Инъективная функция

Функция, сохраняющая различимость

В математике инъективная функция (также известная как инъекция или функция «один к одному» ^[1] ) — это функция f , которая отображает отдельные элементы своей области определения в отдельные элементы; то есть x ₁ ≠ x ₂ подразумевает f ( x ₁ ) ≠ f ( x ₂ ) . (Эквивалентно, f ( x ₁ ) = f ( x ₂ ) подразумевает x ₁ = x ₂ в эквивалентном контрапозитивном утверждении.) Другими словами, каждый элемент кодомена функции является образом не более чем одного элемента ее области определения . ^[2] Термин « функция один к одному» не следует путать с соответствием «один к одному» , которое относится к биективным функциям , которые представляют собой функции, в которых каждый элемент в кодомене является образом ровно одного элемента в области.

Гомоморфизм между алгебраическими структурами — это функция, совместимая с операциями структур. Для всех общих алгебраических структур и, в частности, для векторных пространств , инъективный гомоморфизм также называется мономорфизмом . Однако в более общем контексте теории категорий определение мономорфизма отличается от определения инъективного гомоморфизма. ^[3] Таким образом, это теорема о том, что они эквивалентны для алгебраических структур; более подробную информацию см. в разделе Гомоморфизм § Мономорфизм .

Функцию , которая не является инъективной, иногда называют «многие к одному». ^[2] ${\displaystyle f}$

Определение

Инъективная функция, которая также не является сюръективной.

Позвольте быть функцией, областью определения которой является множество. Функция называется инъективной при условии, что для всех и в if then ; то есть подразумевает Эквивалентно, если тогда в противоположном утверждении. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(a)=f(b),}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle a=b.}$ ${\displaystyle a\neq b,}$ ${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$

Символически,

$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,}$$

,^4]

$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).}$$

Примеры

За наглядными примерами читатели перенаправляются в раздел галереи.

• Для любого множества и любого подмножества карта включения ( которая отправляет любой элемент самому себе) инъективна. В частности, тождественная функция всегда инъективна (и фактически биективна). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle X\to X}$
• Если областью определения функции является пустое множество , то функция является пустой функцией , которая является инъективной.
• Если область определения функции имеет один элемент (то есть это одноэлементное множество ), то функция всегда инъективна.
• Функция , определенная как, является инъективной. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=2x+1}$
• Функция , определенная не является инъективной, потому что (например) Однако, если она переопределена так, что ее областью определения являются неотрицательные действительные числа [0, +∞), то она инъективна. ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle g(1)=1=g(-1).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$
• Показательная функция , определенная как, является инъективной (но не сюръективной, поскольку никакое действительное значение не отображается в отрицательное число). ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$
• Функция натурального логарифма , определяемая как, является инъективной. ${\displaystyle \ln :(0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \ln x}$
• Функция , определенная не является инъективной, поскольку, например, ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=x^{n}-x}$ ${\displaystyle g(0)=g(1)=0.}$

В более общем смысле, когда и являются действительными линиями , тогда инъективной функцией называется такая функция, график которой никогда не пересекается какой-либо горизонтальной линией более одного раза. Этот принцип называется тестом горизонтальной линии . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Инъекции можно отменить

Функции с левыми обратными всегда являются инъекциями. То есть, если существует такая функция, что для каждого , то является инъективной. В этом случае называется ретракцией . И наоборот, называется отрезком . ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle g:Y\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

И наоборот, каждая инъекция с непустой областью определения имеет левую обратную . Его можно определить, выбрав элемент в области и установив уникальный элемент прообраза (если он непустой) или (в противном случае). ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g(y)}$ ${\displaystyle f^{-1}[y]}$ ${\displaystyle a}$

Левая обратная не обязательно является инверсией , потому что композиция в другом порядке может отличаться от тождества. Другими словами, инъективная функция может быть «обратна» левой обратной, но не обязательно обратима , что требует, чтобы функция биективна. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f\circ g,}$ ${\displaystyle Y.}$

Инъекции могут быть обратимыми.

Фактически, чтобы превратить инъективную функцию в биективную (следовательно, обратимую) функцию, достаточно заменить ее кодомен на ее фактический диапазон . То есть пусть такое, что для всех ; тогда является биективным. Действительно, можно учесть, откуда находится функция включения в ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J=f(X).}$ ${\displaystyle g:X\to J}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}\circ g,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Y.}$

В более общем смысле инъективные частичные функции называются частичными биекциями .

Другие объекты недвижимости

Композиция двух инъективных функций инъективна.

• Если и оба инъективны, то инъективно. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$
• Если инъективно, то инъективно (но не обязательно). ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle f:X\to Y}$является инъективным тогда и только тогда, когда для любых функций всякий раз, когда то. Другими словами, инъективные функции - это в точности мономорфизмы в категории Множество множеств. ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle h:W\to X}$ ${\displaystyle f\circ g=f\circ h,}$ ${\displaystyle g=h.}$
• Если инъективно и является подмножеством , то Таким образом, можно восстановить по его образу ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$
• Если инъективно и и оба являются подмножествами, то ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).}$
• Любая функция может быть разложена как на подходящую инъекцию, так и на сюръекцию . Это разложение уникально с точностью до изоморфизма и может рассматриваться как функция включения области значений как подмножества кодомена ${\displaystyle h:W\to Y}$ ${\displaystyle h=f\circ g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h(W)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h.}$
• Если — инъективная функция, то имеет по крайней мере столько же элементов, сколько и в смысле кардинальных чисел . В частности, если к тому же имеется инъекция от и имеют одинаковый кардинальный номер. (Это известно как теорема Кантора–Бернштейна–Шредера .) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Если оба и конечны с одинаковым числом элементов, то он инъективен тогда и только тогда, когда сюръективен (в этом случае биективен). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• Инъективная функция, которая является гомоморфизмом между двумя алгебраическими структурами, является вложением .
• В отличие от сюръективности, которая представляет собой связь между графиком функции и ее кодоменом, инъективность является свойством только графика функции; то есть, является ли функция инъективной, можно решить, только рассматривая график (а не кодовую область) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$

Доказательство инъективности функций

Доказательство инъективности функции зависит от того, как она представлена ​​и какими свойствами она обладает. Для функций, которые задаются некоторой формулой, существует основная идея. Мы используем определение инъективности, а именно, что если тогда ^[6] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y),}$ ${\displaystyle x=y.}$

Вот пример:

$${\displaystyle f(x)=2x+3}$$

Доказательство: Пусть Предположим Итак , следует , что подразумевает . Следовательно, из определения следует, что оно является инъективным. ${\displaystyle f:X\to Y.}$ ${\displaystyle f(x)=f(y).}$ ${\displaystyle 2x+3=2y+3}$ ${\displaystyle 2x=2y,}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle f}$

Существует множество других методов доказательства инъективности функции. Например, в исчислении, если это дифференцируемая функция, определенная на некотором интервале, то достаточно показать, что производная всегда положительна или всегда отрицательна на этом интервале. В линейной алгебре, если — линейное преобразование, достаточно показать, что ядро ​​содержит только нулевой вектор. Если функция с конечной областью определения, то достаточно просмотреть список изображений каждого элемента области определения и убедиться, что ни одно изображение не встречается в списке дважды. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Графическим подходом к действительной функции действительной переменной является тест горизонтальной линии . Если каждая горизонтальная прямая пересекает кривую не более чем в одной точке, то она инъективна или взаимно однозначна. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$

Галерея

• 
  Инъективная несюръективная функция (инъекция, а не биекция )
• 
  Инъективная сюръективная функция (биекция)
• 
  Неинъективная сюръективная функция (сюръекция, а не биекция)
• 
  Неинъективная несюръективная функция (также не биекция)

• 
  Не инъективная функция. Здесь и являются подмножествами и являются подмножествами : для двух регионов, где функция не является инъективной, поскольку более одного элемента домена могут сопоставляться с одним элементом диапазона. То есть, несколько входов могут сопоставляться с одним и тем же входом . ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$
• 
  Делаем функции инъективными. Предыдущую функцию можно свести к одной или нескольким инъективным функциям (скажем) и показать сплошными кривыми (части исходной кривой с длинным штрихом больше не отображаются). Обратите внимание, что правило не изменилось — только домен и диапазон. и являются подмножествами и являются подмножествами : для двух областей, где исходную функцию можно сделать инъективной, чтобы один элемент домена мог сопоставляться с одним элементом диапазона. То есть только один в картах к одному в ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X_{1}\to Y_{1}}$ ${\displaystyle f:X_{2}\to Y_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$
• 
  Инъективные функции. Диаграмматическая интерпретация в декартовой плоскости , определяемая отображением , где область определения функции , диапазон функции и обозначает образ Каждый в отображает ровно один уникальный в. Обведенные части осей представляют наборы областей и диапазонов - в соответствии со стандартом диаграммы выше ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle y=f(x),}$ ${\displaystyle X=}$ ${\displaystyle Y=}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$

Смотрите также

• Биекция, инъекция и сюръекция  - Свойства математических функций
• Инъективное метрическое пространство  - Тип метрического пространства
• Монотонная функция  - математическая функция, сохраняющая порядок.
• Одновалентная функция  – математическое понятиеPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. Иногда функция «один-один» в индийском математическом образовании. «Глава 1: Отношения и функции» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 26 декабря 2023 г. - через NCERT.
2. «Инъективное, сюръективное и биективное». Математика — это весело . Проверено 7 декабря 2019 г.
3. «Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные карты предпучков». Проект Стеки . Проверено 7 декабря 2019 г.
4. Фарлоу, С. Дж. «Раздел 4.2 Инъекции, сюръекции и биекции» (PDF) . Математика и статистика — Университет штата Мэн . Архивировано из оригинала (PDF) 7 декабря 2019 г. Проверено 6 декабря 2019 г.
5. В отличие от соответствующего утверждения о том, что каждая сюръективная функция имеет правую обратную, это не требует аксиомы выбора , поскольку существование подразумевается непустотой области. Однако это утверждение может оказаться ошибочным в менее традиционной математике, такой как конструктивная математика . В конструктивной математике включение набора из двух элементов в действительные числа не может иметь левую инверсию, поскольку это нарушило бы неразложимость , приводя к ретракции действительной линии к множеству {0,1}. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{0,1\}\to \mathbb {R} }$
6. Уильямс, Питер (21 августа 1996 г.). «Взаимодоказательство функций». Страница справочных примечаний кафедры математики CSU в Сан-Бернардино . Архивировано из оригинала 4 июня 2017 года.

Рекомендации

• Бартл, Роберт Г. (1976), Элементы реального анализа (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05464-1, п. 17 и далее .
• Халмос, Пол Р. (1974), Наивная теория множеств , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-90092-6, п. 38 и далее .

Внешние ссылки

• Самое раннее использование некоторых слов математики: статья «Инъекция», «Сюръекция» и «Биекция» содержит историю инъекции и связанных с ней терминов.
• Академия Хана - Сюръективные (онто) и инъективные (однозначные) функции: введение в сюръективные и инъективные функции.