stringtranslate.com

Майкл Атья

Сэр Майкл Фрэнсис Атья ( / ə ˈ t iː ə / ; 22 апреля 1929 – 11 января 2019) был британо-ливанский математик, специализирующийся на геометрии . [4] Его вклад включает теорему Атьи–Зингера об индексе и сооснование топологической K-теории . Он был награжден медалью Филдса в 1966 году и премией Абеля в 2004 году.

Ранняя жизнь и образование

Большой суд Тринити-колледжа в Кембридже , где Атья был студентом, а затем магистром.

Атья родился 22 апреля 1929 года в Хэмпстеде , Лондон , Англия, в семье Джин (урожденной Левенс) и Эдварда Атья . [5] Его мать была шотландкой, а отец был ливанским православным христианином . У него было два брата, Патрик (покойный) и Джо, и сестра Сельма (покойная). [6] Атья ходил в начальную школу при епархиальной школе в Хартуме , Судан (1934–1941), и в среднюю школу при колледже Виктории в Каире и Александрии (1941–1945); школу также посещали европейские дворяне , перемещенные во время Второй мировой войны , и некоторые будущие лидеры арабских стран. [7] Он вернулся в Англию и в Манчестерскую гимназию для обучения в HSC (1945–1947) и служил в Королевских инженерах-электриках и механиках (1947–1949). Его бакалавриат и аспирантура проходили в Тринити-колледже, Кембридж (1949–1955). [8] Он был докторантом Уильяма В. Д. Ходжа [2] и получил докторскую степень в 1955 году за диссертацию под названием « Некоторые приложения топологических методов в алгебраической геометрии» . [1] [2]

Атья был членом Британской гуманистической ассоциации . [9]

Во время своей работы в Кембридже он был президентом общества «Архимедов» . [10]

Карьера и исследования

Институт перспективных исследований в Принстоне, где Атья был профессором с 1969 по 1972 год.

Атья провел учебный год 1955–1956 в Институте перспективных исследований в Принстоне , затем вернулся в Кембриджский университет , где он был научным сотрудником и ассистентом лектора (1957–1958), затем преподавателем университета и научным сотрудником в Пембрук-колледже в Кембридже (1958–1961). В 1961 году он перешел в Оксфордский университет , где он был рецензентом и профессорским сотрудником в колледже Святой Екатерины (1961–1963). [8] Он стал профессором геометрии Savilian и профессорским сотрудником Нового колледжа в Оксфорде с 1963 по 1969 год. Он занял трехлетнюю профессорскую должность в Институте перспективных исследований в Принстоне, после чего вернулся в Оксфорд в качестве профессора-исследователя Королевского общества и профессорского сотрудника колледжа Святой Екатерины. Он был президентом Лондонского математического общества с 1974 по 1976 год. [8]

Я начал с того, что менял местную валюту на иностранную везде, куда я путешествовал ребенком, и в итоге заработал деньги. Вот тогда мой отец понял, что когда-нибудь я стану математиком.

Майкл Атья [11]

Атья был президентом Пагуошских конференций по науке и мировым проблемам с 1997 по 2002 год. [12] Он также внес вклад в создание Межакадемической группы по международным вопросам , Ассоциации европейских академий (ALLEA) и Европейского математического общества (EMS). [13]

В Соединенном Королевстве он участвовал в создании Института математических наук Исаака Ньютона в Кембридже и был его первым директором (1990–1996). Он был президентом Королевского общества (1990–1995), магистром Тринити-колледжа в Кембридже (1990–1997), [12] канцлером Университета Лестера (1995–2005), [12] и президентом Королевского общества Эдинбурга (2005–2008). [14] С 1997 года до своей смерти в 2019 году он был почетным профессором Эдинбургского университета . Он был попечителем Фонда Джеймса Клерка Максвелла . [15]

Математическими коллегами Атьи были Рауль Ботт , Фридрих Хирцебрух [16] и Изадор Зингер , а его учениками были Грэм Сигал , Найджел Хитчин , Саймон Дональдсон и Эдвард Виттен . [17] Вместе с Хирцебрухом он заложил основы топологической K-теории , важного инструмента в алгебраической топологии , который, неформально говоря, описывает способы, которыми пространства могут быть скручены. Его самый известный результат, теорема Атьи–Зингера об индексе , был доказан с Зингером в 1963 году и используется при подсчете числа независимых решений дифференциальных уравнений . Некоторые из его более поздних работ были вдохновлены теоретической физикой , в частности инстантонами и монополями , которые ответственны за некоторые поправки в квантовой теории поля . Он был награжден медалью Филдса в 1966 году и премией Абеля в 2004 году.

Сотрудничества

Старый математический институт (ныне кафедра статистики) в Оксфорде , где Атья руководил многими своими студентами

Атья сотрудничал со многими математиками. Его три основных сотрудничества были с Раулем Боттом по теореме Атьи–Ботта о неподвижной точке и многим другим темам, с Изадором М. Зингером по теореме Атьи–Зингера об индексе и с Фридрихом Хирцебрухом по топологической K-теории, [18] со всеми из которых он познакомился в Институте перспективных исследований в Принстоне в 1955 году. [19] Его другими сотрудниками были: J. Frank Adams ( проблема инварианта Хопфа ), Jürgen Berndt ( проективные плоскости), Roger Bielawski ( проблема Берри–Роббинса), Howard Donnelly ( L-функции ), Vladimir G. Drinfeld ( инстантоны), Johan L. Dupont ( особенности векторных полей ), Lars Gårding ( гиперболические дифференциальные уравнения ), Nigel J. Hitchin ( монополи ), William VD Hodge ( интегралы второго рода ), Michael Hopkins ( K-теория ), Lisa Jeffrey ( топологические лагранжианы), John DS Jones ( теория Янга–Миллса ), Juan Maldacena ( M-теория), Yuri I. Manin ( инстантоны), Nick S. Manton ( скирмионы ), Vijay K. Patodi ( спектральная асимметрия ), AN Pressley ( выпуклость ), Elmer Rees ( векторные расслоения ), Wilfried Schmid ( дискретные ряды представления), Грэм Сигал ( эквивариантная К-теория ), Александр Шапиро [20] (алгебры Клиффорда), Л. Смит (гомотопические группы сфер), Пол Сатклифф (многогранники), Дэвид О. Толл (лямбда-кольца), Джон А. Тодд ( многообразия Штифеля ), Кумрун Вафа (М-теория), Ричард С. Уорд (инстантоны) и Эдвард Виттен (М-теория, топологические квантовые теории поля). [21]

Его более поздние исследования калибровочных теорий поля , в частности теории Янга-Миллса , стимулировали важные взаимодействия между геометрией и физикой , особенно в работах Эдварда Виттена. [22]

Если вы напрямую беретесь за математическую проблему, очень часто вы заходите в тупик, ничего из того, что вы делаете, не работает, и вы чувствуете, что если бы вы только могли заглянуть за угол, то могли бы найти простое решение. Нет ничего лучше, чем иметь кого-то еще рядом с вами, потому что он обычно может заглянуть за угол.

Майкл Атья [23]

Среди учеников Атьи были Питер Браам (1987), Саймон Дональдсон (1983), К. Дэвид Элворти (1967), Говард Феган (1977), Эрик Грюнвальд (1977), Найджел Хитчин (1972), Лиза Джеффри (1991), Фрэнсис Кирван (1984), Питер Кронхаймер (1986), Рут Лоуренс (1989), Джордж Люстиг (1971), Джек Морава (1968), Майкл Мюррей (1983), Питер Ньюстед (1966), Ян Р. Портеус (1961), Джон Роу ( 1985), Брайан Сандерсон (1963), Рольф Шварценбергер (1960), Грэм Сигал (1967), Дэвид Толл (1966) и Грэм Уайт (1982). [2]

Другие современные математики, оказавшие влияние на Атью, включают Роджера Пенроуза , Ларса Хермандера , Алена Конна и Жана-Мишеля Бисмута . [24] Атья сказал, что математиком, которым он больше всего восхищался, был Герман Вейль , [25] а его любимыми математиками до 20-го века были Бернхард Риман и Уильям Роуэн Гамильтон . [26]

Семь томов собрания статей Атьи включают большую часть его работ, за исключением учебника по коммутативной алгебре; [27] первые пять томов разделены по тематике, а шестой и седьмой отсортированы по датам.

Алгебраическая геометрия (1952–1958)

Скрученная кубическая кривая , предмет первой статьи Атьи

Ранние работы Атьи по алгебраической геометрии (и некоторые общие работы) перепечатаны в первом томе его собрания сочинений. [28]

Будучи студентом, Атья интересовался классической проективной геометрией и написал свою первую работу: короткую заметку о скрученных кубиках . [29] Он начал исследования под руководством В. В. Д. Ходжа и выиграл премию Смита за 1954 год за пучково-теоретический подход к линейчатым поверхностям , [30] что побудило Атью продолжить заниматься математикой, а не переключаться на другие свои интересы — архитектуру и археологию. [31] Его докторская диссертация с Ходжем была посвящена пучково-теоретическому подходу к теории интегралов второго рода Соломона Лефшеца на алгебраических многообразиях, и в результате он получил приглашение посетить Институт перспективных исследований в Принстоне в течение года. [32] В Принстоне он классифицировал векторные расслоения на эллиптической кривой (расширяя классификацию Александра Гротендика векторных расслоений на кривой рода 0), показав, что любое векторное расслоение является суммой (по сути уникальной) неразложимых векторных расслоений, [33] а затем показав, что пространство неразложимых векторных расслоений заданной степени и положительной размерности можно отождествить с эллиптической кривой. [34] Он также изучал двойные точки на поверхностях, [35] дав первый пример флопа , специального бирационального преобразования 3-мерных многообразий , которое позже активно использовалось в работе Шигефуми Мори о минимальных моделях для 3-мерных многообразий. [36] Флоп Атьи также можно использовать, чтобы показать, что универсальное отмеченное семейство поверхностей K3 не является хаусдорфовым . [37]

К-теория (1959–1974)

Лента Мёбиуса — простейший нетривиальный пример векторного расслоения .

Работы Атьи по К-теории , включая его книгу по К-теории [38], перепечатаны во 2-м томе его собрания сочинений. [39]

Простейшим нетривиальным примером векторного расслоения является лента Мёбиуса (изображена справа): полоска бумаги с закруткой на ней, которая представляет собой векторное расслоение ранга 1 над окружностью (рассматриваемая окружность является средней линией ленты Мёбиуса). K-теория является инструментом для работы с многомерными аналогами этого примера или, другими словами, для описания многомерных скручиваний: элементы K-группы пространства представлены векторными расслоениями над ним, поэтому лента Мёбиуса представляет собой элемент K-группы окружности. [40]

Топологическая K-теория была открыта Атья и Фридрихом Хирцебрухом [41], которые были вдохновлены доказательством Гротендика теоремы Гротендика–Римана–Роха и работой Ботта по теореме о периодичности . В этой статье обсуждалась только нулевая K-группа; вскоре после этого они расширили ее до K-групп всех степеней, [42] дав первый (нетривиальный) пример обобщенной теории когомологий .

Несколько результатов показали, что недавно введенная K-теория была в некотором смысле более мощной, чем обычная теория когомологий. Атья и Тодд [43] использовали K-теорию для улучшения нижних границ, найденных с использованием обычных когомологий Борелем и Серром для числа Джеймса, описывая, когда отображение из комплексного многообразия Штифеля в сферу имеет поперечное сечение. ( Позже Адамс и Грант-Уокер показали, что граница, найденная Атья и Тоддом, была наилучшей из возможных.) Атья и Хирцебрух [44] использовали K-теорию для объяснения некоторых связей между операциями Стинрода и классами Тодда , которые Хирцебрух заметил несколькими годами ранее. Первоначальное решение операций проблемы инварианта Хопфа один, предложенное Дж. Ф. Адамсом, было очень длинным и сложным, с использованием вторичных когомологических операций. Атья показал, как первичные операции в K-теории могут быть использованы для получения короткого решения, занимающего всего несколько строк, и в совместной работе с Адамсом [45] также доказал аналоги результата для нечетных простых чисел.

Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух (справа), создатели К-теории

Спектральная последовательность Атьи –Хирцебруха связывает обычные когомологии пространства с его обобщенной теорией когомологий. [42] (Атья и Хирцебрух использовали случай K-теории, но их метод работает для всех теорий когомологий).

Атья показал [46], что для конечной группы G теория K ее классифицирующего пространства BG изоморфна пополнению ее кольца характеров :

В том же году [47] они доказали результат для G любой компактной связной группы Ли . Хотя вскоре результат можно было распространить на все компактные группы Ли, включив результаты из диссертации Грэма Сигала , [48] это расширение было сложным. Однако было получено более простое и общее доказательство путем введения эквивариантной K-теории , т.е. классов эквивалентности G -векторных расслоений над компактным G -пространством X. [49] Было показано, что при подходящих условиях пополнение эквивариантной K-теории пространства X изоморфно обычной K -теории пространства, которая расслоена над BG со слоем X :

Исходный результат затем выводится как следствие, если взять X за точку: левая часть сводится к завершению R(G) , а правая к K(BG) . Подробнее см. теорему о завершении Атьи–Сигала .

Он определил новые обобщенные теории гомологии и когомологии, названные бордизмами и кобордизмами , и указал, что многие глубокие результаты о кобордизме многообразий, найденные Рене Томом , К. Т. С. Уоллом и другими, могут быть естественным образом переосмыслены как утверждения об этих теориях когомологии. [50] Некоторые из этих теорий когомологии, в частности комплексные кобордизмы, оказались одними из самых мощных известных теорий когомологии.

«Алгебра — это предложение, сделанное дьяволом математику. Дьявол говорит: «Я дам тебе эту мощную машину, она ответит на любой вопрос, какой только пожелаешь. Все, что тебе нужно сделать, это отдать мне свою душу: откажись от геометрии, и ты получишь эту чудесную машину».

Майкл Атья [51]

Он ввел [52] J-группу J ( X ) конечного комплекса X , определяемую как группа стабильных классов гомотопической эквивалентности слоев сферических расслоений ; позднее она была подробно изучена Дж. Ф. Адамсом в серии статей, что привело к гипотезе Адамса .

Совместно с Хирцебрухом он распространил теорему Гротендика–Римана–Роха на комплексные аналитические вложения [52] , а в связанной статье [53] они показали, что гипотеза Ходжа для целочисленных когомологий ложна. Гипотеза Ходжа для рациональных когомологий по состоянию на 2008 год является крупной нерешенной проблемой. [54]

Теорема о периодичности Ботта была центральной темой в работе Атьи по K-теории, и он неоднократно возвращался к ней, несколько раз перерабатывая доказательство, чтобы лучше его понять. С Боттом он разработал элементарное доказательство, [55] и дал другую его версию в своей книге. [56] С Боттом и Шапиро он проанализировал связь периодичности Ботта с периодичностью алгебр Клиффорда ; [57] хотя в этой статье не было доказательства теоремы о периодичности, доказательство в похожем ключе вскоре было найдено Р. Вудом. Он нашел доказательство нескольких обобщений с использованием эллиптических операторов ; [58] это новое доказательство использовало идею, которую он использовал, чтобы дать особенно короткое и простое доказательство исходной теоремы о периодичности Ботта. [59]

Теория индекса (1963–1984)

Изадор Сингер (в 1977 году), работавший с Атья над теорией индекса

Работа Атьи по теории индекса переиздана в 3-м и 4-м томах его собрания сочинений. [60] [61]

Индекс дифференциального оператора тесно связан с числом независимых решений (точнее, это разности чисел независимых решений дифференциального оператора и его сопряженного). В математике существует множество сложных и фундаментальных задач, которые легко сводятся к задаче нахождения числа независимых решений некоторого дифференциального оператора, поэтому, если у вас есть какие-то средства для нахождения индекса дифференциального оператора, эти задачи часто можно решить. Именно это и делает теорема Атьи–Зингера об индексе: она дает формулу для индекса определенных дифференциальных операторов в терминах топологических инвариантов, которые выглядят довольно сложными, но на практике обычно легко вычисляются. [ необходима цитата ]

Несколько глубоких теорем, таких как теорема Хирцебруха–Римана–Роха , являются частными случаями теоремы об индексе Атьи–Зингера. Фактически теорема об индексе дала более мощный результат, поскольку ее доказательство применялось ко всем компактным комплексным многообразиям, в то время как доказательство Хирцебруха работало только для проективных многообразий. Было также много новых приложений: типичным является вычисление размерностей пространств модулей инстантонов. Теорему об индексе можно также запустить «в обратном порядке»: индекс, очевидно, является целым числом, поэтому формула для нее также должна давать целое число, что иногда дает тонкие условия целочисленности для инвариантов многообразий. Типичным примером этого является теорема Рохлина , которая следует из теоремы об индексе. [ необходима цитата ]

Самый полезный совет, который я бы дал студенту-математику, — всегда относиться с подозрением к впечатляюще звучащей теореме, если у нее нет частного случая, который был бы одновременно простым и нетривиальным.

Майкл Атья [62]

Проблема индекса для эллиптических дифференциальных операторов была поставлена ​​в 1959 году Гельфандом . [63] Он заметил гомотопическую инвариантность индекса и попросил формулу для него с помощью топологических инвариантов . Некоторые из мотивирующих примеров включали теорему Римана–Роха и ее обобщение теорему Хирцебруха–Римана–Роха , а также теорему Хирцебруха о сигнатуре . Хирцебрух и Борель доказали целочисленность рода спинового многообразия, и Атья предположил, что эту целочисленность можно объяснить, если бы это был индекс оператора Дирака (который был переоткрыт Атья и Зингером в 1961 году).

Первое объявление о теореме Атьи–Зингера было сделано в их статье 1963 года. [64] Доказательство, изложенное в этом объявлении, было вдохновлено доказательством Хирцебруха теоремы Хирцебруха–Римана–Роха и никогда не публиковалось ими, хотя оно описано в книге Пале. [65] Их первое опубликованное доказательство [66] было больше похоже на доказательство Гротендика теоремы Гротендика–Римана–Роха , заменив теорию кобордизмов первого доказательства на K-теорию , и они использовали этот подход для доказательства различных обобщений в серии статей с 1968 по 1971 год.

Вместо одного эллиптического оператора можно рассмотреть семейство эллиптических операторов, параметризованных некоторым пространством Y . В этом случае индекс является элементом теории K для Y , а не целым числом. [67] Если операторы в семействе действительны, то индекс лежит в действительной теории K для Y . Это дает немного дополнительной информации, поскольку отображение из действительной теории K для Y в комплексную теорию K не всегда инъективно. [68]

Бывший студент Атьи Грэм Сигал (в 1982 году), который работал с Атьей над эквивариантной К-теорией

Совместно с Боттом Атья нашел аналог формулы Лефшеца для неподвижной точки для эллиптических операторов, задавая число Лефшеца эндоморфизма эллиптического комплекса в терминах суммы по неподвижным точкам эндоморфизма. [69] В качестве особых случаев их формула включала формулу характера Вейля и несколько новых результатов об эллиптических кривых с комплексным умножением, некоторые из которых изначально не были приняты во внимание экспертами. [70] Атья и Сигал объединили эту теорему о неподвижной точке с теоремой об индексе следующим образом. Если существует компактное групповое действие группы G на компактном многообразии X , коммутирующее с эллиптическим оператором, то можно заменить обычную K-теорию в теореме об индексе на эквивариантную K-теорию . Для тривиальных групп G это дает теорему об индексе, а для конечной группы G, действующей с изолированными неподвижными точками, это дает теорему Атьи–Ботта о неподвижной точке. В общем случае это дает индекс как сумму по подмногообразиям неподвижных точек группы G. [71 ]

Атья [72] решил проблему, заданную независимо Хермандером и Гельфандом, о том, определяют ли комплексные степени аналитических функций распределения . Атья использовал разрешение особенностей Хиронаки, чтобы ответить на этот вопрос утвердительно. Гениальное и элементарное решение было найдено примерно в то же время Дж . Бернштейном и обсуждалось Атья. [73]

В качестве приложения теоремы об эквивариантном индексе Атья и Хирцебрух показали, что многообразия с эффективными действиями окружности имеют исчезающий Â-род . [74] (Лихнерович показал, что если многообразие имеет метрику положительной скалярной кривизны, то Â-род равен нулю.)

Совместно с Элмером Рисом Атья изучал проблему связи между топологическими и голоморфными векторными расслоениями на проективном пространстве. Они решили простейший неизвестный случай, показав, что все векторные расслоения ранга 2 над проективным 3-пространством имеют голоморфную структуру. [75] Хоррокс ранее нашел несколько нетривиальных примеров таких векторных расслоений, которые позже были использованы Атья в его исследовании инстантонов на 4-сфере.

Рауль Ботт , который работал с Атья над формулами неподвижной точки и несколькими другими темами

Атья, Ботт и Виджай К. Патоди [76] дали новое доказательство теоремы об индексе, используя уравнение теплопроводности .

Если многообразию разрешено иметь границу, то на область определения эллиптического оператора должны быть наложены некоторые ограничения, чтобы обеспечить конечный индекс. Эти условия могут быть локальными (например, требование, чтобы сечения в области исчезали на границе) или более сложными глобальными условиями (например, требование, чтобы сечения в области решали некоторое дифференциальное уравнение). Локальный случай был разработан Атья и Боттом, но они показали, что многие интересные операторы (например, оператор сигнатуры ) не допускают локальных граничных условий. Для работы с этими операторами Атья, Патоди и Сингер ввели глобальные граничные условия, эквивалентные присоединению цилиндра к многообразию вдоль границы, а затем ограничению области теми сечениями, которые квадратично интегрируемы вдоль цилиндра, а также ввели инвариант Атьи–Патоди–Сингера eta . Это привело к серии статей по спектральной асимметрии [77], которые позже неожиданно использовались в теоретической физике , в частности в работе Виттена об аномалиях.

Пробелы, обсуждаемые Петровским, Атья, Боттом и Гордингом, аналогичны пространствам между ударными волнами сверхзвукового объекта.

Фундаментальные решения линейных гиперболических уравнений в частных производных часто имеют лакуны Петровского : области, где они тождественно исчезают. Они были изучены в 1945 году И. Г. Петровским , который нашел топологические условия, описывающие, какие области были лакунами. В сотрудничестве с Боттом и Ларсом Гордингом Атья написал три статьи, обновляющие и обобщающие работу Петровского. [78]

Атья [79] показал, как распространить теорему об индексе на некоторые некомпактные многообразия, на которые действует дискретная группа с компактным фактором. Ядро эллиптического оператора в общем случае бесконечномерно в этом случае, но можно получить конечный индекс, используя размерность модуля над алгеброй фон Неймана ; этот индекс в общем случае является действительным, а не целочисленным. Эта версия называется теоремой об индексе L 2 и была использована Атья и Шмидом [80] для того, чтобы дать геометрическую конструкцию, используя квадратично интегрируемые гармонические спиноры, дискретных серийных представлений Хариш-Чандры полупростых групп Ли . В ходе этой работы они нашли более элементарное доказательство фундаментальной теоремы Хариш-Чандры о локальной интегрируемости характеров групп Ли. [81]

Совместно с Х. Доннелли и И. Зингером он распространил формулу Хирцебруха (связывающую дефект сигнатуры в точках возврата модулярных поверхностей Гильберта со значениями L-функций) с действительных квадратичных полей на все вполне действительные поля. [82]

Калибровочная теория (1977–1985)

Слева два соседних монополя одинаковой полярности отталкиваются друг от друга, а справа два соседних монополя противоположной полярности образуют диполь . Это абелевы монополи; неабелевы, изученные Атья, более сложны.

Многие из его статей по калибровочной теории и смежным темам перепечатаны в 5-м томе его собрания сочинений. [83] Общей темой этих статей является изучение пространств модулей решений некоторых нелинейных уравнений в частных производных , в частности уравнений для инстантонов и монополей. Это часто включает в себя нахождение тонкого соответствия между решениями двух, казалось бы, совершенно разных уравнений. Ранним примером этого, который Атья использовал неоднократно, является преобразование Пенроуза , которое иногда может преобразовывать решения нелинейного уравнения над некоторым действительным многообразием в решения некоторых линейных голоморфных уравнений над другим комплексным многообразием.

В серии статей с несколькими авторами Атья классифицировал все инстантоны на 4-мерном евклидовом пространстве. Удобнее классифицировать инстантоны на сфере, поскольку она компактна, и это по сути эквивалентно классификации инстантонов на евклидовом пространстве, поскольку она конформно эквивалентна сфере, а уравнения для инстантонов конформно инвариантны. Совместно с Хитчином и Зингером [84] он вычислил размерность пространства модулей неприводимых самодвойственных связностей (инстантонов) для любого главного расслоения над компактным 4-мерным римановым многообразием ( теорема Атьи–Хитчина–Зингера ). Например, размерность пространства инстантонов SU 2 ранга k >0 равна 8 k −3. Для этого они использовали теорему Атьи–Зингера об индексе для вычисления размерности касательного пространства пространства модулей в точке; касательное пространство по сути является пространством решений эллиптического дифференциального оператора, заданного линеаризацией нелинейных уравнений Янга–Миллса. Эти модульные пространства были позже использованы Дональдсоном для построения его инвариантов 4-многообразий . Атья и Уорд использовали соответствие Пенроуза, чтобы свести классификацию всех инстантонов на 4-сфере к задаче алгебраической геометрии. [85] С Хитчином он использовал идеи Хоррокса, чтобы решить эту задачу, дав конструкцию ADHM всех инстантонов на сфере; Манин и Дринфельд нашли ту же конструкцию в то же время, что привело к совместной статье всех четырех авторов. [86] Атья переформулировал эту конструкцию с использованием кватернионов и написал неторопливый отчет об этой классификации инстантонов на евклидовом пространстве в виде книги. [87]

Математические задачи, которые были решены, или методы, возникшие в прошлом на основе физики, стали источником жизненной силы математики.

Майкл Атья [88]

Работа Атьи по пространствам модулей инстантонов была использована в работе Дональдсона по теории Дональдсона . Дональдсон показал, что пространство модулей инстантонов (степени 1) над компактным односвязным 4-многообразием с положительно определенной формой пересечения может быть компактифицировано, чтобы дать кобордизм между многообразием и суммой копий комплексного проективного пространства. Из этого он вывел, что форма пересечения должна быть суммой одномерных, что привело к нескольким впечатляющим приложениям к гладким 4-многообразиям, таким как существование неэквивалентных гладких структур на 4-мерном евклидовом пространстве. Дональдсон продолжил использовать другие пространства модулей, изученные Атьей, для определения инвариантов Дональдсона , что произвело революцию в изучении гладких 4-многообразий и показало, что они более тонкие, чем гладкие многообразия в любом другом измерении, а также совершенно отличаются от топологических 4-многообразий. Атья описал некоторые из этих результатов в обзорном докладе. [89]

Функции Грина для линейных уравнений в частных производных часто можно найти, используя преобразование Фурье для преобразования этого в алгебраическую задачу. Атья использовал нелинейную версию этой идеи. [90] Он использовал преобразование Пенроуза для преобразования функции Грина для конформно-инвариантного лапласиана в комплексный аналитический объект, который оказался по сути диагональным вложением пространства твисторов Пенроуза в его квадрат. Это позволило ему найти явную формулу для конформно-инвариантной функции Грина на 4-многообразии.

В своей статье с Джонсом [91] он изучал топологию пространства модулей инстантонов SU(2) над 4-сферой. Они показали, что естественное отображение из этого пространства модулей в пространство всех связей индуцирует эпиморфизмы групп гомологии в определенном диапазоне размерностей, и предположили, что оно может индуцировать изоморфизмы групп гомологии в том же диапазоне размерностей. Это стало известно как гипотеза Атьи–Джонса и было позже доказано несколькими математиками. [92]

Хардер и М.С. Нарасимхан описали когомологии пространств модулей стабильных векторных расслоений над римановыми поверхностями , подсчитав число точек пространств модулей над конечными полями, а затем используя гипотезы Вейля для восстановления когомологий над комплексными числами. [93] Атья и Р. Ботт использовали теорию Морса и уравнения Янга–Миллса над римановой поверхностью для воспроизведения и расширения результатов Хардера и Нарасимхана. [94]

Старый результат, полученный Шуром и Хорном, утверждает, что множество возможных диагональных векторов эрмитовой матрицы с заданными собственными значениями является выпуклой оболочкой всех перестановок собственных значений. Атья доказал обобщение этого, которое применимо ко всем компактным симплектическим многообразиям, на которые действует тор, показывая, что образ многообразия при отображении моментов является выпуклым многогранником, [95] и вместе с Прессли дал связанное обобщение на бесконечномерные группы петель. [96]

Дюйстермаат и Хекман нашли поразительную формулу, гласящую, что толчок вперед меры Лиувилля отображения момента для действия тора задается точно приближением стационарной фазы (которое в общем случае является просто асимптотическим разложением, а не точным). Атья и Ботт [97] показали, что это может быть выведено из более общей формулы в эквивариантных когомологиях , которая была следствием хорошо известных теорем локализации . Атья показал [98] , что отображение момента тесно связано с геометрической теорией инвариантов , и эта идея была позже развита гораздо дальше его студентом Ф. Кирваном . Вскоре после этого Виттен применил формулу Дюйстермаата–Хекмана к пространствам петель и показал, что это формально дает теорему Атьи–Зингера об индексе для оператора Дирака; эта идея была прочитана на лекциях Атьи. [99]

С Хитчином он работал над магнитными монополями и изучал их рассеяние, используя идею Ника Мэнтона . [100] Его книга [101] с Хитчином дает подробное описание их работы над магнитными монополями . Основная тема книги - изучение пространства модулей магнитных монополей ; оно имеет естественную риманову метрику, и ключевым моментом является то, что эта метрика является полной и гиперкэлеровой . Затем метрика используется для изучения рассеяния двух монополей, используя предположение Н. Мэнтона о том, что геодезический поток на пространстве модулей является низкоэнергетическим приближением к рассеянию. Например, они показывают, что лобовое столкновение между двумя монополями приводит к 90-градусному рассеянию, причем направление рассеяния зависит от относительных фаз двух монополей. Он также изучал монополи на гиперболическом пространстве. [102]

Атья показал [103] , что инстантоны в 4 измерениях можно отождествить с инстантонами в 2 измерениях, с которыми гораздо проще работать. Конечно, есть подвох: при переходе от 4 к 2 измерениям структурная группа калибровочной теории меняется с конечномерной группы на бесконечномерную петлевую группу. Это дает еще один пример, когда пространства модулей решений двух, казалось бы, не связанных нелинейных уравнений в частных производных оказываются по сути одинаковыми.

Атья и Сингер обнаружили, что аномалии в квантовой теории поля можно интерпретировать в терминах теории индекса оператора Дирака; [104] эта идея впоследствии стала широко использоваться физиками.

Поздние работы (1986–2019)

Эдвард Виттен , чьи работы по инвариантам многообразий и топологическим квантовым теориям поля находились под влиянием Атьи

Многие из статей в 6-м томе [105] его собрания сочинений являются обзорами, некрологами и общими докладами. Атья продолжал публиковаться впоследствии, включая несколько обзоров, популярную книгу [106] и еще одну статью с Сигалом по скрученной K-теории .

Одна из статей [107] представляет собой подробное исследование эта-функции Дедекинда с точки зрения топологии и теоремы об индексе.

Несколько его статей, написанных в это время, изучают связи между квантовой теорией поля , узлами и теорией Дональдсона . Он ввел концепцию топологической квантовой теории поля , вдохновленную работой Виттена и определением Сигалом конформной теории поля. [108] Его книга «Геометрия и физика узлов» [109] описывает новые инварианты узлов, найденные Воганом Джонсом и Эдвардом Виттеном в терминах топологических квантовых теорий поля, а его статья с Л. Джеффри [110] объясняет лагранжиан Виттена, давая инварианты Дональдсона .

Он изучал скирмионы совместно с Ником Мэнтоном [111] , найдя связь с магнитными монополями и инстантонами и выдвинув гипотезу о структуре пространства модулей двух скирмионов как некоторого подфактора комплексного проективного 3-пространства .

Несколько статей [112] были вдохновлены вопросом Джонатана Роббинса (называемым проблемой Берри–Роббинса ), который спрашивал, существует ли отображение из конфигурационного пространства n точек в 3-мерном пространстве на флаговое многообразие унитарной группы. Атья дал утвердительный ответ на этот вопрос, но посчитал, что его решение слишком вычислительно, и изучил гипотезу, которая дала бы более естественное решение. Он также связал вопрос с уравнением Нама и ввел гипотезу Атьи о конфигурациях .

Но для большинства практических целей вы просто используете классические группы. Исключительные группы Ли нужны только для того, чтобы показать вам, что теория немного больше; они встречаются довольно редко.

Майкл Атья [113]

С Хуаном Малдасеной и Кумруном Вафой [ 114] и Э. Виттеном [115] он описал динамику М-теории на многообразиях с голономией G2 . Эти работы, по-видимому, являются первым случаем, когда Атья работал над исключительными группами Ли.

В своих работах с М. Хопкинсом [116] и Дж. Сигалом [117] он вернулся к своему раннему интересу к К-теории, описав некоторые извращенные формы К-теории с приложениями в теоретической физике .

В октябре 2016 года он заявил [118] короткое доказательство несуществования сложных структур на 6-сфере. Его доказательство, как и многих предшественников, математическое сообщество считает ошибочным, даже после того, как доказательство было переписано в исправленной форме. [119] [120]

На Гейдельбергском форуме лауреатов 2018 года он заявил, что решил гипотезу Римана , восьмую проблему Гильберта , методом от противного, используя постоянную тонкой структуры . Опять же, доказательство не выдержало испытания, и гипотеза остаётся одной из шести нерешённых проблем премии тысячелетия по математике по состоянию на 2024 год. [121] [122]

Библиография

Книги

В этом подразделе перечислены все книги, написанные Атьей; в него не включены несколько книг, которые он редактировал.

Избранные статьи

Награды и почести

Помещение Королевского общества , где Атья был президентом с 1990 по 1995 год.

В 1966 году, когда ему было тридцать семь лет, он был награжден медалью Филдса [123] за работу по разработке К-теории, обобщенной теоремы Лефшеца о неподвижной точке и теоремы Атьи–Зингера, за которую он также получил премию Абеля совместно с Изадором Зингером в 2004 году. [124] Среди других наград, которые он получил, — Королевская медаль Королевского общества в 1968 году, [125] медаль де Моргана Лондонского математического общества в 1980 году, премия Антонио Фельтринелли от Национальной академии наук деи Линчеи в 1981 году, Международная премия короля Фейсала за науку в 1987 году, [126] медаль Копли Королевского общества в 1988 году, [127] медаль Бенджамина Франклина за выдающиеся достижения в области наук Американского философского общества в 1993 г., [128] медаль в честь столетия со дня рождения Джавахарлала Неру от Индийской национальной академии наук в 1993 г., [129] медаль президента от Института физики в 2008 г., [130] Большая медаль Французской академии наук в 2010 г. [131] и высший офицер французского ордена Почетного легиона в 2011 г. [132]

Он был избран иностранным членом Национальной академии наук , Американской академии искусств и наук (1969), [133] Академии наук , Академии Леопольдина , Королевской шведской академии , Королевской ирландской академии , Королевского общества Эдинбурга , Американского философского общества , Индийской национальной академии наук , Китайской академии наук , Австралийской академии наук , Российской академии наук , Украинской академии наук , Грузинской академии наук , Венесуэльской академии наук, Норвежской академии наук и литературы , Королевской испанской академии наук , Академии деи Линчеи и Московского математического общества . [8] [12] В 2012 году он стал членом Американского математического общества . [134] Он также был назначен почетным членом [135] Королевской инженерной академии [135] в 1993 году.

Атья был удостоен почетных степеней университетов Бирмингема, Бонна, Чикаго, Кембриджа, Дублина, Дарема, Эдинбурга, Эссекса, Гента, Хельсинки, Ливана, Лестера, Лондона, Мексики, Монреаля, Оксфорда, Рединга, Саламанки, Сент-Эндрюса, Сассекса, Уэльса, Уорика, Американского университета Бейрута, Брауновского университета, Карлова университета в Праге, Гарвардского университета, университета Хериот-Уотта, Гонконга (китайского университета), Килского университета, Королевского университета (Канада), Открытого университета, Университета Ватерлоо, Университета Уилфрида Лорье, Технического университета Каталонии и UMIST. [8] [12] [136] [137]

В 1983 году Атья был удостоен звания рыцаря-бакалавра [8] , а в 1992 году стал членом Ордена «За заслуги» . [12]

В его честь названы здание имени Майкла Атьи [138] в Университете Лестера и кафедра математических наук имени Майкла Атьи [139] в Американском университете Бейрута .

Личная жизнь

Атья женился на Лили Браун 30 июля 1955 года, у них было трое сыновей: Джон, Дэвид и Робин. Старший сын Атьи Джон умер 24 июня 2002 года во время пешего отпуска в Пиренеях со своей женой Май-Лис.

Лили Атья умерла 13 марта 2018 года в возрасте 90 лет [4] [6] [8] , а сэр Майкл Атья умер менее чем через год, 11 января 2019 года, в возрасте 89 лет. [140] [141]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Atiyah, Michael Francis (1955). Некоторые приложения топологических методов в алгебраической геометрии. repository.cam.ac.uk (диссертация). Кембриджский университет. Архивировано из оригинала 18 ноября 2017 г. . Получено 17 ноября 2017 г. .
  2. ^ abcde Майкл Атья в проекте «Генеалогия математики»
  3. ^ Хитчин, Найджел Дж. (1972). Дифференцируемые многообразия: пространство гармонических спиноров. bodleian.ox.ac.uk (диссертация доктора философии). Оксфордский университет. OCLC  500473357. EThOS  uk.bl.ethos.459281.[ постоянная мертвая ссылка ]
  4. ^ Аб О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Майкл Атья», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
  5. ^ "ATIYAH, Sir Michael (Francis)" . Who's Who . Vol. 2014 (онлайн-издание через Oxford University Press  ed.). A & C Black. (Требуется подписка или членство в публичной библиотеке Великобритании.)
  6. ^ аб Атья, Джо (2007), Семья Атья , получено 14 августа 2008 г.
  7. ↑ Раафат, Самир, Колледж Виктории: образование элиты, 1902−1956, архивировано из оригинала 16 апреля 2008 г. , извлечено 14 августа 2008 г.
  8. ^ abcdefg Атья 1988a, стр. xi
  9. ^ «Выдающийся математик и сторонник гуманизма».
  10. ^ "[Президенты Архимеды]". Архимеды: предыдущие комитеты и должностные лица . Архивировано из оригинала 26 августа 2019 года . Получено 10 апреля 2019 года .
  11. ↑ Батра, Амба (8 ноября 2003 г.), Математический гуру с мечтой Эйнштейна предпочитает мел мыши. (Интервью с Атьей.), Делийская новостная лента, архивировано из оригинала 8 февраля 2009 г. , извлечено 14 августа 2008 г.
  12. ^ abcdef Атья 2004, стр. ix
  13. ^ "Атья и Сингер получают премию Абеля 2004 года" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 51 (6): 650–651, 2006, архивировано (PDF) из оригинала 10 сентября 2008 г. , извлечено 14 августа 2008 г.
  14. ↑ Объявление Королевского общества Эдинбурга, архивировано из оригинала 20 ноября 2008 г. , извлечено 14 августа 2008 г.
  15. ^ «Годовой отчет и сводные счета Фонда Джеймса Клерка Максвелла» (PDF) . 2019.
  16. ^ Атья, Майкл (2014). «Фридрих Эрнст Петер Хирцебрух 17 октября 1927 г. – 27 мая 2012 г.» . Биографические мемуары членов Королевского общества . 60 : 229–247. doi : 10.1098/rsbm.2014.0010 .
  17. ^ "Эдвард Виттен – Приключения в физике и математике (лекция Киотской премии 2014 г.)" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 23 августа 2016 г. . Получено 30 октября 2016 г. .
  18. ^ Атья 2004, стр. 9
  19. ^ Атья 1988a, стр. 2
  20. ^ Александр Шапиро в проекте «Генеалогия математики»
  21. ↑ Атья 2004, стр. xi–xxv
  22. ^ "Эдвард Виттен – Приключения в физике и математике" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 23 августа 2016 года . Получено 30 октября 2016 года .
  23. ^ Атья 1988a, документ 12, стр. 233
  24. ^ Атья 2004, стр. 10
  25. ^ Атья 1988a, стр. 307
  26. ↑ Интервью с Майклом Атья, superstringtheory.com, заархивировано из оригинала 14 сентября 2008 г. , извлечено 14 августа 2008 г.
  27. ^ Атья и Макдональд 1969
  28. ^ Атья 1988a
  29. ^ Атья 1988a, статья 1
  30. ^ Атья 1988a, статья 2
  31. ^ Атья 1988a, стр. 1
  32. ^ Атья 1988a, статьи 3, 4
  33. ^ Атья 1988a, статья 5
  34. ^ Атья 1988a, статья 7
  35. ^ Атья 1988a, статья 8
  36. ^ Мацуки 2002.
  37. ^ Барт и др. 2004
  38. ^ Атья 1989
  39. ^ Атья 1988б
  40. ^ Атья, Майкл (2000). «Прошлое и настоящее теории К». arXiv : math/0012213 .
  41. ^ Атья 1988b, статья 24
  42. ^ ab Атья 1988b, статья 28
  43. ^ Атья 1988b, статья 26
  44. ^ Атья 1988a, статьи 30,31
  45. ^ Атья 1988b, статья 42
  46. ^ Атья 1961
  47. ^ Атья и Хирцебрух 1961
  48. ^ Сигал 1968
  49. ^ Атья и Сигал 1969
  50. ^ Атья 1988b, статья 34
  51. ^ Атия 2004, статья 160, стр. 7
  52. ^ ab Атья 1988b, статья 37
  53. ^ Атья 1988b, статья 36
  54. ^ Делинь, Пьер, Гипотеза Ходжа (PDF) , The Clay Math Institute, архивировано из оригинала (PDF) 27 августа 2008 г. , извлечено 14 августа 2008 г.
  55. ^ Атья 1988b, статья 40
  56. ^ Атья 1988b, статья 45
  57. ^ Атья 1988b, статья 39
  58. ^ Атья 1988b, статья 46
  59. ^ Атья 1988b, статья 48
  60. ^ Атья 1988c
  61. ^ Атья 1988d
  62. ^ Атия 1988a, статья 17, стр. 76
  63. ^ Гельфанд 1960
  64. ^ Атья и Сингер 1963
  65. ^ Дворец 1965
  66. ^ Атья и Сингер 1968a
  67. ^ Атья 1988c, статья 67
  68. ^ Атья 1988c, статья 68
  69. ^ Атья 1988c, статьи 61, 62, 63.
  70. ^ Атья 1988c, стр. 3
  71. ^ Атья 1988c, статья 65
  72. ^ Атья 1988c, статья 73
  73. ^ Атья 1988a, статья 15
  74. ^ Атья 1988c, статья 74
  75. ^ Атья 1988c, статья 76
  76. ^ Атья, Ботт и Патодий 1973
  77. ^ Атья 1988d, статьи 80–83.
  78. ^ Атья 1988d, статьи 84, 85, 86.
  79. ^ Атья 1976
  80. ^ Атья и Шмид 1977
  81. ^ Атья 1988d, статья 91
  82. ^ Атья 1988d, статьи 92, 93
  83. ^ Атья 1988e.
  84. ^ Атья 1988e, статьи 94, 97
  85. ^ Атья 1988e, статья 95
  86. ^ Атья 1988e, статья 96
  87. ^ Атья 1988e, статья 99
  88. ^ Атия 1988a, статья 19, стр. 13
  89. ^ Атья 1988e, статья 112
  90. ^ Атья 1988e, статья 101
  91. ^ Атья 1988e, статья 102
  92. ^ Бойер и др. 1993
  93. ^ Хардер и Нарасимхан 1975
  94. ^ Атия 1988e, статьи 104–105.
  95. ^ Атья 1988e, статья 106
  96. ^ Атья 1988e, статья 108
  97. ^ Атья 1988e, статья 109
  98. ^ Атья 1988e, статья 110
  99. ^ Атья 1988e, статья 124
  100. ^ Атья 1988e, статьи 115, 116.
  101. ^ Атья и Хитчин 1988
  102. ^ Атья 1988e, статья 118
  103. ^ Атья 1988e, статья 117
  104. ^ Атья 1988e, статьи 119, 120, 121.
  105. ^ Майкл Атья 2004
  106. ^ Атья 2007
  107. ^ Атья 2004, статья 127
  108. ^ Атья 2004, статья 132
  109. ^ Атья 1990
  110. ^ Атья 2004, статья 139
  111. ^ Атья 2004, статьи 141, 142.
  112. ^ Атья 2004, статьи 163, 164, 165, 166, 167, 168.
  113. ^ Атия 1988a, статья 19, стр. 19
  114. ^ Атья 2004, статья 169
  115. ^ Атья 2004, статья 170
  116. ^ Атья 2004, статья 172
  117. ^ Атья 2004, статья 173
  118. ^ Атья, Майкл (2016). «Несуществующая комплексная 6-сфера». arXiv : 1610.09366 [math.DG].
  119. ^ Каково текущее понимание сложных структур на 6-сфере? (MathOverflow) , получено 24 сентября 2018 г.
  120. ↑ Статья Атьи от мая 2018 года о 6-сфере (MathOverflow) , получена 24 сентября 2018 года.
  121. ^ «Скептицизм окружает попытку известного математика доказать гипотезу 160-летней давности». Наука | AAAS . 24 сентября 2018 г. Архивировано из оригинала 26 сентября 2018 г. Получено 26 сентября 2018 г.
  122. ^ "Гипотеза Римана, вероятно, остается нерешенной, несмотря на заявленное доказательство". Архивировано из оригинала 24 сентября 2018 г. Получено 24 сентября 2018 г.
  123. ↑ Ссылка на медаль Филдса: Картан, Анри (1968), «L'oeuvre de Michael F. Atiyah», Труды Международной конференции математиков (Москва, 1966) , Издательство «Мир» , Москва, стр. 9–14
  124. ^ "2004: Сэр Майкл Фрэнсис Атья и Изадор М. Сингер". www.abelprize.no . Получено 22 августа 2022 г. .
  125. ↑ Королевский архив победителей 1989–1950 гг., архивировано с оригинала 9 июня 2008 г. , извлечено 14 августа 2008 г.
  126. ↑ Сэр Майкл Атья, FRS, Институт Ньютона, архивировано из оригинала 31 мая 2008 г. , извлечено 14 августа 2008 г.
  127. ↑ Архив победителей Копли 1989–1900, архивировано из оригинала 9 июня 2008 г. , извлечено 14 августа 2008 г.
  128. ^ "Лауреаты медали Бенджамина Франклина за выдающиеся достижения в науке". Американское философское общество . Архивировано из оригинала 24 сентября 2012 года . Получено 27 ноября 2011 года .
  129. ↑ Медаль в честь столетия со дня рождения Джавахарлала Неру, архивировано из оригинала 10 июля 2012 г. , извлечено 14 августа 2008 г.
  130. ↑ Медаль президента 2008 года , получена 14 августа 2008 года.
  131. ↑ La Grande Medaille, архивировано из оригинала 1 августа 2010 г. , извлечено 25 января 2011 г.
  132. ↑ Legion d'honneur, архивировано из оригинала 24 сентября 2011 г. , извлечено 11 сентября 2011 г.
  133. ^ "Book of Members, 1780-2010: Chapter A" (PDF) . Американская академия искусств и наук. Архивировано (PDF) из оригинала 10 мая 2011 г. . Получено 27 апреля 2011 г. .
  134. ↑ Список членов Американского математического общества. Архивировано 5 августа 2013 г. на Wayback Machine , получено 3 ноября 2012 г.
  135. ^ ab "Список стипендиатов". Архивировано из оригинала 8 июня 2016 года . Получено 28 октября 2014 года .
  136. ^ "Heriot-Watt University Edinburgh: Honorary Graduates". www1.hw.ac.uk . Архивировано из оригинала 18 апреля 2016 года . Получено 4 апреля 2016 года .
  137. ↑ Почетные доктора Карлова университета в Праге , дата обращения 4 мая 2018 г.
  138. ↑ Здание Майкла Атьи, архивировано из оригинала 9 февраля 2009 г. , извлечено 14 августа 2008 г.
  139. ↑ Американский университет Бейрута учреждает кафедру Майкла Атьи по математическим наукам, архивировано из оригинала 3 апреля 2008 г. , извлечено 14 августа 2008 г.
  140. ^ "Майкл Атья 1929-2019". Математический институт Оксфордского университета. 11 января 2019 г. Архивировано из оригинала 11 января 2019 г. Получено 11 января 2019 г.
  141. ^ "Дань уважения бывшему президенту Королевского общества сэру Майклу Атья OM FRS (1929 - 2019)". Королевское общество. 11 января 2019 г. Архивировано из оригинала 11 января 2019 г. Получено 11 января 2019 г.

Источники

Внешние ссылки