Уравнение Вейля

Релятивистское волновое уравнение, описывающее безмассовые фермионы

В физике , в частности в квантовой теории поля , уравнение Вейля — это релятивистское волновое уравнение для описания безмассовых частиц со спином 1/2, называемых фермионами Вейля . Уравнение названо в честь Германа Вейля . Фермионы Вейля — один из трех возможных типов элементарных фермионов, два других — фермионы Дирака и Майораны .

Ни одна из элементарных частиц в Стандартной модели не является фермионами Вейля. До подтверждения осцилляций нейтрино считалось возможным, что нейтрино может быть фермионом Вейля (теперь ожидается, что это будет либо фермион Дирака, либо фермион Майораны). В физике конденсированного состояния некоторые материалы могут демонстрировать квазичастицы , которые ведут себя как фермионы Вейля, что приводит к понятию полуметаллов Вейля .

Математически любой фермион Дирака можно разложить на два фермиона Вейля противоположной хиральности, связанных массовым членом. ^[1]

История

Уравнение Дирака было опубликовано в 1928 году Полем Дираком и впервые было использовано для моделирования частиц со спином 1/2 в рамках релятивистской квантовой механики . ^[2] Герман Вейль опубликовал свое уравнение в 1929 году как упрощенную версию уравнения Дирака. ^{[2] [3] В 1933 году} Вольфганг Паули выступил против уравнения Вейля, поскольку оно нарушало четность . ^[4] Однако за три года до этого Паули предсказал существование нового элементарного фермиона , нейтрино , чтобы объяснить бета-распад , который в конечном итоге был описан с помощью уравнения Вейля.

В 1937 году Коньерс Херринг предположил, что фермионы Вейля могут существовать как квазичастицы в конденсированном веществе. ^[5]

Нейтрино были экспериментально обнаружены в 1956 году как частицы с чрезвычайно малыми массами (и исторически даже иногда считались безмассовыми). ^[4] В том же году эксперимент Ву показал, что четность может быть нарушена слабым взаимодействием , что ответило на критику Паули. ^[6] За этим последовало измерение спиральности нейтрино в 1958 году . ^[4] Поскольку эксперименты не показали никаких признаков массы нейтрино, интерес к уравнению Вейля вновь всплыл на поверхность. Таким образом, Стандартная модель была построена на основе предположения, что нейтрино являются фермионами Вейля. ^[4]

Хотя итальянский физик Бруно Понтекорво в 1957 году предположил возможность существования масс нейтрино и нейтринных осцилляций ^[4] , только в 1998 году Супер-Камиоканде в конечном итоге подтвердил существование нейтринных осцилляций и их ненулевой массы. ^[4] Это открытие подтвердило, что уравнение Вейля не может полностью описать распространение нейтрино, поскольку уравнения могут описывать только безмассовые частицы. ^[2]

В 2015 году первый полуметалл Вейля был экспериментально продемонстрирован в кристаллическом арсениде тантала (TaAs) в результате сотрудничества групп М. З. Хасана ( Принстонский университет ) и Х. Дина ( Китайская академия наук ). ^[5] Независимо в том же году группа М. Солячича ( Массачусетский технологический институт ) также наблюдала возбуждения, подобные возбуждению Вейля, в фотонных кристаллах . ^[5]

Уравнение

Уравнение Вейля существует в двух формах. Правосторонняя форма может быть записана следующим образом: ^{[7] [8] [9]}

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

Расширяя это уравнение и подставляя в него скорость света , получаем ${\displaystyle c}$

${\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

где

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

— вектор , компонентами которого являются единичная матрица 2×2 для и матрицы Паули для и — волновая функция — один из спиноров Вейля . Левосторонняя форма уравнения Вейля обычно записывается как: ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =1,2,3,}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

где

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}~.}$

Решения право- и левосторонних уравнений Вейля различны: они имеют право- и левостороннюю спиральность , и, следовательно, хиральность , соответственно. Удобно указать это явно, следующим образом: и ${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0}$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

Решения плоских волн

Плосковолновые решения уравнения Вейля называются левыми и правыми спинорами Вейля, каждый из которых имеет две компоненты. Оба имеют вид

${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$,

где

${\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}}$

является двухкомпонентным спинором, зависящим от импульса, который удовлетворяет

${\displaystyle \sigma ^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$

или

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E+{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$.

Путем прямого манипулирования получаем, что

${\displaystyle \left({\bar {\sigma }}^{\nu }p_{\nu }\right)\left(\sigma ^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =\left(\sigma ^{\nu }p_{\nu }\right)\left({\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =p_{\mu }p^{\mu }\chi =\left(E^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$,

и приходит к выводу, что уравнения соответствуют частице, которая не имеет массы . В результате величина импульса напрямую связана с волновым вектором с помощью соотношений де Бройля : ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |={\frac {\hbar \omega }{c}}\,\Rightarrow \,|\mathbf {k} |={\frac {\omega }{c}}}$

Уравнение можно записать в терминах левых и правых спиноров следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}&=0\\{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}&=0\end{aligned}}}$

Спиральность

Левая и правая компоненты соответствуют спиральности частиц, проекции оператора углового момента на линейный импульс : ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle }$

Здесь ${\textstyle \lambda =\pm {\frac {1}{2}}~.}$

Лоренц-инвариантность

Оба уравнения инвариантны относительно преобразования Лоренца . Точнее , уравнения преобразуются как ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$ ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3)~.}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

где - эрмитово транспонирование , при условии, что правостороннее поле преобразуется как ${\displaystyle S^{\dagger }}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

Матрица связана с преобразованием Лоренца посредством двойного покрытия группы Лоренца специальной линейной группой, заданной формулой ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Таким образом, если непреобразованный дифференциал исчезает в одной системе Лоренца, то он исчезает и в другой. Аналогично

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

при условии, что левостороннее поле преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)~.}$

Доказательство: Ни одно из этих свойств преобразования не является каким-либо образом "очевидным", и поэтому заслуживает тщательного вывода. Начнем с формы

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=R\psi _{\rm {R}}(x)}$

для определения некоторого неизвестного . Преобразование Лоренца в координатах равно ${\displaystyle R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$

или, что то же самое,

${\displaystyle x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }}$

Это приводит к

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)\\&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Для того чтобы использовать карту Вейля

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

несколько индексов должны быть подняты и опущены. Это легче сказать, чем сделать, так как это вызывает тождество

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\mathsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}}$

где - метрика Минковского в плоском пространстве . Вышеуказанное тождество часто используется для определения элементов. Берем транспонирование: ${\displaystyle \eta ={\mbox{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$ ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3).}$

${\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }}$

писать

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Таким образом, восстанавливается исходная форма, если то есть, Выполняя те же манипуляции для левостороннего уравнения, приходим к выводу, что ${\displaystyle S^{-1}R=1,}$ ${\displaystyle R=S.}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=L\psi _{\rm {L}}(x)}$

с ^[а] ${\displaystyle L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.}$

Связь с Майораной

Уравнение Вейля традиционно интерпретируется как описание безмассовой частицы. Однако, с небольшим изменением, можно получить двухкомпонентную версию уравнения Майораны . ^[10] Это возникает из-за того, что специальная линейная группа изоморфна симплектической группе Симплектическая группа определяется как множество всех комплексных матриц 2×2, которые удовлетворяют ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )~.}$

${\displaystyle S^{\mathsf {T}}\omega S=\omega }$

где

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

Определяющее соотношение можно переписать как , где - комплексно сопряженное . Правостороннее поле, как отмечалось ранее, преобразуется как ${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega }$ ${\displaystyle S^{*}}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

и поэтому комплексно-сопряженное поле преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

Применяя определяющее соотношение, можно сделать вывод, что

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

что является тем же свойством ковариации Лоренца, которое было отмечено ранее. Таким образом, линейная комбинация, использующая произвольный комплексный фазовый фактор ${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

преобразуется ковариантным образом; установка этого значения в ноль дает комплексное двухкомпонентное уравнение Майораны . Уравнение Майораны традиционно записывается как четырехкомпонентное действительное уравнение, а не двухкомпонентное комплексное уравнение; вышеприведенное можно привести к четырехкомпонентной форме (подробности см. в этой статье). Аналогично, левохиральное уравнение Майораны (включая произвольный фазовый множитель ) имеет вид ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

Как отмечалось ранее, левая и правая хиральные версии связаны преобразованием четности. Косое комплексное сопряжение можно распознать как зарядово-сопряженную форму Таким образом, уравнение Майораны можно прочитать как уравнение, связывающее спинор с его зарядово-сопряженной формой. Две различные фазы в массовом члене связаны с двумя различными собственными значениями оператора зарядового сопряжения; подробности см. в зарядовом сопряжении и уравнении Майораны. ${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$ ${\displaystyle \psi ~.}$

Определим пару операторов, операторы Майораны,

${\displaystyle D_{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\qquad D_{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K}$

где — сокращенное напоминание о том, что нужно взять комплексное сопряжение. При преобразованиях Лоренца они преобразуются как ${\displaystyle K}$

${\displaystyle D_{\rm {L}}\mapsto D_{\rm {L}}^{\prime }=SD_{\rm {L}}S^{\dagger }\qquad D_{\rm {R}}\mapsto D_{\rm {R}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}D_{\rm {R}}S^{-1}}$

тогда как спиноры Вейля преобразуются как

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}\qquad \psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }=S\psi _{\rm {R}}}$

как и выше. Таким образом, соответствующие комбинации этих являются Лоренц-ковариантными, и можно взять

${\displaystyle D_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0\qquad D_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$

как пара комплексных 2-спинорных уравнений Майораны.

Оба продукта и являются Лоренц-ковариантными. Продукт явно ${\displaystyle D_{\rm {L}}D_{\rm {R}}}$ ${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}}$

${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

Для проверки этого необходимо иметь в виду, что и что Правая часть сводится к оператору Клейна–Гордона при условии, что , то есть Таким образом, эти два оператора Майораны являются «квадратными корнями» оператора Клейна–Гордона. ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$ ${\displaystyle Ki=-iK~.}$ ${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$ ${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$

Плотности Лагранжа

Уравнения получены из плотностей Лагранжа

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {R}}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}~,}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {L}}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}~.}$

Рассматривая спинор и его сопряженную величину (обозначаемую ) как независимые переменные, получаем соответствующее уравнение Вейля. ${\displaystyle \dagger }$

спиноры Вейля

Термин спинор Вейля также часто используется в более общей постановке, как элемент модуля Клиффорда . Это тесно связано с решениями, приведенными выше, и дает естественную геометрическую интерпретацию спинорам как геометрическим объектам, живущим на многообразии . Эта общая постановка имеет несколько сильных сторон: она проясняет их интерпретацию как фермионов в физике и точно показывает, как определить спин в общей теории относительности или, действительно, для любого риманова многообразия или псевдориманова многообразия . Это неформально обрисовывается следующим образом.

Уравнение Вейля инвариантно относительно действия группы Лоренца. Это означает, что при применении усилений и вращений форма самого уравнения не меняется. Однако форма самого спинора меняется. Полностью игнорируя пространство-время , алгебра спиноров описывается (комплексифицированной) алгеброй Клиффорда . Спиноры преобразуются под действием группы спинов . Это полностью аналогично тому, как можно было бы говорить о векторе и о том, как он преобразуется под действием группы вращений , за исключением того, что теперь это было адаптировано к случаю спиноров. ${\displaystyle \psi }$

Для произвольного псевдориманова многообразия размерности можно рассмотреть его касательное расслоение . В любой заданной точке касательное пространство является размерным векторным пространством . Для данного векторного пространства можно построить на нем алгебру Клиффорда . Если являются базисом векторного пространства на , можно построить пару спиноров Вейля как ^[11] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} (p,q)}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}+ie_{2j+1}\right)}$

и

${\displaystyle w_{j}^{*}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

При надлежащем рассмотрении в свете алгебры Клиффорда они, естественно, антикоммутируют , то есть, получается, что Это можно с успехом интерпретировать как математическую реализацию принципа исключения Паули , что позволяет интерпретировать эти абстрактно определенные формальные структуры как фермионы. Для размерного пространства-времени Минковского возможны только два таких спинора, условно обозначенных как «левый» и «правый», как описано выше. Более формальное, общее представление спиноров Вейля можно найти в статье о группе спинов . ${\displaystyle w_{j}w_{m}=-w_{m}w_{j}~.}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$

Абстрактную, общерелятивистскую форму уравнения Вейля можно понять следующим образом: для заданного псевдориманова многообразия строится расслоение над ним, причем спиновая группа является слоем. Спиновая группа является двойным покрытием специальной ортогональной группы , и поэтому можно отождествить спиновую группу послойно с расслоением фреймов над Когда это сделано, полученная структура называется спиновой структурой . ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle M~.}$

Выбор одной точки на волокне соответствует выбору локальной системы координат для пространства-времени; две разные точки на волокне связаны (лоренцевым) усилением/вращением, то есть локальным изменением координат. Естественными обитателями спиновой структуры являются спиноры Вейля, поскольку спиновая структура полностью описывает, как спиноры ведут себя при (лоренцевых) усилениях/вращениях.

При наличии спинового многообразия аналогом метрической связности является спиновая связность ; это фактически «то же самое», что и обычная связность, только с индексами спина, прикрепленными к ней согласованным образом. Ковариантная производная может быть определена в терминах связности совершенно обычным способом. Она естественным образом действует на расслоение Клиффорда ; расслоение Клиффорда — это пространство, в котором живут спиноры. Общее исследование таких структур и их взаимосвязей называется спиновой геометрией .

Математическое определение

Для четных четная подалгебра комплексной алгебры Клиффорда изоморфна , где . Левосторонний (соответственно, правосторонний) комплексный спинор Вейля в -мерном пространстве является элементом (соответственно, ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} l^{0}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} l(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})\oplus \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})=:\Delta _{n}^{+}\oplus \Delta _{n}^{-}}$ ${\displaystyle N=2^{n/2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{+}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{-}}$

Особые случаи

Существует три важных особых случая, которые можно построить из спиноров Вейля. Один из них — спинор Дирака , который можно рассматривать как пару спиноров Вейля, один левосторонний и один правосторонний. Они связаны вместе таким образом, чтобы представлять электрически заряженное фермионное поле. Электрический заряд возникает из-за того, что поле Дирака преобразуется под действием комплексифицированной спиновой группы. Эта группа имеет структуру ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$

${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)\cong \mathrm {Spin} (p,q)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$

где есть окружность, и может быть идентифицирована с электромагнетизма . Произведение — это просто причудливая нотация, обозначающая произведение с идентифицированными противоположными точками ( двойное покрытие). ${\displaystyle S^{1}\cong \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)\times S^{1}}$ ${\displaystyle (s,u)=(-s,-u)}$

Спинор Майораны — это снова пара спиноров Вейля, но на этот раз устроенных так, что левосторонний спинор является зарядовым сопряжением правостороннего спинора. Результатом является поле с двумя степенями свободы меньше, чем у спинора Дирака. Он не может взаимодействовать с электромагнитным полем, поскольку преобразуется как скаляр под действием группы . То есть он преобразуется как спинор, но трансверсально, так что он инвариантен под действием группы спинов. ${\displaystyle \mathrm {spin} ^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$

Третий особый случай — спинор ELKO, построенный во многом как спинор Майораны, за исключением дополнительного знака минус между парой сопряженных зарядов. Это снова делает его электрически нейтральным, но вводит ряд других довольно удивительных свойств.

Примечания

1. Представленные здесь результаты идентичны результатам уравнений 52 и 57 Асте (2010) ^[10] , хотя вывод, выполненный здесь, совершенно иной. Двойное покрытие, используемое здесь, также идентично уравнению 48 Асте и текущей версии (декабрь 2020 г.) статьи Википедии о группе Лоренца .

Ссылки

1. Шифман, Михаил (1999). Лекции ИТЭФ по физике элементарных частиц и теории поля . Т. 1. С. 292. ISBN 9789810239480.
2. Pal, Palash B. (2011). «Фермионы Дирака, Майораны и Вейля». American Journal of Physics . 79 (5): 485–498. arXiv : 1006.1718 . Bibcode : 2011AmJPh..79..485P. doi : 10.1119/1.3549729. ISSN  0002-9505. S2CID  118685467.
3. Вейль, Герман (1929-04-15). «Гравитация и электрон». Труды Национальной академии наук . 15 (4): 323–334. Bibcode :1929PNAS...15..323W. doi : 10.1073/pnas.15.4.323 . ISSN  0027-8424. PMC 522457 . PMID  16587474. 
4. Bilenky, SM (2005). «История нейтринных осцилляций». Physica Scripta . T121 : 17–22. arXiv : hep-ph/0410090 . Bibcode : 2005PhST..121...17B. doi : 10.1088/0031-8949/2005/T121/001. ISSN  0031-8949. S2CID  119341278.
5. Вишванат, Эшвин (2015-09-08). "Там, где находятся вещи Вейля". APS Physics . Том 8.
6. Wu, CS; Ambler, E.; Hayward, RW; Hoppes, DD; Hudson, RP (1957). «Экспериментальная проверка сохранения четности при бета-распаде». Physical Review . 105 (4): 1413–1415. Bibcode :1957PhRv..105.1413W. doi : 10.1103/PhysRev.105.1413 .
7. Пирсон, Э. Аберс, ред. (2004). Квантовая механика . Addison Wesley, Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-146100-0.
8. Воан, Г., ред. (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
9. Пескин, М. Э.; Шредер, Д. В. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-50397-2– через Google Книги.
10. Aste, Andreas (2010). «Прямая дорога к полям Майораны». Симметрия . Т. 2010, № 2. С. 1776–1809. doi : 10.3390/sym2041776 . ISSN  2073-8994.
11. Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е изд.). Springer Universitext.

Дальнейшее чтение

• Макмахон, Д. (2008). Квантовая теория поля демистифицирована. США: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154382-8.
• Мартин, BR; Шоу, G. (2008). Физика частиц . Manchester Physics (2-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-03294-7.
  • Мартин, Брайан Р.; Шоу, Грэм (2013). Физика элементарных частиц (3-е изд.). ISBN 9781118681664– через Google Книги.
• ЛаБелль, П. (2010). Суперсимметрия демистифицирована. США: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-163641-4– через Google Книги.
• Пенроуз, Роджер (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
• Джонстон, Хэмиш (23 июля 2015 г.). «Вейлевские фермионы наконец-то обнаружены». Physics World . Получено 22 ноября 2018 г.
• Ciudad, David (20 августа 2015 г.). «Безмассовый, но реальный». Nature Materials . 14 (9): 863. doi : 10.1038/nmat4411 . ISSN  1476-1122. PMID  26288972.
• Вишванат, Эшвин (8 сентября 2015 г.). «Где находятся вещи Вейля». APS Physics . Том 8. Получено 22 ноября 2018 г.
• Цзя, Шуан; Сюй, Су-Ян; Хасан, М. Захид (25 октября 2016 г.). «Weyl semimetals, Fermi arcs and chiral anomaly». Nature Materials . 15 (11): 1140–1144. arXiv : 1612.00416 . Bibcode :2016NatMa..15.1140J. doi :10.1038/nmat4787. PMID  27777402. S2CID  1115349.

Внешние ссылки

• http://aesop.phys.utk.edu/qft/2004-5/2-2.pdf
• http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html
• http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf
• http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf