Теория Морса

Анализирует топологию многообразия, изучая дифференцируемые функции на этом многообразии.

В математике , особенно в дифференциальной топологии , теория Морса позволяет анализировать топологию многообразия путем изучения дифференцируемых функций на этом многообразии. Согласно основным идеям Марстона Морса , типичная дифференцируемая функция на многообразии будет совершенно напрямую отражать топологию. Теория Морса позволяет находить структуры CW и обрабатывать разложения на многообразиях, а также получать существенную информацию об их гомологии .

До Морса Артур Кэли и Джеймс Клерк Максвелл развили некоторые идеи теории Морса в контексте топографии . Первоначально Морс применил свою теорию к геодезике ( критическим точкам энергетического функционала в пространстве путей). Эти методы были использованы Раулем Боттом при доказательстве его теоремы о периодичности .

Аналогом теории Морса для комплексных многообразий является теория Пикара–Лефшеца .

Базовые концепты

Седловая точка

Для иллюстрации рассмотрим поверхность гористого ландшафта (в более общем смысле — многообразие ). Если функция, задающая высоту каждой точки, то прообраз точки в является контурной линией (в более общем смысле, набором уровней ). Каждый связный компонент контурной линии представляет собой либо точку, либо простую замкнутую кривую , либо замкнутую кривую с двойной точкой . Горизонтали могут иметь и точки более высокого порядка (тройные точки и т. д.), но они неустойчивы и могут быть удалены при незначительной деформации ландшафта. Двойные точки на контурных линиях встречаются в седловых точках или перевалах, где окружающий ландшафт изгибается вверх в одном направлении и вниз в другом. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Контурные линии вокруг седловой точки

Представьте, что вы затопили этот ландшафт водой. Когда вода достигает отметки , подводная поверхность представляет собой точки с возвышением или ниже. Рассмотрим, как меняется топология этой поверхности по мере подъема воды. Он выглядит неизменным, за исключением случаев, когда проходит высота критической точки , где градиент равен (в более общем смысле, матрица Якоби , действующая как линейное отображение между касательными пространствами, не имеет максимального ранга ). Другими словами, топология не меняется, за исключением случаев, когда вода (1) начинает заполнять бассейн, (2) покрывает седловину ( горный перевал ) или (3) затопляет вершину. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle M^{a}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,f^{-1}(-\infty ,a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M^{a}}$

Тор

Этим трем типам критических точек — впадинам, проходам и пикам (т. е. минимумам, седлам и максимумам) — соответствует число, называемое индексом, число независимых направлений, в которых уменьшается от точки. Точнее, индекс невырожденной критической точки - это размерность наибольшего подпространства касательного пространства , на котором гессиан отрицательно определен . Индексы бассейнов, перевалов и вершин – и соответственно. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0,1,}$ ${\displaystyle 2,}$

Рассматривая более общую поверхность, пусть это тор, ориентированный, как на рисунке, со снова взятием точки на высоту над плоскостью. Можно еще раз проанализировать, как меняется топология подводной поверхности при повышении уровня воды . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$

Цилиндр (вверху справа), образованный когда , гомотопически эквивалентен 1-клетке, прикрепленной к диску (внизу слева). ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle f(q)<a<f(r)}$

Тор с удаленным диском (вверху справа), образованный при , гомотопически эквивалентен 1-клетке, прикрепленной к цилиндру (внизу слева). ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle f(r)<a<f(s)}$

Пусть, начиная с низа тора, и — четыре критические точки индекса и, соответствующие впадине, двум седлам и пику соответственно. Если меньше, то набор пуст. After проходит уровень, когда then is a disk , который гомотопически эквивалентен точке (0-клетке), «присоединенной» к пустому множеству. Далее, когда превышает уровень, а затем является цилиндром и гомотопически эквивалентен диску с прикрепленной 1-клеткой (изображение слева). Однажды проходит уровень, а затем представляет собой тор с удаленным диском, что гомотопически эквивалентно цилиндру с прикрепленной 1-клеткой (изображение справа). Наконец, когда уровень превышает критический уровень , это тор, т.е. тор с диском (двухячеечным), удаленным и вновь прикрепленным. ${\displaystyle p,q,r,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 0,1,1,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(p)=0,}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle 0<a<f(q),}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle f(q)<a<f(r),}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle f(r)<a<f(s),}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle M^{a}}$

Это иллюстрирует следующее правило: топология не меняется, за исключением случаев, когда высота превышает критическую точку; в этот момент к -ячейке присоединяется , где - индекс точки. Это не касается того, что происходит, когда две критические точки находятся на одной высоте, что можно устранить небольшим возмущением. В случае ландшафта или многообразия, встроенного в евклидово пространство , это возмущение может просто слегка наклоняться, вращая координату. система. ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f.}$

Необходимо позаботиться о том, чтобы критические точки не вырождались. Чтобы увидеть, что может создать проблему, пусть и пусть Тогда является критической точкой, но топология не меняется при проходах. Проблема в том, что вторая производная равна нулю , а критическая точка вырождена. Эта ситуация неустойчива, так как при незначительной деформации до вырожденная критическая точка либо удаляется ( ), либо распадается на две невырожденные критические точки ( ). ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f''(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}+\epsilon x}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \epsilon <0}$

Формальное развитие

Для вещественнозначной гладкой функции на дифференцируемом многообразии точки, в которых дифференциал равен нулю , называются критическими точками , а их образы под — критическими значениями . Если в критической точке матрица вторых частных производных ( матрица Гессе ) неособа, то называется ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$невырожденная критическая точка ; если гессиан сингулярный, тоэто ${\displaystyle p}$вырожденная критическая точка .

Для функций

$${\displaystyle f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots }$$

седла обезьяны ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b=0,}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+cx^{2}+\cdots }$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+dx^{3}+\cdots }$

Индексом невырожденной критической точки является размерность наибольшего подпространства касательного пространства , на котором гессиан отрицательно определен . Это соответствует интуитивному представлению о том, что индекс – это количество направлений, в которых уменьшается. Вырождение и индекс критической точки не зависят от выбора используемой локальной системы координат, как показывает закон Сильвестра . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$

Лемма Морса

Пусть – невырожденная критическая точка Тогда существует карта в окрестности такая, что для всех и ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f:M\to R.}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{i}(p)=0}$ ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle f(x)=f(p)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\gamma }^{2}+x_{\gamma +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$$

изолированыКомплексную лемму МорсаЛемму Морса – Пале ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

Основные теоремы

Гладкая вещественная функция на многообразии называется функцией Морса, если она не имеет вырожденных критических точек. Основной результат теории Морса гласит, что почти все функции являются функциями Морса. Технически функции Морса образуют открытое плотное подмножество всех гладких функций топологии . Иногда это выражается как «типичная функция — Морзе» или « общая функция — Морзе». ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{2}}$

Как указывалось ранее, нас интересует вопрос о том, когда меняется топология . Половину ответа на этот вопрос дает следующая теорема. ${\displaystyle M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]}$ ${\displaystyle a}$

Теорема. Предположим, что гладкая вещественная функция на компактна и нет критических значений между и Тогда диффеоморфна и деформация стягивается на ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle a<b,}$ ${\displaystyle f^{-1}[a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle M^{b},}$ ${\displaystyle M^{b}}$ ${\displaystyle M^{a}.}$

Также интересно знать, как меняется топология при прохождении критической точки. Следующая теорема отвечает на этот вопрос. ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$

Теорема. Предположим, что это гладкая вещественная функция на и является невырожденной критической точкой индекса, и что Предположим компактно и не содержит никаких критических точек, кроме Тогда гомотопически эквивалентно с присоединенной -клеткой . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle f(p)=q.}$ ${\displaystyle f^{-1}[q-\varepsilon ,q+\varepsilon ]}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle M^{q+\varepsilon }}$ ${\displaystyle M^{q-\varepsilon }}$ ${\displaystyle \gamma }$

Эти результаты обобщают и формализуют «правило», изложенное в предыдущем разделе.

Используя два предыдущих результата и тот факт, что на любом дифференцируемом многообразии существует функция Морса, можно доказать, что любое дифференцируемое многообразие является комплексом CW с -клеткой для каждой критической точки индекса. Для этого нужен технический факт, что можно организовать наличие одной критической точки на каждом критическом уровне, что обычно доказывается использованием градиентных векторных полей для перестановки критических точек. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n.}$

Неравенства Морса

Теорию Морса можно использовать для доказательства некоторых сильных результатов о гомологии многообразий. Число критических точек индекса равно числу ячеек в структуре КС, полученной в результате «лазания». Используя тот факт, что знакопеременная сумма рангов групп гомологии топологического пространства равна знакопеременной сумме ранги групп цепочек, из которых вычисляются гомологии, то с помощью групп клеточных цепей (см. клеточные гомологии ) становится ясно, что эйлерова характеристика равна сумме ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle \chi (M)}$

$${\displaystyle \sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,=\chi (M)}$$

^{гомологиигруппы}Бетти ${\displaystyle C^{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle b_{\gamma }(M)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M.}$Неравенства Морса

$${\displaystyle C^{\gamma }-C^{\gamma -1}\pm \cdots +(-1)^{\gamma }C^{0}\geq b_{\gamma }(M)-b_{\gamma -1}(M)\pm \cdots +(-1)^{\gamma }b_{0}(M).}$$

В частности, для любого

$${\displaystyle \gamma \in \{0,\ldots ,n=\dim M\},}$$

$${\displaystyle C^{\gamma }\geq b_{\gamma }(M).}$$

Это дает мощный инструмент для изучения топологии многообразий. Предположим, что на замкнутом многообразии существует функция Морса ровно с k критическими точками. Каким образом ограничивается существование функции ? Случай изучал Жорж Риб в 1952 году; Теорема Риба о сфере утверждает, что она гомеоморфна сфере. Этот случай возможен только в небольшом количестве малых размерностей, и M гомеоморфно многообразию Илса – Койпера . В 1982 году Эдвард Виттен разработал аналитический подход к неравенствам Морса, рассматривая комплекс де Рама для возмущенного оператора ^{[1] [2]} ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{n}.}$ ${\displaystyle k=3}$ ${\displaystyle d_{t}=e^{-tf}de^{tf}.}$

Приложение к классификации замкнутых 2-многообразий

Теория Морса использовалась для классификации замкнутых 2-многообразий с точностью до диффеоморфизма. Если ориентирован, то классифицируется по своему роду и диффеоморфен сфере с ручками: таким образом, if диффеоморфен 2-сфере; и if диффеоморфен связной сумме 2 -торов. Если неориентируемо, то оно классифицируется числом и диффеоморфно связной сумме вещественных проективных пространств. В частности, два замкнутых 2-многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда они диффеоморфны. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g>0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g>0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}.}$

Гомологии Морса

Гомологии Морса — особенно простой способ понять гомологии гладких многообразий . Он определяется с использованием общего выбора функции Морса и римановой метрики . Основная теорема состоит в том, что полученные гомологии являются инвариантом многообразия (т. е. не зависят от функции и метрики) и изоморфны сингулярным гомологиям многообразия; это означает, что числа Морса и сингулярные числа Бетти совпадают, и дает немедленное доказательство неравенств Морса. Бесконечномерный аналог гомологии Морса в симплектической геометрии известен как гомологии Флоера .

Теория Морса – Ботта

Понятие функции Морса можно обобщить для рассмотрения функций, имеющих невырожденные многообразия критических точек. АФункция Морса–Ботта — это гладкая функция на многообразии, критическое множество которой представляет собой замкнутое подмногообразие и гессиан которого невырожден в нормальном направлении. (Точно говоря, ядро ​​гессиана в критической точке равно касательному пространству к критическому подмногообразию.) Функция Морса — это частный случай, когда критические многообразия нульмерны (поэтому гессиан в критических точках невырожден в каждом направление, то есть не имеет ядра).

Индекс наиболее естественно рассматривать как пару

$${\displaystyle \left(i_{-},i_{+}\right),}$$

${\displaystyle i_{-}}$ ${\displaystyle i_{+}}$ ${\displaystyle i_{-}}$ ${\displaystyle i_{-}}$ ${\displaystyle i_{+}.}$

Функции Морса – Ботта полезны, потому что с общими функциями Морса трудно работать; Функции, которые можно визуализировать и с помощью которых можно легко вычислить, обычно обладают симметрией. Они часто приводят к критическим многообразиям положительной размерности. Рауль Ботт использовал теорию Морса-Ботта в своем оригинальном доказательстве теоремы о периодичности Ботта .

Круглые функции являются примерами функций Морса – Ботта, где критические множества представляют собой (непересекающиеся объединения) кругов.

Гомологии Морса также можно сформулировать для функций Морса – Ботта; дифференциал в гомологиях Морса–Ботта вычисляется с помощью спектральной последовательности . Фредерик Буржуа набросал подход в ходе своей работы над версией симплектической теории поля Морса – Ботта, но эта работа так и не была опубликована из-за существенных аналитических трудностей.

Смотрите также

• Теория мин-макса Альмгрена – Питтса
• Цифровая теория Морса  - цифровая адаптация континуальной теории Морса для данных скалярного объема.
• Дискретная теория Морса
• набор Якоби
• Лагранжев грассманиан  - пространство лагранжевых подпространств фиксированного симплектического векторного пространства.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• категория Люстерника–Шнирельмана  – целочисленный гомотопический инвариант пространств; размер минимального открытого покрытия, состоящего из сжимаемых наборовPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Система Морса – Смейла
• Теорема о горном перевале  - математическая теорема о достаточном условии существования седловой точки.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Лемма Сарда  - Теорема математического анализа.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Стратифицированная теория Морса

Рекомендации

1. Виттен, Эдвард (1982). «Суперсимметрия и теория Морса». Дж. Дифференциальная геометрия. 17 (4): 661–692. дои : 10.4310/jdg/1214437492 .
2. Роу, Джон (1998). Эллиптические операторы, топология и асимптотический метод . Исследовательские заметки Питмана в серии «Математика». Том. 395 (2-е изд.). Лонгман. ISBN 0582325021.
3. Смейл 1994 ^{[ нужна полная цитата ]} harvnb error: no target: CITEREFSmale1994 (help)
4. Голд, Дэвид Б. (1982). Дифференциальная топология: введение . Монографии и учебники по чистой и прикладной математике. Том. 72. Марсель Деккер. ISBN 0824717090.
5. Шастри, Анант Р. (2011). Элементы дифференциальной топологии. ЦРК Пресс. ISBN 9781439831601.

дальнейшее чтение

• Ботт, Рауль (1988). «Неукротимая теория Морса». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 68 : 99–114. дои : 10.1007/bf02698544. S2CID  54005577.
• Ботт, Рауль (1982). «Лекции по теории Морса, старые и новые». Бюллетень Американского математического общества . (НС). 7 (2): 331–358. дои : 10.1090/s0273-0979-1982-15038-8 .
• Кэли, Артур (1859). «О горизонталях и наклонных линиях» (PDF) . Философский журнал . 18 (120): 264–268.
• Гость, Мартин (2001). «Теория Морса в 1990-е годы». arXiv : math/0104155 .
• Хирш, М. (1994). Дифференциальная топология (2-е изд.). Спрингер.
• Косински, Антони А. (19 октября 2007 г.). Дифференциальные многообразия . Дуврская книга по математике (переиздание 1993 г.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. ОСЛК  853621933.
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для аспирантов по математике . Том. 191. Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98593-0. ОСЛК  39379395.
• Мацумото, Юкио (2002). Введение в теорию Морса .
• Максвелл, Джеймс Клерк (1870). «На холмах и долинах» (PDF) . Философский журнал . 40 (269): 421–427.
• Милнор, Джон (1963). Теория Морса . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9.Классический расширенный справочник по математике и математической физике.
• Милнор, Джон (1965). Лекции по теореме h-кобордизма (PDF) .
• Морс, Марстон (1934). Вариационное исчисление в целом . Публикация коллоквиума Американского математического общества. Том. 18. Нью-Йорк.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Шварц, Матиас (1993). Гомология Морса . Биркхойзер. ISBN 9780817629045.