Элемент объема

В математике элемент объема предоставляет средства для интегрирования функции относительно объема в различных системах координат, таких как сферические координаты и цилиндрические координаты . Таким образом, элемент объема является выражением формы

${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$

где - координаты, так что объем любого набора можно вычислить по формуле ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$

Например, в сферических координатах и ​​т.д. ${\displaystyle \mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$ ${\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}$

Понятие элемента объема не ограничивается тремя измерениями: в двух измерениях его часто называют элементом площади , и в этом случае он полезен для вычисления поверхностных интегралов . При изменении координат элемент объема изменяется на абсолютное значение определителя Якобиана преобразования координат (по формуле замены переменных ). Этот факт позволяет определить элементы объема как своего рода меру на многообразии . На ориентируемом дифференцируемом многообразии элемент объема обычно возникает из формы объема : дифференциальной формы высшей степени . На неориентируемом многообразии элементом объема обычно является абсолютное значение (локально определенной) формы объема: он определяет 1-плотность .

Элемент объема в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве элемент объема задается произведением дифференциалов декартовых координат.

${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$

В разных системах координат вида , , , элемент объема изменяется на якобиан (определитель) изменения координат: ${\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}$ ${\displaystyle y=y(u_{1},u_{2},u_{3})}$ ${\displaystyle z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}$

${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$

Например, в сферических координатах (математическое соглашение)

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}$

определитель Якобиана

${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }$

так что

${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .}$

Это можно рассматривать как частный случай того факта, что дифференциальные формы преобразуются посредством обратного движения как ${\displaystyle F^{*}}$

${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$

Элемент объема линейного подпространства

Рассмотрим линейное подпространство n -мерного евклидова пространства Rn , ^{натянутое} на набор линейно независимых векторов

${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}$

Чтобы найти элемент объема подпространства, полезно знать факт из линейной алгебры, что объем параллелепипеда, натянутого на , равен квадратному корню из определителя матрицы Грама : ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}$

Любая точка p в подпространстве может иметь такие координаты, что ${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})}$

${\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$

Если в точке p сформировать небольшой параллелепипед со сторонами , то объем этого параллелепипеда равен квадратному корню из определителя матрицы Грамма. ${\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}$

${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.}$

Таким образом, это определяет форму объема в линейном подпространстве.

Объемный элемент коллекторов

На ориентированном римановом многообразии размерности n элемент объема представляет собой форму объема, равную двойственной по Ходжу функции единичной постоянной : ${\displaystyle f(x)=1}$

${\displaystyle \omega =\star 1.}$

Эквивалентно, элементом объема является именно тензор Леви-Чивита . ^[1] В координатах ${\displaystyle \epsilon }$

$${\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$

определительтензора g ${\displaystyle \det g}$

Элемент площади поверхности

Простой пример элемента объема можно изучить, рассмотрев двумерную поверхность, встроенную в n -мерное евклидово пространство . Такой элемент объема иногда называют элементом площади . Рассмотрим подмножество и отображающую функцию ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

таким образом определяя поверхность, встроенную в . В двух измерениях объем — это просто площадь, а элемент объема позволяет определить площадь частей поверхности. Таким образом, элемент объема является выражением формы ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}}$

позволяющее вычислить площадь множества B , лежащего на поверхности, путем вычисления интеграла

${\displaystyle \operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}.}$

Здесь мы найдем на поверхности элемент объема, определяющий площадь в обычном понимании. Матрица Якоби отображения равна

${\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}$

с индексом i от 1 до n и j от 1 до 2. Евклидова метрика в n -мерном пространстве порождает метрику на множестве U с матричными элементами ${\displaystyle g=\lambda ^{T}\lambda }$

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}$

Определитель метрики определяется выражением

${\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )}$

Для регулярной поверхности этот определитель не равен нулю; эквивалентно, матрица Якобиана имеет ранг 2.

Теперь рассмотрим замену координат на U , заданную диффеоморфизмом

${\displaystyle f\colon U\to U,}$

так что координаты заданы через . Матрица Якоби этого преобразования имеет вид ${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$ ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ ${\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}$

${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}$

В новых координатах имеем

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}$

и поэтому метрика преобразуется как

${\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}$

где – метрика отката в системе координат v . Определитель ${\displaystyle {\tilde {g}}}$

${\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.}$

Учитывая приведенную выше конструкцию, теперь должно быть несложно понять, почему элемент объема инвариантен при изменении координат, сохраняющем ориентацию.

В двух измерениях объём — это просто площадь. Площадь подмножества определяется интегралом ${\displaystyle B\subset U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}}$

Таким образом, в любой системе координат элемент объема принимает одно и то же выражение: выражение элемента объема инвариантно при изменении координат.

Обратите внимание, что в приведенной выше презентации не было ничего особенного в отношении двух измерений; вышеизложенное тривиально обобщается на произвольные размеры.

Пример: Сфера

Например, рассмотрим сферу радиуса r с центром в начале координат в R ³ . Это можно параметризовать с помощью сферических координат с картой.

${\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).}$

Затем

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},}$

и элемент площади

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}.}$

Смотрите также

• Цилиндрическая система координат § Линейные и объемные элементы
• Сферическая система координат § Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах
• Поверхностный интеграл
• Интеграл объема

Рекомендации

• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xii+510, ISBN. 978-3-540-15279-8

1. Кэрролл, Шон. Пространство-время и геометрия . Аддисон Уэсли, 2004, с. 90