говорим
Уравнения в частных производных
Пусть (E, π, M) — расслоение. Уравнение в частных производных r -го порядка на π — это замкнутое вложенное подмногообразие S струйного многообразия J r (π) . Решением является локальное сечение σ ∈ Γ W (π), удовлетворяющее , для всех p в M .
Рассмотрим пример уравнения в частных производных первого порядка.
Пример
Пусть π — тривиальный расслоение ( R 2 × R , pr 1 , R 2 ) с глобальными координатами ( x 1 , x 2 , u 1 ). Тогда отображение F : J 1 (π) → R , определенное формулой
приводит к дифференциальному уравнению
который можно написать
Конкретный
имеет первое продолжение, заданное формулой
и является решением этого дифференциального уравнения, поскольку
и так для каждого p ∈ R2 .
Удлинение струи
Локальный диффеоморфизм ψ : J r ( π ) → J r ( π ) определяет контактное преобразование порядка r , если оно сохраняет контактный идеал, а это означает, что если θ - любая контактная форма на J r ( π ), то ψ*θ является также контактная форма.
Поток, порождаемый векторным полем V r на пространстве джетов J r (π), образует однопараметрическую группу контактных преобразований тогда и только тогда, когда производная Ли любой контактной формы θ сохраняет контактный идеал.
Начнем со случая первого порядка. Рассмотрим общее векторное поле V 1 на J 1 ( π ), заданное формулой
Теперь обратимся к основным контактным формам и разложим внешнюю производную функций по их координатам, чтобы получить:
Следовательно, V 1 определяет контактное преобразование тогда и только тогда, когда коэффициенты при dx i и в формуле равны нулю. Последние требования подразумевают условия контакта
Первые требования обеспечивают явные формулы для коэффициентов членов первой производной в V 1 :
где
обозначает усечение нулевого порядка полной производной D i .
Таким образом, условия контакта однозначно предписывают продолжение любой точки или контактного векторного поля. То есть, если удовлетворяет этим уравнениям, V r называется r -м продолжением V в векторное поле на J r (π) .
Эти результаты лучше всего понятны применительно к конкретному примеру. Поэтому давайте рассмотрим следующее.
Пример
Рассмотрим случай (E , π , M) , где E ≅ R2 и M ≃ R. Тогда (J 1 (π), π, E) определяет первое расслоение струй и может координироваться с помощью (x, u, u 1 ) , где
для всех p ∈ M и σ в Γ p ( π ). Контактная форма на J 1 (π) имеет вид
Рассмотрим вектор V на E , имеющий вид
Тогда первое продолжение этого векторного поля на J 1 (π) будет
Если теперь мы возьмем производную Ли контактной формы по этому продолженному векторному полю, мы получим
Следовательно, для сохранения контактного идеала потребуем
Итак, первое продолжение V в векторное поле на J 1 (π) равно
Вычислим также второе продолжение V до векторного поля на J 2 (π) . Имеем в качестве координат на J 2 (π) . Следовательно, продленный вектор имеет вид
Контактные формы
Для сохранения контактного идеала потребуем
Теперь θ не имеет зависимости от u 2 . Следовательно, из этого уравнения мы подберем формулу для ρ , которая обязательно будет тем же результатом, что мы нашли для V 1 . Поэтому задача аналогична продолжению векторного поля V 1 до J 2 (π). Другими словами, мы можем сгенерировать r -е продолжение векторного поля, рекурсивно применяя производную Ли контактных форм по отношению к продолженным векторным полям r раз. Итак, у нас есть
и так
Поэтому производная Ли второй контактной формы по V 2 равна
Следовательно, для сохранения контактного идеала нам потребуется
Итак, второе продолжение V в векторное поле на J 2 (π) равно
Обратите внимание, что первое продолжение V можно восстановить, опуская члены второй производной в V 2 или проецируя обратно на J 1 (π) .
Бесконечные реактивные пространства
Обратный предел последовательности проекций порождает бесконечное пространство джетов J ∞ (π) . Точка — это класс эквивалентности сечений π, которые имеют ту же k -струю в p , что и σ, для всех значений k . Естественная проекция π∞ отображается в p .
Если просто рассуждать в терминах координат, J ∞ (π) кажется бесконечномерным геометрическим объектом. Фактически, самый простой способ введения дифференцируемой структуры на J ∞ (π) , не полагаясь на дифференцируемые карты, дается дифференциальным исчислением над коммутативными алгебрами . Двойственной последовательности проекций многообразий является последовательность инъекций коммутативных алгебр. Обозначим просто через . Возьмем теперь прямой предел ' s . Это будет коммутативная алгебра, которую можно считать алгеброй гладких функций над геометрическим объектом J ∞ (π) . Заметим, что , рожденная как прямой предел, несет в себе дополнительную структуру: это фильтрованная коммутативная алгебра.
Грубо говоря, конкретный элемент всегда будет принадлежать некоторому , поэтому он является гладкой функцией на конечномерном многообразии J k (π) в обычном смысле.
Бесконечно продолжительные PDE
Для системы УЧП E ⊆ J k (π) k -го порядка совокупность I(E) исчезающих на E гладких функций на J ∞ (π) является идеалом в алгебре , а значит, и в прямом пределе .
Улучшите I(E) , добавив все возможные композиции полных производных , примененных ко всем его элементам. Таким образом, мы получаем новый идеал I , который теперь замкнут относительно операции взятия полной производной. Подмногообразие E (∞) в J ∞ (π), вырезанное I , называется бесконечным продолжением E .
Геометрически E (∞) — это многообразие формальных решений E . Легко видеть, что точка E (∞) представлена сечением σ, график k -джета которого касается E в точке сколь угодно высоким порядком касания.
Аналитически, если E задается формулой φ = 0, формальное решение можно понимать как набор коэффициентов Тейлора сечения σ в точке p , которые обращают в нуль ряд Тейлора в точке p .
Самое главное, что свойства замыкания I подразумевают, что E (∞) касается контактной структуры бесконечного порядка на J ∞ (π) , так что, ограничиваясь E (∞) , можно получить диффиити и можно изучить связанное Виноградова (С-спектральная) последовательность .
Примечание
В этой статье определены струи локальных сечений расслоения, но можно определить струи функций f: M → N , где M и N — многообразия; тогда струя f просто соответствует струе сечения
гр ж : М → М × N
gr f (p) = (p, f(p))
( gr f известен как график функции f ) тривиального расслоения ( M × N , π 1 , M ). Однако это ограничение не упрощает теорию, поскольку из глобальной тривиальности π не следует глобальная тривиальность π 1 .
^ Крупка, Деметра (2015). Введение в глобальную вариационную геометрию. Атлантис Пресс. ISBN 978-94-6239-073-7.
↑ Вакил, Рави (25 августа 1998 г.). «Руководство для начинающих по струйным пучкам с точки зрения алгебраической геометрии» (PDF) . Проверено 25 июня 2017 г.
дальнейшее чтение
Эресманн, К., «Введение в теорию бесконечно малых структур и псевдогрупп лжи». Геометрия Дифференциелла, коллок. Интер. дю Центр Нац. de la Recherche Scientifique, Страсбург, 1953, 97–127.
Коларж И., Михор П., Словак Й. Естественные операции в дифференциальной геометрии. Springer-Verlag: Берлин, Гейдельберг, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .
Сондерс, ди-джей, «Геометрия пучков струй», Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
Красильщик И.С., Виноградов А.М. [и др.], "Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики", Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1999, ISBN 0-8218-0958-X .