В математике плоская кривая — это кривая на плоскости , которая может быть евклидовой , аффинной или проективной плоскостью . Наиболее часто изучаемыми случаями являются гладкие плоские кривые (в том числе кусочно- гладкие плоские кривые) и алгебраические плоские кривые . Плоские кривые также включают кривые Жордана (кривые, которые ограничивают область плоскости, но не обязательно должны быть гладкими) и графики непрерывных функций .
Плоская кривая часто может быть представлена в декартовых координатах неявным уравнением вида для некоторой конкретной функции f . Если это уравнение можно решить явно для y или x – то есть переписать как или для конкретной функции g или h – тогда это обеспечивает альтернативную, явную форму представления. Плоскую кривую также часто можно представить в декартовых координатах параметрическим уравнением вида для конкретных функций и
Плоские кривые иногда также могут быть представлены в альтернативных системах координат , таких как полярные координаты , которые выражают местоположение каждой точки через угол и расстояние от начала координат.
Гладкая плоская кривая — это кривая на вещественной евклидовой плоскости , представляющая собой одномерное гладкое многообразие . Это означает, что гладкая плоская кривая — это плоская кривая, которая «локально выглядит как линия » в том смысле, что вблизи каждой точки она может быть отображена в линию с помощью гладкой функции . Эквивалентно, гладкая плоская кривая может быть локально задана уравнением где - гладкая функция и частные производные и никогда не равны 0 в точке кривой.
Алгебраическая плоская кривая — это кривая на аффинной или проективной плоскости , заданная одним полиномиальным уравнением (или где F — однородный полином в проективном случае).
Алгебраические кривые широко изучаются с 18 века.
Всякая алгебраическая плоская кривая имеет степень — степень определяющего уравнения, которая в случае алгебраически замкнутого поля равна числу пересечений кривой с прямой общего положения . Например, круг, заданный уравнением, имеет степень 2.
Неособые плоские алгебраические кривые степени 2 называются коническими сечениями , и все их проективные пополнения изоморфны проективному пополнению окружности (то есть проективной кривой уравнения ). Плоские кривые степени 3 называются кубическими плоскими кривыми , а если они неособые, то эллиптическими кривыми . Кривые степени 4 называются плоскими кривыми четвертой степени .
Многочисленные примеры плоских кривых показаны в Галерее кривых и перечислены в Списке кривых . Здесь показаны алгебраические кривые степени 1 или 2 (алгебраическая кривая степени меньше 3 всегда содержится в плоскости):
