символы Кристоффеля

Массив чисел, описывающих метрическую связь

В математике и физике символы Кристоффеля представляют собой массив чисел, описывающих метрическую связь . ^[1] Метрическая связь является специализацией аффинной связи с поверхностями или другими многообразиями, наделенными метрикой , что позволяет измерять расстояния на этой поверхности. В дифференциальной геометрии аффинная связь может быть определена без ссылки на метрику, и далее следуют многие дополнительные концепции: параллельный перенос , ковариантные производные , геодезические и т. д. также не требуют концепции метрики. ^{[2] [3]} Однако, когда метрика доступна, эти концепции могут быть напрямую связаны с «формой» самого многообразия; эта форма определяется тем, как касательное пространство прикреплено к кокасательному пространству метрическим тензором . ^[4] Абстрактно можно сказать, что многообразие имеет связанное ( ортонормальное ) расслоение фреймов , причем каждый « фрейм » является возможным выбором координатной системы . Инвариантная метрика подразумевает, что структурная группа расслоения фреймов является ортогональной группой O( p , q ) . В результате такое многообразие обязательно является ( псевдо- ) римановым многообразием . ^{[5] [6]} Символы Кристоффеля обеспечивают конкретное представление связи (псевдо-) римановой геометрии в терминах координат на многообразии. Дополнительные концепции, такие как параллельный перенос, геодезические и т. д., затем могут быть выражены в терминах символов Кристоффеля.

В общем случае существует бесконечное число метрических связей для данного метрического тензора ; однако, существует единственная связь, которая свободна от кручения , связь Леви-Чивиты . В физике и общей теории относительности принято работать почти исключительно со связью Леви-Чивиты, работая в системах координат (называемых голономными координатами ), где кручение исчезает. Например, в евклидовых пространствах символы Кристоффеля описывают, как локальные базы координат изменяются от точки к точке.

В каждой точке базового n -мерного многообразия для любой локальной системы координат вокруг этой точки символы Кристоффеля обозначаются Γ ⁱ _jk для i , j , k = 1, 2, ..., n . Каждый элемент этого массива n × n × n является действительным числом . При линейных преобразованиях координат на многообразии символы Кристоффеля преобразуются подобно компонентам тензора , но при общих преобразованиях координат ( диффеоморфизмах ) они этого не делают. Большинство алгебраических свойств символов Кристоффеля вытекают из их связи с аффинной связностью; только некоторые вытекают из того факта, что структурная группа является ортогональной группой O( m , n ) (или группой Лоренца O(3, 1) для общей теории относительности).

Символы Кристоффеля используются для выполнения практических вычислений. Например, тензор кривизны Римана может быть полностью выражен в терминах символов Кристоффеля и их первых частных производных . В общей теории относительности связь играет роль гравитационного силового поля с соответствующим гравитационным потенциалом , являющимся метрическим тензором. Когда система координат и метрический тензор разделяют некоторую симметрию, многие из Γ ⁱ _jk равны нулю .

Символы Кристоффеля названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829–1900). ^[7]

Примечание

Определения, приведенные ниже, действительны как для римановых многообразий , так и для псевдоримановых многообразий , таких как многообразия общей теории относительности , с тщательным различием между верхними и нижними индексами ( контравариантными и ковариантными индексами). Формулы справедливы для любого соглашения о знаках , если не указано иное.

В этой статье используется соглашение Эйнштейна о суммировании , при этом векторы выделены жирным шрифтом. Коэффициенты связности Леви -Чивиты (или псевдоримановой связности), выраженные в координатном базисе, называются символами Кристоффеля .

Предварительные определения

При наличии многообразия атлас состоит из набора диаграмм для каждого открытого покрытия . Такие диаграммы позволяют стандартному векторному базису на быть возвращенным к векторному базису на касательном пространстве . Это делается следующим образом. При наличии некоторой произвольной действительной функции диаграмма позволяет определить градиент : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \partial _{i}f\equiv {\frac {\partial \left(f\circ \varphi ^{-1}\right)}{\partial x^{i}}}\quad {\mbox{for }}i=1,\,2,\,\dots ,\,n}$

Этот градиент обычно называют откатом, потому что он «оттягивает» градиент на к градиенту на . Откат не зависит от графика . Таким образом, стандартный векторный базис на оттягивается к стандартному («координатному») векторному базису на . Это называется «координатным базисом», потому что он явно зависит от координат на . Иногда его называют «локальным базисом». ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\partial _{1},\cdots ,\partial _{n})}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Это определение допускает распространенное злоупотребление обозначением . Были определены как находящиеся во взаимно-однозначном соответствии с базисными векторами на . Обозначение служит напоминанием о том, что базисные векторы на касательном пространстве произошли от градиентной конструкции. Несмотря на это, обычно «забывают» эту конструкцию и просто пишут (или, скорее, определяют) векторы на , такие что . Полный спектр обычно используемых обозначений включает использование стрелок и жирного шрифта для обозначения векторов: ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle e_{i}\equiv \partial _{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\equiv e_{i}\equiv {\vec {e}}_{i}\equiv \mathbf {e} _{i}\equiv {\boldsymbol {\partial }}_{i}}$

где используется как напоминание о том, что они определены как эквивалентные обозначения для одного и того же понятия. Выбор обозначения зависит от стиля и вкуса и варьируется от текста к тексту. ${\displaystyle \equiv }$

Координатный базис обеспечивает векторный базис для векторных полей на . Обычно используемая нотация для векторных полей на включает ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle X={\vec {X}}=X^{i}\partial _{i}=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

Заглавные буквы без векторной стрелки особенно популярны для записи без индекса , поскольку они одновременно минимизируют беспорядок и напоминают, что результаты не зависят от выбранной основы и, в данном случае, не зависят от атласа. ${\displaystyle X}$

Такое же злоупотребление обозначениями используется для перемещения вперед одноформ от до . Это делается путем записи или или . Одноформа тогда будет . Это спаивается с базисными векторами как . Обратите внимание на тщательное использование верхних и нижних индексов, чтобы различать контравариантные и ковариантные векторы. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$ ${\displaystyle x=\varphi }$ ${\displaystyle x^{i}=\varphi ^{i}}$ ${\displaystyle dx^{i}=d\varphi ^{i}}$ ${\displaystyle dx^{i}(\partial _{j})=\delta _{j}^{i}}$

Обратный пул индуцирует (определяет) метрический тензор на . Обычно используются несколько стилей обозначений: где и центральная точка, и угловая скобка обозначают скалярное произведение . Последняя форма использует тензор , который понимается как метрический тензор «плоского пространства». Для римановых многообразий это дельта Кронекера . Для псевдоримановых многообразий это диагональная матрица с сигнатурой . Обозначение служит напоминанием о том, что пул на самом деле является линейным преобразованием, заданным как градиент, выше. Буквы индекса находятся в , а буквы индекса находятся в касательном многообразии. ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\langle {\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{j}\rangle =e_{i}^{a}e_{j}^{b}\,\eta _{ab}}$$ ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ ${\displaystyle \eta _{ab}}$ ${\displaystyle \eta _{ab}=\delta _{ab}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle e_{i}^{a}}$ ${\displaystyle a,b,c,\cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle i,j,k,\cdots }$

Обратная матрица метрического тензора определяется как: Она используется для определения двойственного базиса: ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ $${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathbf {e} _{j}g^{ji},\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n}$$

Некоторые тексты пишут для , так что метрический тензор принимает особенно привлекательную форму . Это обычно делается для того, чтобы символ можно было использовать однозначно для vierbein . ${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Определение в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве можно доказать, что приведенное ниже общее определение символов Кристоффеля второго рода эквивалентно следующему: $${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^{k}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot g^{km}\mathbf {e} _{m}}$$

Символы Кристоффеля первого рода можно найти путем понижения индекса : $${\displaystyle \Gamma _{kij}={\Gamma ^{m}}_{ij}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^{m}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}}$$

Переставляя, видим, что (предполагая, что частная производная принадлежит касательному пространству, что не может иметь место в неевклидовом искривленном пространстве): $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}=\Gamma _{kij}\mathbf {e} ^{k}}$$

На словах массивы, представленные символами Кристоффеля, отслеживают, как базис изменяется от точки к точке. Если производная не лежит в касательном пространстве, правильным выражением является проекция производной на касательное пространство (см. ковариантную производную ниже). Символы второго рода разлагают изменение относительно базиса, тогда как символы первого рода разлагают его относительно дуального базиса. В этой форме легко увидеть симметрию нижних или последних двух индексов: и из определения и того факта, что частные производные коммутируют (при условии, что многообразие и система координат ведут себя хорошо ). $${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}}$$ ${\displaystyle \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji},}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Те же числовые значения для символов Кристоффеля второго рода относятся и к производным двойственного базиса, как видно из выражения: которое мы можем переписать как: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}=-{\Gamma ^{i}}_{jk}\mathbf {e} ^{k},}$$ $${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}=-{\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}.}$$

Общее определение

Символы Кристоффеля существуют в двух формах: первого рода и второго рода. Определение второго рода более базовое, поэтому представлено первым.

Символы Кристоффеля второго рода (симметричное определение)

Символы Кристоффеля второго рода являются коэффициентами связи — в координатном базисе — связи Леви-Чивиты . Другими словами, символы Кристоффеля второго рода ^{[8] [9]} Γ ^k _ij (иногда Γ^к
_ijили {^к
_ij} ) ^{[7] [8]} определяются как уникальные коэффициенты, такие что где ∇ _i — связность Леви-Чивиты на M, взятая в координатном направлении e _i (т. е. ∇ _i ≡ ∇ _{e i} ), и где e _i = ∂ _i — локальный координатный ( голономный ) базис . Поскольку эта связность имеет нулевое кручение , а голономные векторные поля коммутируют (т. е.), мы имеем Следовательно, в этом базисе коэффициенты связности симметричны: ^[8] По этой причине связность без кручения часто называют симметричной . $${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathrm {e} _{k},}$$ ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0}$ $${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}=\nabla _{j}\mathrm {e} _{i}.}$$ $${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}.}$$

Символы Кристоффеля можно вывести из равенства нулю ковариантной производной метрического тензора g _ik : $${\displaystyle 0=\nabla _{l}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-2g_{m(k}{\Gamma ^{m}}_{i)l}.}$$

В качестве сокращенной записи символ набла и символы частичной производной часто опускаются, и вместо этого используются точка с запятой и запятая для выделения индекса, который используется для производной. Таким образом, вышеприведенное иногда записывается как $${\displaystyle 0=\,g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$$

Используя тот факт, что символы симметричны по двум нижним индексам, можно явно решить уравнение для символов Кристоффеля как функции метрического тензора, переставляя индексы и суммируя: ^[10] $${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right),}$$

где ( g ^jk ) — обратная матрица ( g jk ₎ , определяемая как (с использованием дельта Кронекера и обозначений Эйнштейна для суммирования) g ^ji g _ik = δ  ^j _k . Хотя символы Кристоффеля записываются в той же нотации, что и тензоры с индексной записью , они не преобразуются как тензоры при изменении координат.

Сокращение индексов

Свертка верхнего индекса с любым из нижних индексов (симметричных) приводит к , где — определитель метрического тензора. Это тождество можно использовать для оценки расхождения векторов. $${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ki}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\ln {\sqrt {|g|}}}$$ ${\displaystyle g=\det g_{ik}}$

Символы Кристоффеля первого рода

Символы Кристоффеля первого рода могут быть получены либо из символов Кристоффеля второго рода и метрики, ^[11] $${\displaystyle \Gamma _{cab}=g_{cd}{\Gamma ^{d}}_{ab}\,,}$$

или только из метрики, ^[11] $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{cab}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.\\\end{aligned}}}$$

В качестве альтернативной записи можно также найти ^{[7] [12] [13]}

$${\displaystyle \Gamma _{cab}=[ab,c].}$$Стоит отметить, что [ ab , c ] = [ ba , c ] . ^[10]

Коэффициенты связи в неголономном базисе

Символы Кристоффеля обычно определяются в координатном базисе, что является соглашением, которому здесь следуют. Другими словами, название символы Кристоффеля зарезервировано только для координатных (т.е. голономных ) систем отсчета. Однако коэффициенты связи могут быть также определены в произвольном (т.е. неголономном) базисе касательных векторов u _i с помощью $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} _{i}}\mathbf {u} _{j}={\omega ^{k}}_{ij}\mathbf {u} _{k}.}$$

Явно, в терминах метрического тензора, это ^[9] $${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}+c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right),}$$

где c _klm = g _mp c _kl ^p — коммутационные коэффициенты базиса; то есть, $${\displaystyle [\mathbf {u} _{k},\,\mathbf {u} _{l}]={c_{kl}}^{m}\mathbf {u} _{m}}$$

где u _k — базисные векторы , а [ , ] — скобка Ли . Стандартные единичные векторы в сферических и цилиндрических координатах дают пример базиса с ненулевыми коммутационными коэффициентами. Разница между связностью в такой системе отсчета и связностью Леви-Чивиты известна как тензор конторсии .

Коэффициенты вращения Риччи (асимметричное определение)

Когда мы выбираем базис X _i ≡ u _i ортонормированным: g _ab ≡ η _ab = ⟨ X _a , X _b ⟩ , то g _mk,l ≡ η _mk,l = 0. Это означает, что и коэффициенты связи становятся антисимметричными по первым двум индексам: где $${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}\eta ^{im}\left(c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right)}$$ $${\displaystyle \omega _{abc}=-\omega _{bac}\,,}$$ $${\displaystyle \omega _{abc}=\eta _{ad}{\omega ^{d}}_{bc}\,.}$$

В этом случае коэффициенты связи ω ^a _bc называются коэффициентами вращения Риччи . ^{[14] [15]}

Эквивалентно, можно определить коэффициенты вращения Риччи следующим образом: ^[9] где ui — ортонормированный неголономный базис, _а ^uk = η kl ^u l _— его кобазис . $${\displaystyle {\omega ^{k}}_{ij}:=\mathbf {u} ^{k}\cdot \left(\nabla _{j}\mathbf {u} _{i}\right)\,,}$$

Закон преобразования при замене переменной

При замене переменной с на символы Кристоффеля преобразуются как ${\displaystyle \left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)}$ ${\displaystyle \left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)}$

$${\displaystyle {{\bar {\Gamma }}^{i}}_{kl}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{k}}}\,{\frac {\partial x^{p}}{\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\Gamma ^{m}}_{np}+{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}}$$

где верхняя черта обозначает символы Кристоффеля в системе координат. Символ Кристоффеля преобразуется не как тензор, а как объект в струйном расслоении . Точнее, символы Кристоффеля можно рассматривать как функции на струйном расслоении фреймового расслоения M , независимо от любой локальной системы координат. Выбор локальной системы координат определяет локальное сечение этого расслоения, которое затем может быть использовано для возврата символов Кристоффеля к функциям на M , хотя, конечно, эти функции затем зависят от выбора локальной системы координат. ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$

Для каждой точки существуют системы координат, в которых символы Кристоффеля обращаются в нуль в этой точке. ^[16] Они называются (геодезическими) нормальными координатами и часто используются в римановой геометрии .

Есть несколько интересных свойств, которые можно вывести непосредственно из закона преобразования.

• При линейном преобразовании неоднородная часть преобразования (второй член в правой части) тождественно исчезает и затем ведет себя как тензор. ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$
• Если у нас есть два поля связей, скажем и , то их разность является тензором, поскольку неоднородные члены взаимно уничтожают друг друга. Неоднородные члены зависят только от того, как изменяются координаты, но не зависят от самого символа Кристоффеля. ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$ ${\displaystyle {{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}-{{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$
• Если символ Кристоффеля несимметричен относительно своих нижних индексов в одной системе координат, то есть , то они остаются несимметричными при любом изменении координат. Следствием этого свойства является то, что невозможно найти систему координат, в которой все элементы символа Кристоффеля равны нулю в точке, если только нижние индексы не симметричны. Это свойство было указано Альбертом Эйнштейном ^[17] и Эрвином Шрёдингером ^[18] независимо друг от друга. ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}\neq {\Gamma ^{i}}_{kj}}$

Связь с параллельным переносом и выводом символов Кристоффеля в римановом пространстве

Если вектор переносится параллельно кривой, параметризованной некоторым параметром на римановом многообразии , то скорость изменения компонент вектора определяется выражением ${\displaystyle \xi ^{i}}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\frac {d\xi ^{i}}{ds}}=-{\Gamma ^{i}}_{mj}{\frac {dx^{m}}{ds}}\xi ^{j}.}$$

Теперь просто используя условие, что скалярное произведение, образованное двумя произвольными векторами , остается неизменным, достаточно для вывода символов Кристоффеля. Условие заключается в том, что по правилу произведения расширяется до ${\displaystyle g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}}$ ${\displaystyle \xi ^{i}}$ ${\displaystyle \eta ^{k}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left(g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}\right)=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}{\frac {dx^{l}}{ds}}\xi ^{i}\eta ^{k}+g_{ik}{\frac {d\xi ^{i}}{ds}}\eta ^{k}+g_{ik}\xi ^{i}{\frac {d\eta ^{k}}{ds}}=0.}$$

Применяя правило параллельного переноса для двух произвольных векторов, перемаркировав фиктивные индексы и собрав коэффициенты (произвольные), получаем ${\displaystyle \xi ^{i}\eta ^{k}dx^{l}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}=g_{rk}{\Gamma ^{r}}_{il}+g_{ir}{\Gamma ^{r}}_{lk}.}$$

Это то же самое, что и уравнение, полученное путем требования, чтобы ковариантная производная метрического тензора исчезла в разделе Общее определение. Вывод отсюда прост. Циклически переставляя индексы в приведенном выше уравнении, мы можем получить еще два уравнения, а затем линейно объединяя эти три уравнения, мы можем выразить в терминах метрического тензора. ${\displaystyle ikl}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$

Связь с безиндексной нотацией

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами X ⁱ и Y ^k . Тогда k -я компонента ковариантной производной Y по X задается выражением $${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}(\nabla _{i}Y)^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+{\Gamma ^{k}}_{im}Y^{m}\right).}$$

Здесь используется нотация Эйнштейна , поэтому повторяющиеся индексы указывают на суммирование по индексам, а свертка с метрическим тензором служит для повышения и понижения индексов: $${\displaystyle g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}=g^{ik}X_{i}Y_{k}.}$$

Имейте в виду, что g _ik ≠ g ^ik и что g ⁱ _k = δ  ⁱ _k , дельта Кронекера . Соглашение заключается в том, что метрический тензор — это тот, у которого нижние индексы; правильный способ получить g ^ik из g _ik — решить линейные уравнения g ^ij g _jk = δ  ⁱ _k .

Утверждение о том, что соединение не имеет кручения , а именно, что $${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,\,Y]}$$

эквивалентно утверждению, что в координатной системе символ Кристоффеля симметричен по двум нижним индексам: $${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}={\Gamma ^{i}}_{kj}.}$$

Свойства преобразования без индекса тензора задаются обратными откатами для ковариантных индексов и прямыми откатами для контравариантных индексов. Статья о ковариантных производных содержит дополнительное обсуждение соответствия между безиндексной нотацией и индексированной нотацией.

Ковариантные производные тензоров

Ковариантная производная векторного поля с компонентами V ^m равна $${\displaystyle \nabla _{l}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{m}}_{kl}V^{k}.}$$

Следствием этого является то, что дивергенция вектора может быть получена как $${\displaystyle \nabla _{i}V^{i}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}\,V^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}$$

Ковариантная производная ковекторного поля ω _m равна $${\displaystyle \nabla _{l}\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m}}{\partial x^{l}}}-{\Gamma ^{k}}_{ml}\omega _{k}.}$$

Симметрия символа Кристоффеля теперь распространяется на любое скалярное поле, но в общем случае ковариантные производные тензорных полей более высокого порядка не коммутируют (см. тензор кривизны ). $${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi }$$

Ковариантная производная тензорного поля типа (2, 0) A ^ik равна : $${\displaystyle \nabla _{l}A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{i}}_{ml}A^{mk}+{\Gamma ^{k}}_{ml}A^{im},}$$ $${\displaystyle {A^{ik}}_{;l}={A^{ik}}_{,l}+A^{mk}{\Gamma ^{i}}_{ml}+A^{im}{\Gamma ^{k}}_{ml}.}$$

Если тензорное поле смешанное , то его ковариантная производная равна , а если тензорное поле имеет тип (0, 2), то его ковариантная производная равна $${\displaystyle {A^{i}}_{k;l}={A^{i}}_{k,l}+{A^{m}}_{k}{\Gamma ^{i}}_{ml}-{A^{i}}_{m}{\Gamma ^{m}}_{kl},}$$ $${\displaystyle A_{ik;l}=A_{ik,l}-A_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-A_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$$

Контравариантные производные тензоров

Чтобы найти контравариантную производную векторного поля, мы должны сначала преобразовать ее в ковариантную производную с помощью метрического тензора $${\displaystyle \nabla ^{l}V^{m}=g^{il}\nabla _{i}V^{m}=g^{il}\partial _{i}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}=\partial ^{l}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}}$$

Приложения

В общей теории относительности

Символы Кристоффеля часто используются в общей теории относительности Эйнштейна , где пространство-время представлено искривленным 4-мерным многообразием Лоренца со связностью Леви-Чивиты . Уравнения поля Эйнштейна , определяющие геометрию пространства-времени в присутствии материи, содержат тензор Риччи , поэтому вычисление символов Кристоффеля имеет важное значение. После определения геометрии пути частиц и световых лучей вычисляются путем решения геодезических уравнений , в которых явно появляются символы Кристоффеля.

В классической (нерелятивистской) механике

Пусть будут обобщенными координатами и будут обобщенными скоростями, тогда кинетическая энергия для единичной массы задается как , где - метрический тензор . Если существует , потенциальная функция, то контравариантные компоненты обобщенной силы на единицу массы равны . Метрика (здесь в чисто пространственной области) может быть получена из линейного элемента . Подставляя лагранжиан в уравнение Эйлера-Лагранжа , получаем ^[19] ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$ ${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}}$ ${\displaystyle g_{ik}}$ ${\displaystyle V\left(x^{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{i}=\partial V/\partial x^{i}}$ ${\displaystyle ds^{2}=2Tdt^{2}}$ ${\displaystyle L=T-V}$

$${\displaystyle g_{ik}{\ddot {x}}^{k}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{i}}}\right){\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F_{i}.}$$

Теперь умножая на , получаем ${\displaystyle g^{ij}}$ $${\displaystyle {\ddot {x}}^{j}+{\Gamma ^{j}}_{lk}{\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F^{j}.}$$

Когда можно принять декартовы координаты (как в инерциальных системах отсчета), мы имеем евклидову метрику, символ Кристоффеля исчезает, и уравнение сводится ко второму закону движения Ньютона . В криволинейных координатах ^[20] (вынужденно в неинерциальных системах, где метрика неевклидова и не плоская) фиктивные силы, такие как центробежная сила и сила Кориолиса, возникают из символов Кристоффеля, то есть из чисто пространственных криволинейных координат.

В координатах земной поверхности

Дана сферическая система координат , описывающая точки на поверхности Земли (приближенной к идеальной сфере).

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(R,\theta ,\varphi )&={\begin{pmatrix}R\cos \theta \cos \varphi &R\cos \theta \sin \varphi &R\sin \theta \end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Для точки x, R — расстояние до ядра Земли (обычно приблизительно радиус Земли ). θ и φ — широта и долгота . Положительное θ — северное полушарие. Для упрощения производных углы даны в радианах (где d sin(x)/dx = cos(x), значения градусов вводят дополнительный множитель 360 / 2 пи).

В любом месте направления касательной — (вверх), (север) и (восток) — можно также использовать индексы 1,2,3. ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{\theta }}$ ${\displaystyle e_{\varphi }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\e_{\theta }&=R\cdot {\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \varphi &-\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}\\e_{\varphi }&=R\cos \theta \cdot {\begin{pmatrix}-\sin \varphi &\cos \varphi &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Соответствующий метрический тензор имеет только диагональные элементы (квадраты длин векторов). Это преимущество системы координат и, как правило, неверно.

^[21] $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{RR}=1\qquad &g_{\theta \theta }=R^{2}\qquad &g_{\varphi \varphi }=R^{2}\cos ^{2}\theta \qquad &g_{ij}=0\quad \mathrm {else} \\g^{RR}=1\qquad &g^{\theta \theta }=1/R^{2}\qquad &g^{\varphi \varphi }=1/(R^{2}\cos ^{2}\theta )\qquad &g^{ij}=0\quad \mathrm {else} \\\end{aligned}}}$$

Теперь можно рассчитать необходимые количества. Примеры:

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{R}=e_{R}g^{RR}=1\cdot e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }=e^{R}\cdot {\frac {\partial }{\partial \varphi }}e_{\varphi }&=e^{R}\cdot {\begin{pmatrix}-R\cos \theta \cos \varphi &-R\cos \theta \sin \varphi &0\end{pmatrix}}=-R\cos ^{2}\theta \\\end{aligned}}}$$

Результирующие символы Кристоффеля второго рода тогда имеют вид (организованные по «производному» индексу i в матрице): ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{RR}&{\Gamma ^{R}}_{\theta R}&{\Gamma ^{R}}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\theta }}_{RR}&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\varphi }}_{RR}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi R}\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1/R&0\\0&0&1/R\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\theta }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \theta }\\\end{pmatrix}}\quad &={\begin{pmatrix}0&-R&0\\1/R&0&0\\0&0&-\tan \theta \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&-R\cos ^{2}\theta \\0&0&\cos \theta \sin \theta \\1/R&-\tan \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Эти значения показывают, как изменяются направления касательных (столбцы: , , ), наблюдаемые со стороны (например, из космоса), но заданные в направлениях касательных фактического местоположения (строки: R , θ , φ ). ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{\theta }}$ ${\displaystyle e_{\varphi }}$

В качестве примера возьмем ненулевые производные по θ в , что соответствует движению на север (положительное dθ): ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{j\ \theta }}$

• Новое направление на север изменится на -R dθ в направлении вверх (R). Таким образом, направление на север будет вращаться вниз к центру Земли. ${\displaystyle e_{\theta }}$
• Аналогично, направление вверх будет скорректировано в сторону севера. Различная длина и приводит к множителю 1/R. ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{\theta }}$
• Двигаясь на север, восточный касательный вектор меняет свою длину (-tan(θ) по диагонали), он будет сокращаться (-tan(θ) dθ < 0) в северном полушарии и увеличиваться (-tan(θ) dθ > 0) в южном полушарии. ^[21] ${\displaystyle e_{\varphi }}$

Эти эффекты могут быть не очевидны во время движения, поскольку они являются корректировками, которые сохраняют измерения в координатах R , θ , φ . Тем не менее, это может повлиять на расстояния, физические уравнения и т. д. Так что если, например, вам нужно точное изменение магнитного поля, указывающего примерно на «юг», может потребоваться также скорректировать ваши измерения путем изменения направления на север, используя символы Кристоффеля, чтобы получить «истинное» ( тензорное ) значение.

Символы Кристоффеля первого рода показывают то же изменение при использовании метрически скорректированных координат, например, для производной по φ : ${\displaystyle {\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma _{R}}_{R\varphi }&{\Gamma _{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=R\cos \theta {\begin{pmatrix}0&0&-\cos \theta \\0&0&R\sin \theta \\\cos \theta &-R\sin \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Лагранжев подход к поиску решения

В цилиндрических координатах декартовы и цилиндрические полярные координаты существуют как:

${\textstyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \\z=h\end{cases}}}$и ${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\\h=z\end{cases}}}$

Декартовы точки существуют, а символы Кристоффеля исчезают с течением времени, следовательно, в цилиндрических координатах:

${\displaystyle \Gamma _{rr}^{r}=\Gamma _{\varphi r}^{r}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial z}}=0}$

${\displaystyle \Gamma _{r\varphi }^{r}=\Gamma _{\varphi r}^{r}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial r}{\partial z}}=-\sin \varphi \cos \varphi +\sin \varphi \cos \varphi =0}$

${\displaystyle \Gamma _{\varphi \varphi }^{r}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial z}}=-{\frac {x}{r}}-{\frac {y}{r}}=-r}$

${\displaystyle \Gamma _{rr}^{\varphi }=\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0}$

${\displaystyle \Gamma _{r\varphi }^{\varphi }=\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=-{\frac {y}{r^{2}}}+\cos \varphi {\frac {x}{r^{2}}}={\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\varphi \varphi }^{\varphi }={\frac {\partial ^{2}x}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=-{\frac {x}{r^{2}}}-{\frac {y}{r^{2}}}=0}$

Сферические координаты (с использованием лагранжиана 2x2x2)

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

Лагранжиан можно оценить как:

${\displaystyle L={\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {\phi }}+2{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}=0\\{\ddot {\theta }}-\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}=0\\{\frac {d^{2}x^{k}}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{ij}^{k}{\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}=0\\{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {\theta }}}}=0\end{cases}}}$ можно переставить на ${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {\phi }}+2{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}=0\\{\ddot {\theta }}-\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}=0\end{cases}}}$

Используя следующее геодезическое уравнение:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{k}}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{ij}^{k}{\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}=0}$

Можно получить следующее:

${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-\sin \theta \cos \theta (\Gamma _{12}^{2})=\Gamma _{21}^{2}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}$

^[21]

Лагранжева механика в геодезических (принципы наименьшего действия в символах Кристоффеля)

Включая механику Лагранжа и используя уравнение Эйлера-Лагранжа , символы Кристоффеля могут быть подставлены в лагранжиан для учета геометрии многообразия. Символы Кристоффеля вычисляются из метрического тензора , уравнения могут быть выведены и выражены из принципа наименьшего действия. При применении уравнения Эйлера-Лагранжа к системе уравнений лагранжиан будет включать члены, включающие символы Кристоффеля, позволяя уравнению действовать для кривизны, которая может определять правильные уравнения движения для объектов, движущихся вдоль геодезических.

Использование принципа наименьшего действия из уравнения Эйлера-Лагранжа

Уравнение Эйлера-Лагранжа применяется к функционалу, связанному с траекторией объекта в сферической системе координат,

При условии и такое, что и ${\displaystyle L\in C^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle y\in C^{1}[a,b]}$ ${\displaystyle y(a)=C}$ ${\displaystyle ey(b)=d}$

если

${\displaystyle {\begin{cases}\int _{a}^{b}L(y(x))dx\\\int _{a}^{b}L(y'(x))dx\\\int _{a}^{b}L(x)dx\end{cases}}}$

Достигает своего минимума , где  — решение, которое можно найти, решив дифференциальное уравнение: ${\displaystyle min\equiv y_{0}\in C}$ ${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial L}{\partial y'}}(y(x),y'(x))\right)-{\frac {\partial L}{\partial y}}(y(x),y'(x))=0}$

Дифференциальное уравнение обеспечивает математические условия, которые должны быть выполнены для этого оптимального пути.

^[21]

Смотрите также

• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Дифференцируемое многообразие
• Список формул римановой геометрии
• исчисление Риччи
• Тензор Римана–Кристоффеля
• Уравнения Гаусса–Кодацци
• Пример вычисления символов Кристоффеля

Примечания

1. См., например, (Спивак 1999) и (Шоке-Брюа и ДеВитт-Моретт 1977)
2. Рональд Адлер, Морис Базен, Менахем Шиффер, Введение в общую теорию относительности (1965) McGraw-Hill Book Company ISBN  0-07-000423-4 ( см. раздел 2.1 )
3. Чарльз В. Мизнер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уиллер, Гравитация (1973) WH Freeman ISBN 0-7167-0334-3 ( см. главы 8-11 ) 
4. Мизнер, Торн, Уилер, цит. соч. ( См. главу 13 )
5. Юрген Йост, Риманова геометрия и геометрический анализ , (2002) Springer-Verlag ISBN 3-540-42627-2 
6. Дэвид Бликер, Калибровочная теория и вариационные принципы (1991) Addison-Wesely Publishing Company ISBN 0-201-10096-7 
7. Christoffel, EB (1869), «Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 70 : 46–70
8. Чаттерджи, У.; Чаттерджи, Н. (2010). Векторный и тензорный анализ . стр. 480.
9. "Символ Кристоффеля второго рода -- из Wolfram MathWorld". mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 2009-01-23.
10. Bishop, RL; Goldberg (1968), Тензорный анализ на многообразиях , стр. 241
11. Ludvigsen, Malcolm (1999), Общая теория относительности: геометрический подход , стр. 88
12. Чаттерджи, У.; Чаттерджи, Н. (2010). Векторный и тензорный анализ . стр. 480.
13. Struik, DJ (1961). Лекции по классической дифференциальной геометрии (впервые опубликовано в 1988 году, изд. Дувра). стр. 114.
14. Г. Риччи-Курбастро (1896). «Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque». Память Акк. Линчеи . 2 (5): 276–322.
15. Х. Леви (1925). «Коэффициенты вращения Риччи». Bull. Amer. Math. Soc . 31 (3–4): 142–145. doi : 10.1090/s0002-9904-1925-03996-8 .
16. Это предполагает, что связь симметрична (например, связь Леви-Чивиты). Если связь имеет кручение , то только симметричная часть символа Кристоффеля может быть обращена в нуль.
17. Эйнштейн, Альберт (2005). «Значение теории относительности (1956, 5-е издание)». Princeton University Press (2005).
18. Шредингер, Э. (1950). Структура пространства-времени. Cambridge University Press.
19. Адлер, Р., Базен, М. и Шиффер, М. Введение в общую теорию относительности (Нью-Йорк, 1965).
20. Дэвид, Кей, Тензорное исчисление (1988) McGraw-Hill Book Company ISBN 0-07-033484-6 ( см. раздел 11.4 ) 
21. "Александр Дж. Сесслар". sites.google.com . Получено 2024-10-22 .

Ссылки

• Абрахам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Benjamin/Cummings Publishing, стр. См. главу 2, параграф 2.7.1, ISBN 0-8053-0102-X
• Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1965), Введение в общую теорию относительности (первое издание), McGraw-Hill Book Company
• Бишоп, Р. Л .; Голдберг, С. И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое издание, Дувр, 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Ландау, Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1951), Классическая теория полей , Курс теоретической физики , т. 2 (Четвертое пересмотренное английское издание), Оксфорд: Pergamon Press, стр. См. главу 10, параграфы 85, 86 и 87, ISBN 0-08-025072-6
• Крейциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Dover Publications , ISBN 978-0-486-66721-8
• Мизнер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1970), Гравитация , Нью-Йорк: WH Freeman, стр. См. главу 8, параграф 8.5, ISBN 0-7167-0344-0
• Людвигсен, Малкольм (1999), Общая теория относительности: геометрический подход , Cambridge University Press, ISBN 0-521-63019-3
• Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию , т. 2, Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3
• Чаттерджи, У.; Чаттерджи, Н. (2010). Векторный и тензорный анализ. Academic Publishers. ISBN 978-93-8059-905-2.
• Struik, DJ (1961). Lectures on Classical Differential Geometry (впервые опубликовано в 1988 году, изд. Дувра). Дувр. ISBN 0-486-65609-8.
• P.Grinfeld (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление подвижных поверхностей . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.
• «Несколько тензорных уравнений показаны полностью». www.tero.co.uk . Получено 01.01.2023 .