Критическая точка (математика)

Точка, в которой производная функции равна нулю

Абсциссы (координаты X ) красных кругов являются стационарными точками ; синие квадраты — это точки перегиба .

В математике критическая точка — это аргумент функции , у которой производная функции равна нулю (или не определена, как указано ниже). Значение функции в критической точке является критическим значением . ^[1]

Более конкретно, когда речь идет о функциях действительной переменной , критическая точка, также известная как стационарная точка , — это точка в области определения функции, где производная функции равна нулю (или где функция не дифференцируема ). ^[2] Аналогично, при работе с комплексными переменными критическая точка — это точка в области определения функции, где ее производная равна нулю (или функция не является голоморфной ). ^{[3] [4]} Аналогично, для функции нескольких действительных переменных критическая точка — это значение в ее области определения, где норма градиента равна нулю (или не определена). ^[5]

Такое определение распространяется на дифференцируемые отображения между ними , и критическая точка в данном случае является точкой, в которой ранг матрицы Якоби не является максимальным. Он распространяется дальше на дифференцируемые отображения между дифференцируемыми многообразиями , как точки, в которых ранг матрицы Якоби уменьшается. В этом случае критические точки еще называют точками бифуркации . В частности, если C — плоская кривая , определяемая неявным уравнением f ( x , y ) = 0 , критическими точками проекции на ось x , параллельной оси y , являются точки, где касательная к C параллельны оси Y , то есть точкам, где . Другими словами, критическими точками являются те, к которым теорема о неявной функции не применима. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$

Критическая точка функции одной переменной

Критическая точка функции одной действительной переменной f ( x ) — это значение x 0 в области f _, где f не дифференцируемо или его производная равна 0 (т. е. ). ^[2] Критическое значение – это изображение критической точки под f . Эти концепции можно визуализировать с помощью графика f : в критической точке график имеет горизонтальную касательную , если вы вообще можете ее назначить . ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$

Обратите внимание, что для дифференцируемой функции критическая точка совпадает с стационарной точкой .

Хотя это легко визуализируется на графике (который представляет собой кривую), понятие критической точки функции не следует путать с понятием критической точки кривой в некотором направлении ( подробное определение см. Ниже). Если g ( x , y ) — дифференцируемая функция двух переменных, то g ( x , y ) = 0 — неявное уравнение кривой. Критической точкой такой кривой для проекции, параллельной оси y (карта ( x , y ) → x ), является точка кривой, где это означает, что касательная кривой параллельна оси y - оси и что в этот момент g не определяет неявную функцию от x до y (см. теорему о неявной функции ). Если ( x ₀ , y ₀ ) является такой критической точкой, то x ₀ является соответствующим критическим значением . Такую критическую точку еще называют точкой бифуркации , поскольку, как правило, при _{изменении} x имеются две ветви кривой на стороне x0 и ноль на другой стороне. ${\displaystyle {\tfrac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0.}$

Из этих определений следует, что _{дифференцируемая} функция f ( x ) имеет критическую точку x0 с критическим значением y0 _тогда и только тогда, когда _(x0 , y0 ) является _{критической} точкой ее графика для проекции, параллельной x -ось, с тем же критическим значением y ₀ . Если f не дифференцируема в точке x0 из - _за того, что касательная становится параллельной оси y , то x0 снова является критической точкой f , но теперь ( x0 _, y0 _{) является критической точкой ее} графика для проекции параллельно оси Y.

Например, критическими точками единичного круга уравнения являются (0, 1) и (0, -1) для проекции, параллельной оси x , и (1, 0) и (-1, 0) для проекции, параллельной оси x. направлении, параллельном оси Y. Если рассматривать верхний полукруг как график функции, то x = 0 является критической точкой с критическим значением 1 из-за того, что производная равна 0, а x = ±1 являются критическими точками с критическим значением 0 из-за производной. будучи неопределенным. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}},}$

Примеры

• Функция дифференцируема всюду с производной. Эта функция имеет единственную критическую точку −1, потому что это уникальное число x ₀ , для которого эта точка является глобальным минимумом f . Соответствующее критическое значение: График f представляет собой вогнутую вверх параболу , критическая точка — это абсцисса вершины, где касательная линия горизонтальна, а критическое значение — это ордината вершины и может быть представлено пересечением эта касательная линия и ось Y. ${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ ${\displaystyle f'(x)=2x+2.}$ ${\displaystyle 2x+2=0.}$ ${\displaystyle f(-1)=2.}$
• Функция определена для всех x и дифференцируема для x ≠ 0 с производной. Поскольку f не дифференцируема при x = 0 и в противном случае, это единственная критическая точка. График функции f имеет в этой точке точку возврата с вертикальной касательной. Соответствующее критическое значение равно ${\displaystyle f(x)=x^{2/3}}$ ${\displaystyle f'(x)={\tfrac {2x^{-1/3}}{3}}.}$ ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$
• Функция абсолютного значения дифференцируема везде, кроме критической точки x = 0 , где она имеет глобальную точку минимума с критическим значением 0. ${\displaystyle f(x)=|x|}$
• Функция не имеет критических точек. Точка x = 0 не является критической точкой, поскольку она не входит в область определения функции. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$

Расположение критических точек

По теореме Гаусса-Лукаса все критические точки полиномиальной функции на комплексной плоскости находятся внутри выпуклой оболочки корней функции . Таким образом, для полиномиальной функции, имеющей только действительные корни, все критические точки вещественны и находятся между наибольшим и наименьшим корнями.

Гипотеза Сендова утверждает, что если все корни функции лежат в единичном круге комплексной плоскости, то на единичном расстоянии от любого данного корня существует хотя бы одна критическая точка.

Критические точки неявной кривой

Критические точки играют важную роль при изучении плоских кривых , определяемых неявными уравнениями , в частности при их изображении и определении их топологии . Понятие критической точки, используемое в этом разделе, может показаться отличным от понятия из предыдущего раздела. Фактически это специализация на простом случае общего понятия критической точки, приведенного ниже.

Таким образом, мы рассматриваем кривую C , определенную неявным уравнением , где f — дифференцируемая функция двух переменных, обычно двумерный полином . Точки кривой — это точки евклидовой плоскости , декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению. Существуют две стандартные проекции и , определяемые и которые отображают кривую на оси координат . Их называют проекцией, параллельной оси Y, и проекцией, параллельной оси X соответственно. ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle \pi _{y}}$ ${\displaystyle \pi _{x}}$ ${\displaystyle \pi _{y}((x,y))=x}$ ${\displaystyle \pi _{x}((x,y))=y,}$

Точка C является критической для , если касательная к C существует и параллельна оси y . В этом случае изображения критической точки и касательной представляют собой одну и ту же точку оси x , называемую критическим значением . Таким образом, точка С является критической, если ее координаты являются решением системы уравнений : ${\displaystyle \pi _{y}}$ ${\displaystyle \pi _{y}}$ ${\displaystyle \pi _{y}}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$

Отсюда следует, что данное определение является частным случаем общего определения критической точки, которое приводится ниже.

Определение критической точки для аналогично. Если C — график функции , то ( x , y ) критичен тогда и только тогда, когда x — критическая точка g и критические значения одинаковы. ${\displaystyle \pi _{x}}$ ${\displaystyle y=g(x)}$ ${\displaystyle \pi _{x}}$

Некоторые авторы определяют критические точки C как точки, критичные для либо или , хотя они зависят не только от C , но и от выбора координатных осей. От авторов зависит также, считать ли особые точки критическими. Фактически особые точки — это точки, которые удовлетворяют ${\displaystyle \pi _{x}}$ ${\displaystyle \pi _{y}}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$,

и, таким образом, являются решениями любой системы уравнений, характеризующих критические точки. Согласно этому более общему определению, критическими точками являются именно те точки, к которым теорема о неявной функции не применима. ${\displaystyle \pi _{y}}$

Использование дискриминанта

Когда кривая C является алгебраической, то есть когда она определяется двумерным полиномом f , тогда дискриминант является полезным инструментом для вычисления критических точек.

Здесь мы рассматриваем только проекцию ; Аналогичные результаты применимы и при замене x и y . ${\displaystyle \pi _{y}}$ ${\displaystyle \pi _{x}}$

Пусть — дискриминант f , рассматриваемый как полином от y с коэффициентами, которые являются полиномами от x . Таким образом, этот дискриминант представляет собой многочлен от x , который имеет критические значения среди своих корней. ${\displaystyle \operatorname {Disc} _{y}(f)}$ ${\displaystyle \pi _{y}}$

Точнее, простой корень - это либо критическое значение такой, соответствующая критическая точка - это точка, которая не является ни особой, ни точкой перегиба, или координата x асимптоты , которая параллельна оси y и касается касательной ". на бесконечности» до точки перегиба (асимптота перегиба). ${\displaystyle \operatorname {Disc} _{y}(f)}$ ${\displaystyle \pi _{y}}$

Кратный корень дискриминанта соответствует либо нескольким критическим точкам или асимптотам перегиба, имеющим одно и то же критическое значение, либо критической точке, которая также является точкой перегиба, либо особой точке.

Несколько переменных

Для функции нескольких действительных переменных точка P (то есть набор значений входных переменных, который рассматривается как точка в ) является критической, если это точка, в которой градиент равен нулю или не определен. ^[5] Критические значения — это значения функции в критических точках. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Критическая точка (где функция дифференцируема) может быть либо локальным максимумом , либо локальным минимумом , либо седловой точкой . Если функция по крайней мере дважды непрерывно дифференцируема, различные случаи можно различить, рассматривая собственные значения матрицы Гессе вторых производных.

Критическая точка, в которой матрица Гессиана невырождена , называется невырожденной , а знаки собственных значений гессиана определяют локальное поведение функции. В случае функции одной переменной гессиан — это просто вторая производная , рассматриваемая как матрица размера 1 × 1, которая является невырожденной тогда и только тогда, когда она не равна нулю. В этом случае невырожденная критическая точка является локальным максимумом или локальным минимумом в зависимости от знака второй производной, которая положительна для локального минимума и отрицательна для локального максимума. Если вторая производная равна нулю, критическая точка обычно является точкой перегиба , но также может быть точкой волнистости , которая может быть локальным минимумом или локальным максимумом.

Для функции n переменных число отрицательных собственных значений матрицы Гессе в критической точке называется индексом критической точки. Невырожденная критическая точка является локальным максимумом тогда и только тогда, когда индекс равен n или, что то же самое, если матрица Гессе отрицательно определена ; это локальный минимум, если индекс равен нулю или, что то же самое, если матрица Гессе положительно определена . Для остальных значений индекса невырожденной критической точкой является седловая точка , то есть точка, которая является максимумом в одних направлениях и минимумом в других.

Приложение к оптимизации

По теореме Ферма все локальные максимумы и минимумы непрерывной функции встречаются в критических точках. Поэтому для нахождения локальных максимумов и минимумов дифференцируемой функции теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения матрицы Гессе в этих нулях. Для этого требуется решение системы уравнений , что может оказаться сложной задачей. Обычные численные алгоритмы гораздо более эффективны для поиска локальных экстремумов, но не могут подтвердить, что все экстремумы найдены. В частности, при глобальной оптимизации эти методы не могут подтвердить, что результат действительно является глобальным оптимумом.

Когда минимизируемая функция представляет собой многомерный полином , критические точки и критические значения являются решениями системы полиномиальных уравнений , а современные алгоритмы решения таких систем предоставляют конкурентоспособные сертифицированные методы поиска глобального минимума.

Критическая точка дифференцируемого отображения

Для дифференцируемого отображения критическими точками f являются точки, в которых ранг матрицы Якоби f не является максимальным. ^[6] Образ критической точки при f называется критическим значением . Точка в дополнении множества критических значений называется регулярным значением . Теорема Сарда утверждает, что множество критических значений гладкого отображения имеет нулевую меру . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$

Некоторые авторы ^[7] дают несколько иное определение: критическая точка f — это точка, в которой ранг матрицы Якоби f меньше n . Согласно этому соглашению, все точки являются критическими, когда m < n . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Эти определения распространяются на дифференциальные отображения между дифференцируемыми многообразиями следующим образом. Пусть — дифференциальное отображение между двумя многообразиями V и W размерностей m и n соответственно . В окрестности точки p из V и f ( p ) карты являются диффеоморфизмами и Точка p является критической для f , если критическая для Это определение не зависит от выбора карт, поскольку карты переходов являются диффеоморфизмами, их Матрицы Якоби обратимы, и умножение на них не меняет ранг матрицы Якоби. Если M — гильбертово многообразие (не обязательно конечномерное), а f — вещественная функция, то мы говорим, что p — критическая точка f , если f не является погружением в точке p . ^[8] ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle \varphi :V\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \psi :W\to \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.}$ ${\displaystyle \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.}$

Приложение к топологии

Критические точки имеют основополагающее значение для изучения топологии многообразий и вещественных алгебраических многообразий . ^[1] В частности, они являются основным инструментом теории Морса и теории катастроф .

Связь между критическими точками и топологией проявляется уже на более низком уровне абстракции. Например, пусть - подмногообразие, а P - точка вне. Квадрат расстояния до P точки - это дифференциальное отображение, такое, что каждый компонент связности содержит по крайней мере критическую точку, в которой расстояние минимально. Отсюда следует, что число компонент связности ограничено сверху числом критических точек. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

В случае вещественных алгебраических многообразий это наблюдение, связанное с теоремой Безу, позволяет нам ограничить количество компонент связности функцией степеней многочленов, определяющих многообразие.

Смотрите также

• Особая точка кривой
• Теория сингулярности
• Теорема Гаусса – Лукаса

Рекомендации

1. Милнор, Джон (1963). Теория Морса . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9.
2. Проблемы математического анализа . Демидовец Борис П., Бараненков Г. Москва(ИС): Москва. 1964. ISBN 0846407612. OCLC  799468131.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
3. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталии (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс/Коул. ISBN 9780495011668. OCLC  144526840.
4. Ларсон, Рон (2010). Исчисление . Эдвардс, Брюс Х., 1946- (9-е изд.). Белмонт, Калифорния: Брукс/Коул, Cengage Learning. ISBN 9780547167022. ОСЛК  319729593.
5. Адамс, Роберт А.; Эссекс, Кристофер (2009). Исчисление: Полный курс . Пирсон Прентис Холл . п. 744. ИСБН 978-0-321-54928-0.
6. Карму, Манфредо Пердиган-ду (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-212589-7.
7. Лафонтен, Жак (2015). Введение в дифференциальные многообразия . Международное издательство Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-20735-3. ISBN 978-3-319-20734-6.
8. Серж Ланг , Основы дифференциальной геометрии, с. 186, номер домена : 10.1007/978-1-4612-0541-8