Интеграл объема

В математике (особенно в многомерном исчислении ) объемный интеграл (∭) — это интеграл по трехмерной области; то есть это частный случай кратных интегралов . Объемные интегралы особенно важны в физике для многих приложений, например, для расчета плотности потока или для расчета массы из соответствующей функции плотности.

В координатах

Он также может означать тройной интеграл в области функции и обычно записывается как: $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ $f(x,y,z),$ $\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$

Интеграл объема в цилиндрических координатах равен , а интеграл объема в сферических координатах (используя соглашение ISO для углов с азимутом и измеренных от полярной оси (см. подробнее об соглашениях )) имеет вид $\iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,$ $\varphi$ $\theta$ $\iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$

Пример

Интегрирование уравнения по единичному кубу дает следующий результат: $f(x,y,z)=1$ $\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1$

Итак, объем единичного куба равен 1, как и ожидалось. Однако это довольно тривиально, а интеграл объема гораздо более мощный. Например, если у нас есть скалярная функция плотности на единичном кубе, то интеграл объема даст общую массу куба. Например, для функции плотности: общая масса куба равна: ${\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}$ $\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}$

Смотрите также

Внешние ссылки

«Кратный интеграл», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Объемный интеграл». Математический мир .