Уравнения Янга – Миллса

Уравнения в частных производных, решениями которых являются инстантоны

Коэффициент dx ¹ ⊗σ ₃ BPST - инстантона на (x ¹ ,x ² ) -срезе R ⁴ , где σ ₃ — третья матрица Паули (вверху слева). Коэффициент dx ² ⊗σ ₃ (вверху справа). Эти коэффициенты определяют ограничение инстантона A BPST с g=2, ρ=1,z=0 на этот срез. Соответствующая напряженность поля сосредоточена вокруг z=0 (внизу слева). Визуальное представление напряженности поля BPST-инстантона с центром z на компактификации S ⁴ из R ⁴ (внизу справа). Инстантон BPST является решением уравнений антисамодуальности и, следовательно, уравнений Янга–Миллса на R ⁴ . Это решение может быть расширено с помощью теоремы Уленбека об устранимой особенности до топологически нетривиальной ASD-связности на S ⁴ .

В физике и математике , и особенно в дифференциальной геометрии и калибровочной теории , уравнения Янга-Миллса представляют собой систему уравнений в частных производных для связи на векторном расслоении или главном расслоении . Они возникают в физике как уравнения Эйлера–Лагранжа функционала действия Янга –Миллса . Они также нашли существенное применение в математике.

Решения уравнений называются связями Янга–Миллса или инстантонами . Пространство модулей инстантонов было использовано Саймоном Дональдсоном для доказательства теоремы Дональдсона .

Мотивация

Физика

В своей основополагающей статье по теме калибровочных теорий Роберт Миллс и Чен-Нин Ян разработали (по существу независимо от математической литературы) теорию главных расслоений и связностей, чтобы объяснить концепцию калибровочной симметрии и калибровочной инвариантности применительно к физические теории. ^[1] Калибровочные теории, открытые Янгом и Миллсом, теперь называемые теориями Янга-Миллса , обобщили классическую работу Джеймса Максвелла по уравнениям Максвелла , которые были сформулированы на языке калибровочной теории Вольфгангом Паули и другими. ^[2] Новизна работы Янга и Миллса заключалась в определении калибровочных теорий для произвольного выбора группы Ли , называемой структурной группой (или в физике калибровочной группой , подробнее см. Калибровочная группа (математика) ). Эта группа может быть неабелевой в отличие от случая, соответствующего электромагнетизму, и подходящей основой для обсуждения таких объектов является теория главных расслоений . ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\operatorname {U} (1)}$

Существенные моменты работы Янга и Миллса заключаются в следующем. Предполагается, что фундаментальное описание физической модели осуществляется посредством использования полей , и получается, что при локальном калибровочном преобразовании (изменении локальной тривиализации главного расслоения) эти физические поля должны трансформироваться именно так, как связь (в физике , калибровочное поле ) на главном расслоении преобразуется. Напряженность калибровочного поля представляет собой кривизну связи, а энергия калибровочного поля задается (с точностью до константы) функционалом действия Янга–Миллса ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{A}}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}.}$

Принцип наименьшего действия требует, чтобы правильные уравнения движения для этой физической теории были заданы уравнениями Эйлера-Лагранжа этого функционала, которые представляют собой уравнения Янга-Миллса, полученные ниже:

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0.}$

Математика

Помимо физического происхождения теории, уравнения Янга – Миллса представляют важный геометрический интерес. В общем случае не существует естественного выбора связности в векторном или главном расслоении. В частном случае, когда это расслоение является касательным к риманову многообразию , существует такой естественный выбор — связность Леви-Чивита , но в общем случае существует бесконечномерное пространство возможных выборов. Соединение Янга–Миллса дает своего рода естественный выбор соединения для общего расслоения, как мы сейчас опишем.

Связность определяется своими локальными формами для тривиализирующего открытого покрытия расслоения . Первой попыткой выбора канонической связи могло бы стать требование исчезновения этих форм. Однако это невозможно, если тривиализация не является плоской в ​​том смысле, что функции перехода являются постоянными функциями. Не каждый пучок плоский, поэтому это вообще невозможно. Вместо этого можно было бы потребовать, чтобы формы локальных соединений сами по себе были постоянными. На главном расслоении правильная формулировка этого условия состоит в том, что кривизна равна нулю. Однако согласно теории Черна-Вейля , если кривизна равна нулю (то есть является плоской связностью ), то основное главное расслоение должно иметь тривиальные классы Черна , что является топологическим препятствием для существования плоских связностей: не каждое главное расслоение может иметь плоское соединение. ${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle A}$

Лучшее, на что можно надеяться, — это потребовать, чтобы вместо исчезающей кривизны пучок имел как можно меньшую кривизну . Описанный выше функционал действия Янга-Миллса в точности (квадрат) -нормы кривизны, а его уравнения Эйлера-Лагранжа описывают критические точки этого функционала, либо абсолютные минимумы, либо локальные минимумы. Другими словами, связи Янга – Миллса — это именно те соединения, которые минимизируют их кривизну. В этом смысле они являются естественным выбором связности главного или векторного расслоения над многообразием с математической точки зрения. ${\displaystyle L^{2}}$

Определение

Пусть – компактное ориентированное риманово многообразие . _ Уравнения Янга-Миллса можно сформулировать для связности на векторном расслоении или главном расслоении над , для некоторой компактной группы Ли . Здесь представлено последнее соглашение. Пусть обозначает главное -расслоение над . Тогда связность на может быть задана дифференциальной формой со значениями алгебры Ли на всем пространстве главного расслоения. Эта связь имеет форму кривизны , которая представляет собой двуформу со значениями в присоединенном пучке . Со связностью связана внешняя ковариантная производная , определенная на присоединенном расслоении. Кроме того, поскольку она компактна, ассоциированная с ней компактная алгебра Ли допускает инвариантный скалярный продукт относительно присоединенного представления . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle G}$

Так как является римановым, существует внутренний продукт на кокасательном расслоении , и в сочетании с инвариантным внутренним продуктом на существует внутренний продукт на расслоении -значных двухформ на . Так как ориентировано, то на сечениях этого расслоения существует -скалярное произведение. А именно, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)\otimes \Lambda ^{2}T^{*}X}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle s,t\rangle _{L^{2}}=\int _{X}\langle s,t\rangle \,dvol_{g}}$

где внутри интеграла используется послойное скалярное произведение, а – риманова форма объема . Используя этот -внутренний продукт, формальный сопряженный оператор определяется формулой ${\displaystyle dvol_{g}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle d_{A}}$

${\displaystyle \langle d_{A}s,t\rangle _{L^{2}}=\langle s,d_{A}^{*}t\rangle _{L^{2}}}$.

Явно это определяется выражением где – звездный оператор Ходжа , действующий на две формы. ${\displaystyle d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star }$ ${\displaystyle \star }$

Если предположить, что все сделано выше, уравнения Янга – Миллса представляют собой систему (в общем нелинейных) дифференциальных уравнений в частных производных, определяемую формулой

Поскольку звезда Ходжа является изоморфизмом, по явной формуле для уравнений Янга–Миллса эквивалентно можно записать ${\displaystyle d_{A}^{*}}$

Соединение, удовлетворяющее ( 1 ) или ( 2 ), называется соединением Янга–Миллса .

Каждое соединение автоматически удовлетворяет тождеству Бьянки , поэтому соединения Янга–Миллса можно рассматривать как нелинейный аналог гармонических дифференциальных форм , которые удовлетворяют ${\displaystyle d_{A}F_{A}=0}$

${\displaystyle d\omega =d^{*}\omega =0}$.

В этом смысле поиск связностей Янга–Миллса можно сравнить с теорией Ходжа , которая ищет гармонического представителя в классе когомологий де Рама дифференциальной формы. Аналогия заключается в том, что связность Янга – Миллса подобна гармоническому представителю множества всех возможных связей в главном расслоении.

Вывод

Уравнения Янга–Миллса представляют собой уравнения Эйлера–Лагранжа функционала Янга–Миллса , определяемого формулой

Чтобы вывести уравнения из функционала, напомним, что пространство всех связей на является аффинным пространством, смоделированным на векторном пространстве . При небольшой деформации связи в этом аффинном пространстве кривизны связаны соотношением ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle A+ta}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle F_{A+ta}=F_{A}+td_{A}a+t^{2}a\wedge a.}$

Чтобы определить критические точки ( 3 ), вычислите

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\operatorname {YM} (A+ta)\right)_{t=0}&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\langle F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a,F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\|F_{A}\|^{2}+2t\langle F_{A},d_{A}a\rangle +2t^{2}\langle F_{A},a\wedge a\rangle +t^{4}\|a\wedge a\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&=2\int _{X}\langle d_{A}^{*}F_{A},a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}.\end{aligned}}}$

Связь является критической точкой функционала Янга–Миллса тогда и только тогда, когда она обращается в нуль при каждом , и это происходит именно тогда, когда ( 1 ) выполняется. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$

Пространство модулей связностей Янга – Миллса

Уравнения Янга–Миллса калибровочно-инвариантны . Математически калибровочное преобразование является автоморфизмом главного расслоения , и поскольку скалярное произведение на инвариантно, функционал Янга – Миллса удовлетворяет условию ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (g\cdot A)=\int _{X}\|gF_{A}g^{-1}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\operatorname {YM} (A)}$

и поэтому, если удовлетворяет ( 1 ), то и . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g\cdot A}$

Существует пространство модулей связностей Янга–Миллса по модулю калибровочных преобразований. Обозначим через калибровочную группу автоморфизмов . Набор классифицирует все соединения по модулю калибровочных преобразований, а пространство модулей связей Янга – Миллса является подмножеством. В общем случае ни одно из них не является хаусдорфовым или гладким многообразием. Однако, ограничиваясь неприводимыми связностями, то есть связями, группа голономии которых задана всеми из , можно получить пространства Хаусдорфа. Пространство неприводимых связностей обозначается , поэтому пространства модулей обозначаются и . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{*}}$

Пространства модулей связностей Янга – Миллса интенсивно изучались в конкретных обстоятельствах. Майкл Атья и Рауль Ботт изучали уравнения Янга–Миллса для расслоений над компактными римановыми поверхностями . ^[4] Там пространство модулей получает альтернативное описание как пространство модулей голоморфных векторных расслоений . Это теорема Нарасимхана–Сешадри , которая в этой форме была доказана Дональдсоном, связывая связи Янга–Миллса с голоморфными векторными расслоениями. ^[5] В этом случае пространство модулей имеет структуру компактного кэлерова многообразия . Модули связностей Янга–Миллса наиболее изучены, когда размерность базового многообразия равна четырем. ^{[3] [6]} Здесь уравнения Янга–Миллса допускают упрощение от УЧП второго порядка к УЧП первого порядка, уравнениям антиавтодуальности. ${\displaystyle X}$

Уравнения антисамодуальности

Когда размерность базового многообразия равна четырем, происходит совпадение: звездный оператор Ходжа отображает две формы в две формы, ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)}$.

В этом случае звездный оператор Ходжа приводит к тождеству и поэтому имеет собственные значения и . В частности, имеет место разложение ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \Omega ^{2}(X)=\Omega _{+}(X)\oplus \Omega _{-}(X)}$

на положительные и отрицательные собственные пространства , самодвойственные и антиавтодуальные две формы. Если связность на главном -расслоении над четырехмногообразием удовлетворяет либо или , то в силу ( 2 ) связность является связностью Янга–Миллса. Эти связи называются либо самодуальными связями , либо антиавтодуальными связями , а уравнения — уравнениями самодуальности (SD) и уравнениями антисамодуальности (ASD) . ^[3] Пространства самодуальных и антиавтодуальных связностей обозначаются и , аналогично для и . ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{A}={\star F_{A}}}$ ${\displaystyle F_{A}=-{\star F_{A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\pm }}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\pm }}$

Пространство модулей АСД - связностей, или инстантонов, наиболее интенсивно изучалось Дональдсоном в случае, когда и односвязно . ^{[7] [8] [9]} В этом случае главное -расслоение классифицируется по второму классу Чженя , . ^{[Примечание 1]} При различном выборе главного расслоения можно получить пространства модулей с интересными свойствами. Эти пространства хаусдорфовы, даже если допускаются приводимые связности, и в общем случае гладкие. Дональдсон показал, что гладкая часть ориентируема. По теореме об индексе Атьи-Зингера можно вычислить, что размерность , пространства модулей соединений ASD, когда , должна быть ${\displaystyle G=\operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle c_{2}(P)\in H^{4}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}^{-}}$ ${\displaystyle c_{2}(P)=k}$

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{k}^{-}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X))}$

где - первое число Бетти , и - размерность положительно определенного подпространства относительно формы пересечения на . ^[3] Например, когда и , форма пересечения тривиальна, а пространство модулей имеет размерность . Это согласуется с существованием инстантона BPST , который является уникальным инстантоном ASD для семейства до 5 параметров, определяющих его центр и масштаб. Такие инстантоны можно продолжить через точку на бесконечности, используя теорему Уленбека об устранимой сингулярности. ${\displaystyle b_{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{+}(X)}$ ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=S^{4}}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{1}^{-}(S^{4})=8-3=5}$ ${\displaystyle S^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Приложения

Теорема Дональдсона

Пространство модулей уравнений Янга – Миллса было использовано Дональдсоном для доказательства теоремы Дональдсона о форме пересечения односвязных четырехмногообразий. Используя аналитические результаты Клиффорда Таубса и Карен Уленбек , Дональдсон смог показать, что в определенных обстоятельствах (когда форма пересечения определена ) пространство модулей инстантонов ASD на гладком, компактном, ориентированном, односвязном четырехмногообразии дает кобордизм между копией самого многообразия и несвязным объединением копий комплексной проективной плоскости . ^{[7] [10] [11] [12]} Форма пересечения представляет собой кобордизм, инвариантный с точностью до изоморфизма, показывающий, что любое такое гладкое многообразие имеет диагонализуемую форму пересечения. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

Пространство модулей инстантонов ASD можно использовать для определения дальнейших инвариантов четырехмерных многообразий. Дональдсон определил рациональные числа, связанные с четырехмерным многообразием, возникающие в результате спаривания классов когомологий в пространстве модулей. ^[9] Впоследствии эта работа была превзойдена инвариантами Зайберга–Виттена .

Приведение размерностей и другие пространства модулей

Посредством процесса уменьшения размерностей уравнения Янга – Миллса можно использовать для вывода других важных уравнений дифференциальной геометрии и калибровочной теории. Сокращение размерностей - это процесс рассмотрения уравнений Янга-Миллса в четырехмерном многообразии, как правило , и требование инвариантности решений относительно группы симметрии. Например: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Требуя, чтобы уравнения антисамодуальности были инвариантны относительно сдвигов в одном направлении , можно получить уравнения Богомольного , которые описывают магнитные монополи на . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• Требуя, чтобы уравнения самодуальности были инвариантными при сдвиге в двух направлениях, можно получить уравнения Хитчина, впервые исследованные Хитчином . Эти уравнения естественным образом приводят к изучению расслоений Хиггса и системы Хитчина .
• Требуя, чтобы уравнения антисамодуальности были инвариантными в трех направлениях, можно получить уравнения Нама на интервале.

Существует двойственность между решениями уменьшенных по размерности уравнений ASD , называемая преобразованием Нама в честь Вернера Нама , который первым описал, как строить монополи на основе данных уравнения Нама. ^[13] Хитчин показал обратное, а Дональдсон доказал, что решения уравнений Нама в дальнейшем могут быть связаны с пространствами модулей рациональных отображений комплексной проективной прямой в себя. ^{[14] [15]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Предполагается, что двойственность, наблюдаемая для этих решений, справедлива для произвольных двойственных групп симметрий четырехмерного многообразия. Действительно, существует аналогичная двойственность между инвариантами, инвариантными относительно двойственных решеток внутри , инстантонами на двойственных четырехмерных торах, и конструкцию ADHM можно рассматривать как двойственность между инстантонами на и двойственных алгебраических данных над одной точкой. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Понижение симметрии уравнений ASD также приводит к ряду интегрируемых систем , и гипотеза Уорда состоит в том, что на самом деле все известные интегрируемые ОДУ и УЧП возникают в результате снижения симметрии ASDYM. Например, сокращение SU (2) ASDYM дает уравнение синус-Гордона и Кортевега – де Фриза , ASDYM дает уравнение Цитцейки , а конкретное сокращение размеров дает интегрируемую киральную модель Уорда. ^[16] В этом смысле это «основная теория» интегрируемых систем, позволяющая восстановить многие известные системы путем выбора соответствующих параметров, таких как выбор калибровочной группы и схемы уменьшения симметрии. Другими такими основными теориями являются четырехмерная теория Черна-Саймонса и аффинная модель Годена . ${\displaystyle \mathrm {SL} (3,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2+1}$

Теория Черна – Саймонса

Пространство модулей уравнений Янга–Миллса над компактной римановой поверхностью можно рассматривать как конфигурационное пространство теории Черна–Саймонса на цилиндре . В этом случае пространство модулей допускает геометрическое квантование , открытое независимо Найджелом Хитчиным и Аксельродом-Деллой Пьетрой- Виттеном . ^{[17] [18]} ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma \times [0,1]}$

Смотрите также

• Соединение (векторный пакет)
• Подключение (основной пакет)
• Теория Дональдсона
• Эрмитовые уравнения Янга – Миллса
• Деформированные эрмитовые уравнения Янга – Миллса.
• Уравнения Янга–Миллса–Хиггса.

Примечания

1. Доказательство этого факта см. в сообщении https://mathoverflow.net/a/265399.

Рекомендации

1. Ян, К.Н. и Миллс, Р.Л., 1954. Сохранение изотопического спина и изотопической калибровочной инвариантности. Физический обзор, 96(1), с.191.
2. Паули, В., 1941. Релятивистские теории поля элементарных частиц. Обзоры современной физики, 13(3), стр.203.
3. Donaldson, SK, и Kronheimer, PB (1990). Геометрия четырехмногообразий. Издательство Оксфордского университета.
4. Атья, М.Ф., и Ботт, Р. (1983). Уравнения Янга–Миллса над римановыми поверхностями. Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки, 308 (1505), 523–615.
5. Дональдсон, СК (1983). Новое доказательство теоремы Нарасимхана и Сешадри. Журнал дифференциальной геометрии, 18 (2), 269–277.
6. Фридман Р. и Морган Дж.В. (1998). Калибровочная теория и топология четырехмногообразий (т. 4). Американское математическое соц.
7. Дональдсон, СК (1983). Приложение калибровочной теории к четырехмерной топологии. Журнал дифференциальной геометрии, 18 (2), 279–315.
8. Дональдсон, СК (1986). Связности, когомологии и формы пересечений 4-многообразий. Журнал дифференциальной геометрии, 24 (3), 275–341.
9. Дональдсон, СК (1990). Полиномиальные инварианты для гладких четырехмногообразий. Топология, 29(3), 257–315.
10. Таубес, CH (1982). Самодуальные связности Янга–Миллса на неавтодуальных 4-многообразиях. Журнал дифференциальной геометрии, 17 (1), 139–170.
11. Уленбек, К.К. (1982). Связи с L ^p ограничениями на кривизну. Коммуникации по математической физике, 83 (1), 31–42.
12. Уленбек, К.К. (1982). Устранимые особенности в полях Янга–Миллса. Коммуникации по математической физике, 83 (1), 11–29.
13. Нам, В. (1983). Все самодуальные мультимонополи для произвольных калибровочных групп. В «Структурных элементах в физике элементарных частиц и статистической механике» (стр. 301–310). Спрингер, Бостон, Массачусетс.
14. Хитчин, Нью-Джерси (1983). О построении монополей. Коммуникации по математической физике, 89 (2), 145–190.
15. Дональдсон, СК (1984). Уравнения Нама и классификация монополей. Коммуникации в математической физике, 96 (3), 387–408.
16. Дунайский, Мацей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 151–154. ISBN 9780198570639.
17. Хитчин, Нью-Джерси (1990). Плоские связи и геометрическое квантование. Сообщения по математической физике, 131 (2), 347–380.
18. Аксельрод С., Делла Пьетра С. и Виттен Э. (1991). Геометрическое квантование калибровочной теории Черна-Саймонса. представления, 34, 39.