Уравнение Вейля

Релятивистское волновое уравнение, описывающее безмассовые фермионы

В физике , особенно в квантовой теории поля , уравнение Вейля представляет собой релятивистское волновое уравнение , описывающее безмассовые частицы со спином 1/2, называемые фермионами Вейля . Уравнение названо в честь Германа Вейля . Фермионы Вейля — один из трех возможных типов элементарных фермионов, два других — фермионы Дирака и Майорана .

Ни одна из элементарных частиц Стандартной модели не является фермионом Вейля. До подтверждения осцилляций нейтрино считалось возможным, что нейтрино может быть фермионом Вейля (теперь ожидается, что это фермион Дирака или Майорана). В физике конденсированного состояния некоторые материалы могут отображать квазичастицы , которые ведут себя как фермионы Вейля, что приводит к понятию полуметаллов Вейля .

Математически любой фермион Дирака можно разложить на два фермиона Вейля противоположной киральности, связанные массовым членом. ^[1]

История

Уравнение Дирака было опубликовано в 1928 году Полем Дираком и впервые использовалось для моделирования частиц со спином ½ в рамках релятивистской квантовой механики . ^[2] Герман Вейль опубликовал свое уравнение в 1929 году как упрощенную версию уравнения Дирака. ^{[2] [3]} Вольфганг Паули в 1933 году выступил против уравнения Вейля, поскольку оно нарушало четность . ^[4] Однако за три года до этого Паули предсказал существование нового элементарного фермиона , нейтрино , чтобы объяснить бета-распад , который в конечном итоге был описан с помощью уравнения Вейля.

В 1937 году Коньерс Херринг предположил, что фермионы Вейля могут существовать в виде квазичастиц в конденсированном состоянии. ^[5]

Нейтрино были экспериментально обнаружены в 1956 году как частицы с чрезвычайно малой массой (и исторически иногда даже считались безмассовыми). ^[4] В том же году эксперимент Ву показал, что четность может быть нарушена слабым взаимодействием , что противоречит критике Паули. ^{[6] За этим последовало измерение} спиральности нейтрино в 1958 году. ^[4] Поскольку эксперименты не показали никаких признаков массы нейтрино, интерес к уравнению Вейля возобновился. Таким образом, Стандартная модель была построена в предположении, что нейтрино являются фермионами Вейля. ^[4]

Хотя итальянский физик Бруно Понтекорво в 1957 году предположил возможность существования нейтринных масс и нейтринных осцилляций , ^[4] только в 1998 году Супер-Камиоканде окончательно подтвердил существование нейтринных осцилляций и их ненулевой массы. ^[4] Это открытие подтвердило, что уравнение Вейля не может полностью описать распространение нейтрино, поскольку уравнения могут описывать только безмассовые частицы. ^[2]

В 2015 году первый полуметалл Вейля был экспериментально продемонстрирован в кристаллическом арсениде тантала (TaAs) в сотрудничестве команд М. З. Хасана ( Принстонский университет ) и Х. Дина ( Китайская академия наук ). ^[5] Независимо, в том же году команда М. Солячича ( Массачусетский технологический институт ) также наблюдала вейлевские возбуждения в фотонных кристаллах . ^[5]

Уравнение

Уравнение Вейля имеет две формы. Правую форму можно записать следующим образом: ^{[7] [8] [9]}

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

Расширив это уравнение и вставив в него скорость света , получим ${\displaystyle c}$

${\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

где

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

– вектор , компонентами которого являются единичная матрица 2×2 для и матрицы Паули для и – волновая функция – один из спиноров Вейля . Левая форма уравнения Вейля обычно записывается как: ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =1,2,3,}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

где

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}~.}$

Решения правых и левых уравнений Вейля различны: они имеют правую и левую спиральность и, следовательно , киральность соответственно. Удобно указать это явно следующим образом: и ${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0}$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

Плоские волновые решения

Плосковолновые решения уравнения Вейля называются левым и правым спинорами Вейля, каждый из которых состоит из двух компонент . Оба имеют форму

${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$,

где

${\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}}$

представляет собой зависящий от импульса двухкомпонентный спинор, который удовлетворяет условию

${\displaystyle \sigma ^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$

или

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E+{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$.

Путем прямых манипуляций получается, что

${\displaystyle \left({\bar {\sigma }}^{\nu }p_{\nu }\right)\left(\sigma ^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =\left(\sigma ^{\nu }p_{\nu }\right)\left({\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =p_{\mu }p^{\mu }\chi =\left(E^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$,

и приходит к выводу, что уравнения соответствуют безмассовой частице . В результате величина импульса напрямую связана с волновым вектором соотношениями де Бройля как: ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |={\frac {\hbar \omega }{c}}\,\Rightarrow \,|\mathbf {k} |={\frac {\omega }{c}}}$

Уравнение можно записать в терминах левых и правых спиноров как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}&=0\\{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}&=0\end{aligned}}}$

спиральность

Левая и правая компоненты соответствуют спиральности частиц, проекции оператора углового момента на линейный момент : ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle }$

Здесь ${\textstyle \lambda =\pm {\frac {1}{2}}~.}$

Лоренц-инвариантность

Оба уравнения лоренц-инвариантны относительно преобразования Лоренца где. Более точно, уравнения преобразуются как ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$ ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3)~.}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

где – эрмитово транспонирование при условии, что правое поле преобразуется как ${\displaystyle S^{\dagger }}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

Матрица связана с преобразованием Лоренца посредством двойного покрытия группы Лоренца специальной линейной группой, заданной формулой ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Таким образом, если непреобразованный дифференциал обращается в нуль в одной системе Лоренца, то он исчезает и в другой. Сходным образом

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

при условии, что левое поле преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)~.}$

Доказательство: ни одно из этих свойств трансформации никоим образом не является «очевидным» и поэтому заслуживает тщательного вывода. Начните с формы

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=R\psi _{\rm {R}}(x)}$

чтобы некоторые неизвестные были определены. Преобразование Лоренца в координатах имеет вид ${\displaystyle R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$

или, что то же самое,

${\displaystyle x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }}$

Это ведет к

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)\\&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Чтобы воспользоваться картой Вейля

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

несколько индексов необходимо поднять и понизить. Это легче сказать, чем сделать, поскольку это вызывает тождество

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\mathsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}}$

где – метрика Минковского в плоском пространстве . Вышеприведенное тождество часто используется для определения элементов. Делается транспонирование: ${\displaystyle \eta ={\mbox{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$ ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3).}$

${\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }}$

написать

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Таким образом, можно восстановить первоначальную форму, если т. е . Проделав те же манипуляции с левым уравнением, можно заключить, что ${\displaystyle S^{-1}R=1,}$ ${\displaystyle R=S.}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=L\psi _{\rm {L}}(x)}$

с ^[а] ${\displaystyle L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.}$

Отношения с Майораной

Уравнение Вейля традиционно интерпретируется как описание безмассовой частицы. Однако с небольшой переделкой можно получить двухкомпонентную версию уравнения Майораны . ^[10] Это возникает потому, что специальная линейная группа изоморфна симплектической группе. Симплектическая группа определяется как набор всех комплексных матриц 2 × 2, которые удовлетворяют условиям ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )~.}$

${\displaystyle S^{\mathsf {T}}\omega S=\omega }$

где

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

Определяющее соотношение можно переписать следующим образом: где находится комплексно-сопряженное выражение . Правое поле, как отмечалось ранее, преобразуется как ${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega }$ ${\displaystyle S^{*}}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

и поэтому комплексно-сопряженное поле преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

Применяя определяющее соотношение, можно сделать вывод, что

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

что является точно тем же свойством ковариации Лоренца, отмеченным ранее. Таким образом, линейная комбинация с использованием произвольного комплексного фазового коэффициента ${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

преобразуется ковариантным образом; установка этого значения в ноль дает сложное двухкомпонентное уравнение Майораны . Уравнение Майораны традиционно записывается как четырехкомпонентное вещественное уравнение, а не как двухкомпонентное комплексное уравнение; вышеизложенное можно привести к четырехкомпонентной форме (подробности см. в этой статье). Аналогично, левокиральное уравнение Майораны (включая произвольный фазовый множитель ) имеет вид ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

Как отмечалось ранее, левая и правая киральные версии связаны преобразованием четности. Косое комплексное сопряжение можно рассматривать как зарядово-сопряженную форму. Таким образом, уравнение Майораны можно прочитать как уравнение, которое соединяет спинор с его зарядово-сопряженной формой. Две различные фазы массового члена связаны с двумя различными собственными значениями оператора зарядового сопряжения; Подробности см. в зарядовом сопряжении и уравнении Майораны. ${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$ ${\displaystyle \psi ~.}$

Определим пару операторов, операторов Майораны,

${\displaystyle D_{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\qquad D_{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K}$

где — краткое напоминание о необходимости использования комплексного сопряжения. При преобразованиях Лоренца они преобразуются как ${\displaystyle K}$

${\displaystyle D_{\rm {L}}\mapsto D_{\rm {L}}^{\prime }=SD_{\rm {L}}S^{\dagger }\qquad D_{\rm {R}}\mapsto D_{\rm {R}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}D_{\rm {R}}S^{-1}}$

тогда как спиноры Вейля преобразуются как

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}\qquad \psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }=S\psi _{\rm {R}}}$

так же, как указано выше. Таким образом, их согласованные комбинации являются лоренц-ковариантными, и можно принять

${\displaystyle D_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0\qquad D_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$

как пара комплексных 2-спинорных уравнений Майораны.

Произведения и оба лоренц-ковариантны. Продукт явно ${\displaystyle D_{\rm {L}}D_{\rm {R}}}$ ${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}}$

${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

Для проверки этого необходимо иметь в виду, что и что RHS сводится к оператору Клейна-Гордона при условии, что , то есть Эти два оператора Майораны, таким образом, являются «квадратными корнями» оператора Клейна-Гордона. ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$ ${\displaystyle Ki=-iK~.}$ ${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$ ${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$

Лагранжевы плотности

Уравнения получены из лагранжевых плотностей

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {R}}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}~,}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {L}}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}~.}$

Рассматривая спинор и его сопряженный элемент (обозначенный ) как независимые переменные, получается соответствующее уравнение Вейля. ${\displaystyle \dagger }$

Спиноры Вейля

Термин спинор Вейля также часто используется в более общем контексте как элемент модуля Клиффорда . Это тесно связано с решениями, приведенными выше, и дает естественную геометрическую интерпретацию спиноров как геометрических объектов, живущих на многообразии . Эта общая установка имеет множество сильных сторон: она проясняет их интерпретацию как фермионов в физике и показывает, как точно определить спин в общей теории относительности или, более того, для любого риманова многообразия или псевдориманова многообразия . Неформально это обрисовывается следующим образом.

Уравнение Вейля инвариантно относительно действия группы Лоренца. Это означает, что при применении ускорений и вращений форма самого уравнения не меняется. Однако форма самого спинора меняется. Если полностью игнорировать пространство-время , алгебра спиноров описывается (комплексифицированной) алгеброй Клиффорда . Спиноры трансформируются под действием спиновой группы . Это полностью аналогично тому, как можно говорить о векторе и как он преобразуется под действием группы вращения , за исключением того, что теперь это было адаптировано к случаю спиноров. ${\displaystyle \psi }$

Учитывая произвольное псевдориманово многообразие размерности , можно рассмотреть его касательное расслоение . В любой данной точке касательное пространство является размерным векторным пространством . Зная это векторное пространство, на нем можно построить алгебру Клиффорда . Если - базис векторного пространства на , можно построить пару спиноров Вейля как ^[11] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} (p,q)}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}+ie_{2j+1}\right)}$

и

${\displaystyle w_{j}^{*}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

При правильном рассмотрении в свете алгебры Клиффорда они, естественно, являются антикоммутирующими , то есть получается, что это можно с радостью интерпретировать как математическую реализацию принципа исключения Паули , что позволяет интерпретировать эти абстрактно определенные формальные структуры как фермионы. . Для размерного пространства-времени Минковского возможны только два таких спинора, по соглашению обозначенных «левым» и «правым», как описано выше. Более формальное, общее представление о спинорах Вейля можно найти в статье о спиновой группе . ${\displaystyle w_{j}w_{m}=-w_{m}w_{j}~.}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$

Абстрактную, общерелятивистскую форму уравнения Вейля можно понять следующим образом: для данного псевдориманова многообразия над ним строится расслоение со спиновой группой в качестве слоя. Спиновая группа является двойным покрытием специальной ортогональной группы , поэтому можно послойно отождествить спиновую группу с расслоением фреймов . Когда это будет сделано, результирующая структура будет называться спиновой структурой . ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle M~.}$

Выбор одной точки на волокне соответствует выбору локальной системы координат для пространства-времени; две разные точки на волокне связаны (лоренцевым) толчком/вращением, то есть локальным изменением координат. Естественными обитателями спиновой структуры являются спиноры Вейля, поскольку спиновая структура полностью описывает, как спиноры ведут себя при (Лоренцовых) повышениях/вращениях.

Для спинового многообразия аналогом метрической связности является спиновая связность ; по сути, это «то же самое», что и обычное соединение, только с последовательно прикрепленными к нему индексами вращения. Ковариантная производная может быть определена через связь совершенно обычным способом. Он естественным образом действует на расслоении Клиффорда ; расслоение Клиффорда — это пространство, в котором живут спиноры. Общее исследование таких структур и их взаимосвязей называется спиновой геометрией .

Математическое определение

При четном четная подалгебра комплексной алгебры Клиффорда изоморфна , где . Левый (соответственно правый) комплексный спинор Вейля в -мерном пространстве является элементом (соответственно ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} l^{0}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} l(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})\oplus \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})=:\Delta _{n}^{+}\oplus \Delta _{n}^{-}}$ ${\displaystyle N=2^{n/2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{+}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{-}}$

Особые случаи

Из спиноров Вейля можно построить три важных частных случая. Одним из них является спинор Дирака , который можно рассматривать как пару спиноров Вейля, один левый и один правый. Они связаны друг с другом таким образом, что представляют собой электрически заряженное фермионное поле. Электрический заряд возникает вследствие трансформации поля Дирака под действием комплексифицированной спиновой группы. Эта группа имеет структуру ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$

${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)\cong \mathrm {Spin} (p,q)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$

где находится круг, и его можно отождествить с электромагнетизмом . Произведение — это просто причудливое обозначение, обозначающее произведение с обозначенными противоположными точками (двойное покрытие). ${\displaystyle S^{1}\cong \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)\times S^{1}}$ ${\displaystyle (s,u)=(-s,-u)}$

Спинор Майораны снова представляет собой пару спиноров Вейля, но на этот раз устроенных так, что левый спинор является зарядовым сопряжением правого спинора. В результате получается поле с двумя степенями свободы меньше, чем у спинора Дирака. Он не способен взаимодействовать с электромагнитным полем, так как под действием группы преобразуется как скаляр . То есть он трансформируется как спинор, но трансверсально, так что он инвариантен под действием спиновой группы. ${\displaystyle \mathrm {spin} ^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$

Третий особый случай — это спинор ELKO, построенный во многом аналогично спинору Майораны, за исключением дополнительного знака минус между парой сопряженных зарядов. Это снова делает его электрически нейтральным, но привносит ряд других весьма удивительных свойств.

Примечания

1. Представленные здесь результаты идентичны результатам уравнений 52 и 57 Асте (2010) ^[10] , хотя вывод, выполненный здесь, совершенно другой. Используемое здесь двойное накрытие также идентично уравнению Асте 48 и текущей версии (декабрь 2020 г.) статьи Википедии о группе Лоренца .

Рекомендации

1. Шифман, Михаил (1999). Лекции ИТЭФ по физике элементарных частиц и теории поля . Том. 1. п. 292. ИСБН 9789810239480.
2. Pal, Палаш Б. (2011). «Фермионы Дирака, Майорана и Вейля». Американский журнал физики . 79 (5): 485–498. arXiv : 1006.1718 . Бибкод : 2011AmJPh..79..485P. дои : 10.1119/1.3549729. ISSN  0002-9505. S2CID  118685467.
3. Вейль, Герман (15 апреля 1929). «Гравитация и электрон». Труды Национальной академии наук . 15 (4): 323–334. Бибкод : 1929PNAS...15..323W. дои : 10.1073/pnas.15.4.323 . ISSN  0027-8424. ПМЦ 522457 . ПМИД  16587474. 
4. Биленький, С.М. (2005). «История нейтринных осцилляций». Физика Скрипта . Т121 : 17–22. arXiv : hep-ph/0410090 . Бибкод : 2005PhST..121...17B. дои : 10.1088/0031-8949/2005/T121/001. ISSN  0031-8949. S2CID  119341278.
5. Вишванат, Ашвин (08 сентября 2015 г.). «Где вещи Вейля». АПС Физика . Том. 8.
6. Ву, CS; Эмблер, Э.; Хейворд, RW; Хоппс, Д.Д.; Хадсон, Р.П. (1957). «Экспериментальная проверка сохранения четности при бета-распаде». Физический обзор . 105 (4): 1413–1415. Бибкод : 1957PhRv..105.1413W. дои : 10.1103/PhysRev.105.1413 .
7. Пирсон, Э. Аберс, изд. (2004). Квантовая механика . Аддисон Уэсли, ISBN Prentice Hall Inc. 978-0-13-146100-0.
8. Воан, Г., изд. (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2.
9. Пескин, Мэн; Шредер, Д.В. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-50397-2– через Google Книги.
10. Асте, Андреас (2010). «Прямая дорога к полям Майораны». Симметрия . Том. 2010, нет. 2. стр. 1776–1809. дои : 10.3390/sym2041776 . ISSN  2073-8994.
11. Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е изд.). Университетский текст Спрингера.

дальнейшее чтение

• МакМахон, Д. (2008). Квантовая теория поля демистифицирована. США: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-154382-8.
• Мартин, БР; Шоу, Г. (2008). Физика частиц . Манчестерская физика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-03294-7.
  • Мартин, Брайан Р.; Шоу, Грэм (2013). Физика элементарных частиц (3-е изд.). ISBN 9781118681664– через Google Книги.
• ЛаБелль, П. (2010). Раскрытие тайны суперсимметрии. США: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-163641-4– через Google Книги.
• Пенроуз, Роджер (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
• Джонстон, Хэмиш (23 июля 2015 г.). «Наконец-то обнаружены фермионы Вейля». Мир физики . Проверено 22 ноября 2018 г.
• Сьюдад, Давид (20 августа 2015 г.). «Безмассовый, но реальный». Природные материалы . 14 (9): 863. дои : 10.1038/nmat4411 . ISSN  1476-1122. ПМИД  26288972.
• Вишванат, Ашвин (8 сентября 2015 г.). «Где вещи Вейля». АПС Физика . Том. 8 . Проверено 22 ноября 2018 г.
• Цзя, Шуан; Сюй, Су-Ян; Хасан, М. Захид (25 октября 2016 г.). «Полуметаллы Вейля, дуги Ферми и киральная аномалия». Природные материалы . 15 (11): 1140–1144. arXiv : 1612.00416 . Бибкод : 2016NatMa..15.1140J. дои : 10.1038/nmat4787. PMID  27777402. S2CID  1115349.

Внешние ссылки

• http://aesop.phys.utk.edu/qft/2004-5/2-2.pdf
• http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html
• http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf
• http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf