В математике дифференцируемая функция одной действительной переменной — это функция , производная которой существует в каждой точке ее области определения . Другими словами, график дифференцируемой функции имеет невертикальную касательную в каждой внутренней точке ее области определения. Дифференцируемая функция является гладкой (функция локально хорошо аппроксимируется линейной функцией в каждой внутренней точке) и не содержит излома, угла или точки возврата .
Если x0 является внутренней точкой области определения функции f , то f называется дифференцируемой в точке x0 , если производная существует. Другими словами, график f имеет невертикальную касательную в точке ( x 0 , f ( x 0 ) ) . Говорят, что f дифференцируема на U , если она дифференцируема в каждой точке U. f называется непрерывно дифференцируемой , если ее производная также является непрерывной функцией в области определения функции . Вообще говоря, f называется классом , если ее первые производные существуют и непрерывны в области определения функции .
Для функции многих переменных, как показано здесь, ее дифференцируемость — это нечто большее, чем существование ее частных производных.
Функция , определенная на открытом множестве , называется дифференцируемой, если ее производная
существует. Это означает, что функция непрерывна в точке a .
Эту функцию f называют дифференцируемой на U , если она дифференцируема в каждой точке U. Таким образом , в этом случае производная f является функцией из U в
Непрерывная функция не обязательно дифференцируема, но дифференцируемая функция обязательно непрерывна (в каждой точке, где она дифференцируема), как показано ниже (в разделе «Дифференцируемость и непрерывность»). Функция называется непрерывно дифференцируемой, если ее производная также является непрерывной функцией; существуют функции, которые дифференцируемы, но не непрерывно дифференцируемы (пример приведен в разделе Классы дифференцируемости).
Если f дифференцируема в точке x0 , то f также должна быть непрерывной в точке x0 . В частности, любая дифференцируемая функция должна быть непрерывной в каждой точке своей области определения. Обратное неверно : непрерывная функция не обязательно должна быть дифференцируемой. Например, функция с изгибом, точкой возврата или вертикальной касательной может быть непрерывной, но не может быть дифференцируемой в месте аномалии.
Большинство функций, встречающихся на практике, имеют производные во всех или почти в каждой точках. Однако результат Стефана Банаха гласит, что набор функций, имеющих производную в некоторой точке, является скудным набором в пространстве всех непрерывных функций. [1] Неформально это означает, что дифференцируемые функции очень нетипичны среди непрерывных функций. Первым известным примером функции, непрерывной всюду, но нигде не дифференцируемой, является функция Вейерштрасса .
Говорят, что функциянепрерывно дифференцируема, если производнаясуществует и сама является непрерывной функцией. Хотя производная дифференцируемой функции никогда не имеетскачкообразного разрыва, она может иметьсущественный разрыв. Например, функция
Подобно тому, как непрерывные функции называют принадлежащими к классу , непрерывно дифференцируемые функции иногда называют принадлежащими к классу . Функция относится к классу , если первая и вторая производные функции существуют и непрерывны. В более общем смысле говорят, что функция относится к классу , если все первые производные существуют и непрерывны. Если производные существуют для всех положительных целых чисел, функция является гладкой или, что то же самое, класса
Функция нескольких вещественных переменных f : Rm → Rn называется дифференцируемой в точке x 0 , если существует линейное отображение J : Rm → Rn такое , что
Если функция дифференцируема в точке x0 , то все частные производные существуют в точке x0 , а линейное отображение J задается матрицей Якобиана , в данном случае матрицей размера n × m . Похожая формулировка многомерной производной обеспечивается фундаментальной леммой о приращении , найденной в исчислении с одной переменной.
Если все частные производные функции существуют в окрестности точки x0 и непрерывны в точке x0 , то функция дифференцируема в этой точке x0 .
Однако существование частных производных (или даже всех производных по направлению ) не гарантирует, что функция дифференцируема в точке. Например, функция f : R 2 → R, определенная формулой
не дифференцируема в точке (0, 0) , но все частные производные и производные по направлению существуют в этой точке. Для непрерывного примера функция
не дифференцируема в точке (0, 0) , но опять же существуют все частные производные и производные по направлению.
В комплексном анализе комплексная дифференцируемость определяется с использованием того же определения, что и действительные функции с одной переменной. Это допускается благодаря возможности деления комплексных чисел . Итак, функция называется дифференцируемой, если
Хотя это определение похоже на дифференцируемость действительных функций с одной переменной, однако оно является более ограничительным условием. Функция , которая является комплексно-дифференцируемой в некоторой точке, автоматически дифференцируема в этой точке, если рассматривать ее как функцию . Это потому, что комплексная дифференцируемость подразумевает, что
Однако функция может быть дифференцируемой как функция многих переменных, но не быть комплексно-дифференцируемой. Например, дифференцируема в каждой точке, рассматриваемая как действительная функция с двумя переменными , но не является комплексно-дифференцируемой в любой точке, поскольку предел не существует (например, он зависит от угла подхода).
Любая функция, комплексно-дифференцируемая в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке. Такая функция обязательно бесконечно дифференцируема и фактически аналитична .
Если M — дифференцируемое многообразие , действительная или комплекснозначная функция f на M называется дифференцируемой в точке p , если она дифференцируема относительно некоторой (или любой) координатной карты, определенной вокруг p . Если M и N — дифференцируемые многообразия, функция f : M → N называется дифференцируемой в точке p , если она дифференцируема относительно некоторых (или любых) координатных карт, определенных вокруг p и f ( p ).