Теория бифуркации

Изучение внезапных качественных изменений поведения, вызванных малыми изменениями параметров

Фазовый портрет, показывающий бифуркацию седло-узел

Теория бифуркаций — это математическое исследование изменений качественной или топологической структуры заданного семейства кривых , таких как интегральные кривые семейства векторных полей и решения семейства дифференциальных уравнений . Наиболее часто применяемая к математическому исследованию динамических систем , бифуркация происходит, когда небольшое плавное изменение значений параметров (параметров бифуркации) системы вызывает внезапное «качественное» или топологическое изменение ее поведения. ^[1] Бифуркации происходят как в непрерывных системах (описываемых обычными , запаздывающими или частными дифференциальными уравнениями), так и в дискретных системах (описываемых отображениями).

Термин «бифуркация» впервые был введен Анри Пуанкаре в 1885 году в первой математической работе, демонстрирующей такое поведение. ^[2]

Типы бифуркаций

Полезно разделить бифуркации на два основных класса:

• Локальные бифуркации, которые можно полностью проанализировать через изменения свойств локальной устойчивости равновесий , периодических орбит или других инвариантных множеств, когда параметры пересекают критические пороги; и
• Глобальные бифуркации, которые часто происходят, когда более крупные инвариантные множества системы «сталкиваются» друг с другом или с равновесиями системы. Их нельзя обнаружить исключительно с помощью анализа устойчивости равновесий (неподвижных точек).

Местные бифуркации

Бифуркации уменьшения периода вдвое (L), приводящие к порядку, за которыми следуют бифуркации удвоения периода (R), приводящие к хаосу.

Локальная бифуркация происходит, когда изменение параметра приводит к изменению устойчивости равновесия (или неподвижной точки). В непрерывных системах это соответствует действительной части собственного значения равновесия, проходящей через ноль. В дискретных системах (описываемых отображениями) это соответствует неподвижной точке, имеющей множитель Флоке с модулем, равным единице. В обоих случаях равновесие является негиперболическим в точке бифуркации. Топологические изменения в фазовом портрете системы могут быть ограничены сколь угодно малыми окрестностями бифурцирующих неподвижных точек путем перемещения параметра бифуркации близко к точке бифуркации (отсюда «локальный»).

Более технически, рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ). Локальная бифуркация происходит в случае, если матрица Якоби имеет собственное значение с нулевой действительной частью. Если собственное значение равно нулю, то бифуркация является бифуркацией стационарного состояния, но если собственное значение не равно нулю, но является чисто мнимым, то это бифуркация Хопфа . $${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,\lambda )\quad f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}.}$$ ${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$ ${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$

Для дискретных динамических систем рассмотрим систему Тогда локальная бифуркация происходит в , если матрица имеет собственное значение с модулем, равным единице. Если собственное значение равно единице, то бифуркация является либо седло-узловой (часто называемой бифуркацией складки в картах), транскритической или вилочной бифуркацией. Если собственное значение равно −1, то это бифуркация удвоения периода (или переворота), а в противном случае это бифуркация Хопфа. $${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n},\lambda )\,.}$$ ${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$ ${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$

Примеры локальных бифуркаций включают в себя:

• Бифуркация седло-узел (складка)
• Транскритическая бифуркация
• Бифуркация вил
• Бифуркация удвоения периода (переворот)
• Бифуркация Хопфа
• Бифуркация Неймарка–Саккера (вторичная Хопфа)

Глобальные бифуркации

Фазовый портрет до, во время и после гомоклинической бифуркации в 2D. Периодическая орбита растет, пока не столкнется с седловой точкой. В точке бифуркации период периодической орбиты вырос до бесконечности, и она стала гомоклинической орбитой . После бифуркации периодической орбиты больше нет. Левая панель : при малых значениях параметра в начале координат есть седловая точка , а в первом квадранте — предельный цикл . Средняя панель : по мере увеличения параметра бифуркации предельный цикл растет, пока точно не пересечет седловую точку, что дает орбиту бесконечной продолжительности. Правая панель : при дальнейшем увеличении параметра бифуркации предельный цикл полностью исчезает.

Глобальные бифуркации происходят, когда «большие» инвариантные множества, такие как периодические орбиты, сталкиваются с равновесиями. Это вызывает изменения в топологии траекторий в фазовом пространстве, которые не могут быть ограничены малой окрестностью, как в случае локальных бифуркаций. Фактически, изменения в топологии распространяются на произвольно большое расстояние (отсюда и «глобальные»).

Примеры глобальных бифуркаций включают в себя:

• Гомоклиническая бифуркация , в которой предельный цикл сталкивается с седловой точкой . ^[3] Гомоклинические бифуркации могут происходить надкритически или субкритически. Вариант выше — это «малая» или «типа I» гомоклиническая бифуркация. В 2D также существует «большая» или «типа II» гомоклиническая бифуркация, в которой гомоклиническая орбита «захватывает» другие концы нестабильных и стабильных многообразий седла. В трех или более измерениях могут происходить бифуркации более высокой коразмерности, производящие сложную, возможно, хаотическую динамику.
• Гетероклиническая бифуркация , в которой предельный цикл сталкивается с двумя или более седловыми точками; они включают гетероклинический цикл . ^[4] Гетероклинические бифуркации бывают двух типов: резонансные бифуркации и трансверсальные бифуркации. Оба типа бифуркации приведут к изменению устойчивости гетероклинического цикла. При резонансной бифуркации устойчивость цикла изменяется, когда выполняется алгебраическое условие на собственные значения равновесий в цикле. Обычно это сопровождается рождением или смертью периодической орбиты . Трансверсальная бифуркация гетероклинического цикла возникает, когда действительная часть трансверсального собственного значения одного из равновесий в цикле проходит через ноль. Это также вызовет изменение устойчивости гетероклинического цикла.
• Бифуркация бесконечного периода , в которой устойчивый узел и седловая точка одновременно возникают на предельном цикле. ^[5] Когда предел параметра приближается к определенному критическому значению, скорость колебания замедляется, а период приближается к бесконечности. Бифуркация бесконечного периода происходит при этом критическом значении. За пределами критического значения две фиксированные точки непрерывно выходят друг из друга на предельном цикле, чтобы нарушить колебание и образовать две седловые точки .
• Катастрофа голубого неба , в которой предельный цикл сталкивается с негиперболическим циклом.

Глобальные бифуркации могут также включать более сложные множества, такие как хаотические аттракторы (например, кризисы ).

• Примеры бифуркаций
• 
  Бифуркация Хопфа происходит в системе и , когда , вокруг начала координат. Гомоклиническая бифуркация происходит вокруг . ${\displaystyle {\dot {x}}=\mu x+y-x^{2}}$ ${\displaystyle {\dot {y}}=-x+\mu y+2x^{2}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =0.06605695}$
• 
  Подробный вид гомоклинической бифуркации.
• 
  При увеличении от нуля устойчивый предельный цикл возникает из начала координат через бифуркацию Хопфа. Здесь мы строим предельный цикл параметрически, вплоть до порядка . Точные вычисления объясняются на странице бифуркации Хопфа . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{3/2}}$

Коразмерность бифуркации

Коразмерность бифуркации — это число параметров, которые необходимо изменить для возникновения бифуркации. Это соответствует коразмерности набора параметров, для которого происходит бифуркация в полном пространстве параметров. Бифуркации седлового узла и бифуркации Хопфа — единственные общие локальные бифуркации, которые действительно имеют коразмерность один (все остальные имеют более высокую коразмерность). Однако транскритические и вилочные бифуркации также часто рассматриваются как коразмерность один, потому что нормальные формы могут быть записаны только с одним параметром.

Примером хорошо изученной бифуркации коразмерности два является бифуркация Богданова–Такенса .

Приложения в полуклассической и квантовой физике

Теория бифуркаций применялась для связи квантовых систем с динамикой их классических аналогов в атомных системах, ^{[6] [7] [8]} молекулярных системах, ^[9] и резонансных туннельных диодах . ^[10] Теория бифуркаций также применялась для изучения динамики лазера ^[11] и ряда теоретических примеров, которые трудно получить экспериментально, таких как толчковый верх ^[12] и связанные квантовые ямы. ^[13] Основная причина связи между квантовыми системами и бифуркациями в классических уравнениях движения заключается в том, что при бифуркациях сигнатура классических орбит становится большой, как указывает Мартин Гуцвиллер в своей классической ^[14] работе о квантовом хаосе . ^[15] Было изучено множество видов бифуркаций с точки зрения связей между классической и квантовой динамикой, включая седло-узловые бифуркации, бифуркации Хопфа, омбилические бифуркации, бифуркации удвоения периода, бифуркации пересоединения, касательные бифуркации и бифуркации точек возврата.

Смотрите также

• Математический портал

• Диаграмма бифуркации
• Бифуркационная память
• Теория катастроф
• Константы Фейгенбаума
• Геомагнитная инверсия
• Фазовый портрет
• Теорема о теннисной ракетке

Примечания

1. Бланшар, П.; Девани, Р. Л .; Холл, Г. Р. (2006). Дифференциальные уравнения . Лондон: Томпсон. С. 96–111. ISBN 978-0-495-01265-8.
2. Анри Пуанкаре. « L'Equilibre d'une Mass Fluide Animée d'un Mouvement de Rouvement ». Acta Mathematica , том 7, стр. 259–380, сентябрь 1885 г.
3. Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Эддисон-Уэсли . стр. 262. ISBN 0-201-54344-3.
4. Ло, Динцзюнь (1997). Теория бифуркаций и методы динамических систем . World Scientific. стр. 26. ISBN 981-02-2094-4.
5. Джеймс П. Кинер, «Бифуркация бесконечного периода и глобальные ветви бифуркации», Журнал SIAM по прикладной математике , т. 41, № 1 (август 1981 г.), стр. 127–144.
6. Гао, Дж.; Делос, Дж. Б. (1997). «Квантовые проявления бифуркаций замкнутых орбит в спектрах фотопоглощения атомов в электрических полях». Phys. Rev. A. 56 ( 1): 356–364. Bibcode : 1997PhRvA..56..356G. doi : 10.1103/PhysRevA.56.356. S2CID  120255640.
7. Peters, AD; Jaffé, C.; Delos, JB (1994). «Квантовые проявления бифуркаций классических орбит: точно решаемая модель». Phys. Rev. Lett . 73 (21): 2825–2828. Bibcode :1994PhRvL..73.2825P. doi :10.1103/PhysRevLett.73.2825. PMID  10057205. S2CID  1641622.
8. Кортни, Майкл; Цзяо, Хонг; Спеллмейер, Нил; Клеппнер, Дэниел; Гао, Дж.; Делос, Дж. Б.; и др. (1995). «Бифуркации замкнутых орбит в континуумных спектрах Штарка». Phys. Rev. Lett . 74 (9): 1538–1541. Bibcode :1995PhRvL..74.1538C. doi :10.1103/PhysRevLett.74.1538. PMID  10059054. S2CID  21573702.
9. Founargiotakis, M.; Farantos, SC; Skokos, Ch.; Contopoulos, G. (1997). «Бифуркационные диаграммы периодических орбит для несвязанных молекулярных систем: FH2». Chemical Physics Letters . 277 (5–6): 456–464. Bibcode : 1997CPL...277..456F. doi : 10.1016/S0009-2614(97)00931-7.
10. Монтейро, ТС и Сарага, ДС (2001). «Квантовые ямы в наклонных полях: полуклассические амплитуды и времена фазовой когерентности». Основы физики . 31 (2): 355–370. Bibcode : 2001FoPh...31..355M. doi : 10.1023/A:1017546721313. S2CID  120968155.
11. Wieczorek, S.; Krauskopf, B.; Simpson, TB & Lenstra, D. (2005). "Динамическая сложность оптически инжектированных полупроводниковых лазеров". Physics Reports . 416 (1–2): 1–128. Bibcode : 2005PhR...416....1W. doi : 10.1016/j.physrep.2005.06.003.
12. Стаматиу, Г. и Гикас, ДПК (2007). «Зависимость квантовой запутанности от бифуркаций и шрамов в неавтономных системах. Случай квантового толчка». Physics Letters A. 368 ( 3–4): 206–214. arXiv : quant-ph/0702172 . Bibcode : 2007PhLA..368..206S. doi : 10.1016/j.physleta.2007.04.003. S2CID  15562617.
13. Галан, Дж.; Фрейре, Э. (1999). «Хаос в модели среднего поля связанных квантовых ям; бифуркации периодических орбит в симметричной гамильтоновой системе». Отчеты по математической физике . 44 (1–2): 87–94. Bibcode :1999RpMP...44...87G. doi :10.1016/S0034-4877(99)80148-7.
14. Клеппнер, Д.; Делос, Дж. Б. (2001). «За пределами квантовой механики: выводы из работ Мартина Гуцвиллера». Основы физики . 31 (4): 593–612. Bibcode :2001FoPh...31..593K. doi :10.1023/A:1017512925106. S2CID  116944147.
15. Гуцвиллер, Мартин К. (1990). Хаос в классической и квантовой механике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.

Ссылки

• Афраймович, В.С.; Арнольд, В.И.; и др. (1994). Теория бифуркации и теория катастроф . Springer. ISBN 978-3-540-65379-0.
• Гуардия, М.; Мартинес-Сеара, М.; Тейшейра, Массачусетс (2011). Типовые бифуркации малой коразмерности плоских систем Филиппова. «Журнал дифференциальных уравнений», февраль 2011 г., том. 250, номер. 4, стр. 1967–2023 гг. DOI:10.1016/j.jde.2010.11.016
• Виггинс, Стивен (1988). Глобальные бифуркации и хаос: аналитические методы. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-96775-2.

Внешние ссылки

• Нелинейная динамика
• Бифуркации и двумерные потоки Элмера Г. Винса
• Введение в теорию бифуркаций Джона Дэвида Кроуфорда