Уравнение Дирака

Релятивистское квантовомеханическое волновое уравнение

В физике элементарных частиц уравнение Дирака представляет собой релятивистское волновое уравнение , полученное британским физиком Полем Дираком в 1928 году. В своей свободной форме или включая электромагнитные взаимодействия оно описывает все массивные частицы со спином 1/2 , называемые «частицами Дирака», такие как электроны и кварки , для которых четность является симметрией . Она согласуется как с принципами квантовой механики , так и со специальной теорией относительности ^[1] и была первой теорией, полностью объяснившей специальную теорию относительности в контексте квантовой механики. Это было подтверждено путем совершенно строгого учета тонкой структуры спектра водорода .

Уравнение также подразумевало существование новой формы материи, антиматерии , о которой ранее не подозревали и которую не наблюдали, и которая была экспериментально подтверждена несколько лет спустя. Это также обеспечило теоретическое обоснование введения нескольких составляющих волновых функций в феноменологическую теорию спина Паули . Волновые функции в теории Дирака представляют собой векторы четырех комплексных чисел (известных как биспиноры ), два из которых напоминают волновую функцию Паули в нерелятивистском пределе, в отличие от уравнения Шредингера , которое описывало волновые функции только одного комплексного значения. Более того, в пределе нулевой массы уравнение Дирака сводится к уравнению Вейля .

Хотя Дирак поначалу не вполне осознавал важность своих результатов, последующее объяснение спина как следствие объединения квантовой механики и теории относительности – и возможное открытие позитрона – представляет собой один из величайших триумфов теоретической физики . Это достижение было описано как полностью соответствующее работам Ньютона , Максвелла и Эйнштейна до него. ^[2] Некоторые физики считают его «настоящим семенем современной физики». ^[3] В контексте квантовой теории поля уравнение Дирака переосмысливается для описания квантовых полей, соответствующих частицам со спином 1/2 .

Уравнение Дирака начертано на мемориальной доске на полу Вестминстерского аббатства . Мемориальная доска, открытая 13 ноября 1995 года, увековечивает жизнь Поля Дирака. ^[4]

Математическая формулировка

В своей современной формулировке теории поля уравнение Дирака записано в терминах спинорного поля Дирака , принимающего значения в комплексном векторном пространстве, конкретно описываемом как , определенное в плоском пространстве-времени ( пространстве Минковского ) . Его выражение также содержит гамма-матрицы и параметр, интерпретируемый как масса, а также другие физические константы. Дирак сначала получил свое уравнение посредством факторизации отношения эквивалентности энергии-импульса-массы Эйнштейна, приняв скалярное произведение векторов импульса, определенных метрическим тензором, и проквантовал полученное соотношение, связав импульсы с соответствующими операторами. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle m>0}$

В терминах поля уравнение Дирака тогда имеет вид ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{4}}$

Уравнение Дирака

${\displaystyle (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi (x)=0}$

и в натуральных единицах , с обозначением Фейнмана косой чертой ,

Уравнение Дирака (натуральные единицы)

${\displaystyle (i\partial \!\!\!/-m)\psi (x)=0}$

Гамма-матрицы представляют собой набор из четырех комплексных матриц (элементов ), которые удовлетворяют определяющим антикоммутационным соотношениям: ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle {\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$

$${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}},}$$

Паули ${\displaystyle \sigma ^{i}}$ ${\displaystyle \gamma ^{i}}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.}$

Обозначение косой черты — это компактное обозначение для

$${\displaystyle A\!\!\!/:=\gamma ^{\mu }A_{\mu }}$$

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$

Сопряженное Дирака и сопряженное уравнение

Сопряженный Дираком спинорному полю определяется как ${\displaystyle \psi (x)}$

$${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)=\psi (x)^{\dagger }\gamma ^{0}.}$$

${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

$${\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0},}$$

${\displaystyle \gamma ^{0}}$

$${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)(-i\gamma ^{\mu }{\overleftarrow {\partial }}_{\mu }-m)=0}$$

${\displaystyle {\overleftarrow {\partial }}_{\mu }}$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$

$${\displaystyle -i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }-m{\bar {\psi }}(x)=0.}$$

Уравнение Клейна – Гордона

Применение к уравнению Дирака дает ${\displaystyle i\partial \!\!\!/+m}$

$${\displaystyle (\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2})\psi (x)=0.}$$

уравнению Клейна-Гордона

Сохраняемый ток

Сохраняющееся течение теории

$${\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$$

Доказательство сохранения из уравнения Дирака

Сложение уравнений Дирака и сопряженных с ними уравнений Дирака дает

$${\displaystyle i((\partial _{\mu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi +{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi )=0}$$

поэтому по правилу Лейбница

$${\displaystyle i\partial _{\mu }({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )=0}$$

Другой подход к выводу этого выражения — вариационные методы, применяющие теорему Нётер о глобальной симметрии для получения сохраняющегося тока. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle J^{\mu }.}$

Доказательство сохранения из теоремы Нётер.

Напомним, что лагранжиан

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi .}$$

В условиях симметрии, которая отправляет ${\displaystyle U(1)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &\mapsto e^{i\alpha }\psi ,\\{\bar {\psi }}&\mapsto e^{-i\alpha }{\bar {\psi }},\end{aligned}}}$$

мы находим, что лагранжиан инвариантен.

Теперь, учитывая, что параметр вариации бесконечно мал, мы работаем в первом порядке и игнорируем члены. Из предыдущего обсуждения мы сразу видим явное изменение лагранжиана из-за исчезновения, то есть при изменении ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}{\alpha ^{2}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\delta {\mathcal {L}},}$$

где . ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=0}$

В рамках теоремы Нётер мы находим неявное изменение лагранжиана из-за изменения полей. Если уравнение движения для выполнено, то ${\displaystyle \psi ,{\bar {\psi }}}$

Это сразу упрощается, поскольку в лагранжиане нет частных производных . это бесконечно малая вариация ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$ ${\displaystyle \delta \psi }$

$${\displaystyle \delta \psi (x)=i\alpha \psi (x).}$$

Мы оцениваем

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }.}$$

Уравнение ( * ) становится

$${\displaystyle 0=-\alpha \partial _{\mu }({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )}$$

и мы закончили.

Решения

Поскольку оператор Дирака действует на 4-х наборах функций, интегрируемых с квадратом , его решения должны быть членами одного и того же гильбертова пространства . Неожиданным является тот факт, что энергии решений не имеют нижней границы.

Плосковолновые решения

Плосковолновые решения - это те, которые возникают в результате анзаца.

$${\displaystyle \psi (x)=u(\mathbf {p} )e^{-ip\cdot x}}$$

${\displaystyle p=(E_{\mathbf {p} },\mathbf {p} )}$ ${\textstyle E_{\mathbf {p} }={\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}.}$

Для этого анзаца уравнение Дирака становится уравнением для : ${\displaystyle u(\mathbf {p} )}$

$${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }p_{\mu }-m\right)u(\mathbf {p} )=0.}$$

Здесь ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

Например, в киральном представлении для пространство решений параметризуется вектором с ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle u(\mathbf {p} )={\begin{pmatrix}{\sqrt {\sigma ^{\mu }p_{\mu }}}\xi \\{\sqrt {{\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }}}\xi \end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})}$ ${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$

Эти решения в виде плоских волн обеспечивают отправную точку для канонического квантования.

Лагранжева формулировка

И уравнение Дирака, и присоединенное уравнение Дирака могут быть получены путем (изменения) действия с определенной лагранжевой плотностью, которая определяется выражением:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi }$$

Если изменить это значение по отношению к, то получится сопряженное уравнение Дирака. Между тем, если изменить это значение по отношению к, получим уравнение Дирака. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$

В натуральных единицах и с использованием косой черты действие тогда будет

Действие Дирака

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,{\bar {\psi }}\,(i\partial \!\!\!{\big /}-m)\,\psi }$

В результате этого действия сохраняющийся ток, указанный выше, возникает как сохраняющийся ток, соответствующий глобальной симметрии согласно теореме Нётер для теории поля. Калибровка этой теории поля путем изменения симметрии на локальную, зависящую от точки пространства-времени, дает калибровочную симметрию (на самом деле, калибровочную избыточность). Результирующая теория — квантовая электродинамика или КЭД. Более подробное обсуждение смотрите ниже. ${\displaystyle J^{\mu }}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

Лоренц-инвариантность

Уравнение Дирака инвариантно относительно преобразований Лоренца, т. е. относительно действия группы Лоренца или, строго , компоненты, связанной с единицей. ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)^{+}}$

Для спинора Дирака, рассматриваемого конкретно как принимающего значения в , преобразование при преобразовании Лоренца задается комплексной матрицей . Есть некоторые тонкости в определении соответствующего , а также стандартное злоупотребление обозначениями. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle S[\Lambda ]}$ ${\displaystyle S[\Lambda ]}$

Большинство методов лечения происходит на уровне алгебры Ли . Более подробное лечение смотрите здесь . Группа Лоренца действительных матриц, действующих на, порождается набором из шести матриц с компонентами ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \{M^{\mu \nu }\}}$

$${\displaystyle (M^{\mu \nu })^{\rho }{}_{\sigma }=\eta ^{\mu \rho }\delta ^{\nu }{}_{\sigma }-\eta ^{\nu \rho }\delta ^{\mu }{}_{\sigma }.}$$

${\displaystyle \rho ,\sigma }$

Они удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Лоренца

$${\displaystyle [M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-M^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.}$$

алгебре Дирака

$${\displaystyle S^{\mu \nu }={\frac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}$$

Преобразование Лоренца можно записать как ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle \Lambda =\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)}$$

${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$

Соответствующее преобразование в спиновом пространстве есть

$${\displaystyle S[\Lambda ]=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\mu \nu }S^{\mu \nu }\right).}$$

${\displaystyle S[\Lambda ]}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle S[\Lambda ]}$ ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle S[\Lambda ]}$ ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }.}$

При преобразовании Лоренца уравнение Дирака

$${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)-m\psi (x)}$$

$${\displaystyle i\gamma ^{\mu }((\Lambda ^{-1})_{\mu }{}^{\nu }\partial _{\nu })S[\Lambda ]\psi (\Lambda ^{-1}x)-mS[\Lambda ]\psi (\Lambda ^{-1}x)=0.}$$

Оставшаяся часть доказательства лоренц-инвариантности

Умножение обеих частей слева на и возврат фиктивной переменной дает ${\displaystyle S^{-1}[\Lambda ]}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle iS[\Lambda ]^{-1}\gamma ^{\mu }S[\Lambda ]((\Lambda ^{-1})_{\mu }{}^{\nu }\partial _{\nu })\psi (x)-m\psi (x)=0.}$$

Мы докажем инвариантность, если

$${\displaystyle S[\Lambda ]^{-1}\gamma ^{\mu }S[\Lambda ](\Lambda ^{-1})^{\nu }{}_{\mu }=\gamma ^{\nu }}$$

или эквивалентно

$${\displaystyle S[\Lambda ]^{-1}\gamma ^{\mu }S[\Lambda ]=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\gamma ^{\nu }.}$$

Легче всего это показать на уровне алгебры. Предположим, что преобразования параметризованы бесконечно малыми компонентами , тогда при первом порядке по , в левой части получим ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\omega _{\rho \sigma }(M^{\rho \sigma })^{\mu }{}_{\nu }\gamma ^{\nu }}$$

а в правой части мы получаем

$${\displaystyle \left[{\frac {1}{2}}\omega _{\rho \sigma }S^{\rho \sigma },\gamma ^{\mu }\right]={\frac {1}{2}}\omega _{\rho \sigma }\left[S^{\rho \sigma },\gamma ^{\mu }\right]}$$

Это стандартное упражнение для оценки коммутатора с левой стороны. Запись в терминах компонент завершает доказательство. ${\displaystyle M^{\rho \sigma }}$

С лоренц-инвариантностью связан сохраняющийся ток Нётера или, скорее, тензор сохраняющихся токов Нётера . Аналогичным образом, поскольку уравнение инвариантно относительно сдвигов, существует тензор сохраняющихся токов Нётера , который можно идентифицировать как тензор энергии-импульса теории. Ток Лоренца можно записать через тензор энергии-импульса в дополнение к тензору, представляющему внутренний угловой момент. ${\displaystyle ({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }}$ ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle ({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }}$

Историческое развитие и дальнейшие математические детали

Уравнение Дирака также использовалось (исторически) для определения квантово-механической теории, но вместо этого интерпретировалось как волновая функция . ${\displaystyle \psi (x)}$

Уравнение Дирака в форме, первоначально предложенной Дираком, имеет вид: ^[5]

$${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\sum _{n=1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}}$$

ψ ( x , t )волновая функциямассы покоя mпространственно-временнымиx , t1 _, p ₂ , p ₃,оператор импульса вШредингераcскорость светаħприведенная постоянная Планкафизические константы

Целью Дирака при составлении этого уравнения было объяснить поведение релятивистски движущегося электрона и, таким образом, позволить рассматривать атом в соответствии с теорией относительности. Его довольно скромная надежда заключалась в том, что внесенные таким образом поправки могут иметь отношение к проблеме атомных спектров .

До этого времени попытки сделать старую квантовую теорию атома совместимой с теорией относительности, которая была основана на дискретизации углового момента, хранящегося на возможно некруговой орбите электрона атомного ядра , терпели неудачу – и новая квантовая механика Гейзенберга , Паули , Йордана , Шрёдингера и самого Дирака не была достаточно развита для решения этой проблемы. Хотя первоначальные намерения Дирака были удовлетворены, его уравнение имело гораздо более глубокие последствия для структуры материи и ввело новые математические классы объектов, которые теперь являются важными элементами фундаментальной физики.

Новыми элементами в этом уравнении являются четыре матрицы 4 × 4 α ₁ , α ₂ , α ₃ и β , а также четырехкомпонентная волновая функция ψ . В ψ четыре компонента , поскольку его оценка в любой заданной точке конфигурационного пространства является биспинором . Он интерпретируется как суперпозиция электрона со спином вверх , электрона со спином вниз, позитрона со спином вверх и позитрона со спином вниз.

Все матрицы αk и β размером 4 × 4 являются эрмитовыми и инволютивными _:

$${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}}$$

антикоммутируют

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}&=0\quad (i\neq j)\\\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}&=0\end{aligned}}}$$

Эти матрицы и вид волновой функции имеют глубокое математическое значение. Алгебраическая структура, представленная гамма-матрицами, была создана около 50 лет назад английским математиком У. К. Клиффордом . В свою очередь, идеи Клиффорда возникли в середине XIX века в работе немецкого математика Германа Грассмана «Lineare Ausdehnungslehre» ( «Теория линейного расширения» ). Последнее считалось большинством его современников почти непостижимым. Появление чего-то, казалось бы, абстрактного, в столь позднее время и таким непосредственным физическим образом является одной из самых замечательных глав в истории физики. ^{[ нужна цитата ]} (Более того, подтверждение изысканной проницательности, продемонстрированной математиками Грассманном и Клиффордом.)

Таким образом, единственное символическое уравнение распадается на четыре связанных линейных дифференциальных уравнения в частных производных первого порядка для четырех величин, составляющих волновую функцию. Более явно уравнение можно записать в планковских единицах следующим образом: ^[6]

$${\displaystyle i\partial _{x}{\begin{bmatrix}+\psi _{4}\\+\psi _{3}\\-\psi _{2}\\-\psi _{1}\end{bmatrix}}+\partial _{y}{\begin{bmatrix}+\psi _{4}\\-\psi _{3}\\-\psi _{2}\\+\psi _{1}\end{bmatrix}}+i\partial _{z}{\begin{bmatrix}+\psi _{3}\\-\psi _{4}\\-\psi _{1}\\+\psi _{2}\end{bmatrix}}-m{\begin{bmatrix}+\psi _{1}\\+\psi _{2}\\+\psi _{3}\\+\psi _{4}\end{bmatrix}}=i\partial _{t}{\begin{bmatrix}-\psi _{1}\\-\psi _{2}\\+\psi _{3}\\+\psi _{4}\end{bmatrix}}}$$

Сделать уравнение Шредингера релятивистским

Уравнение Дирака внешне похоже на уравнение Шрёдингера для массивной свободной частицы :

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.}$$

Левая часть представляет собой квадрат оператора импульса, разделенный на удвоенную массу, которая представляет собой нерелятивистскую кинетическую энергию. Поскольку теория относительности рассматривает пространство и время как единое целое, релятивистское обобщение этого уравнения требует, чтобы производные по пространству и времени входили симметрично, как это происходит в уравнениях Максвелла, которые определяют поведение света - уравнения должны быть дифференциально одного и того же порядка в пространстве. и время. В теории относительности импульс и энергии представляют собой пространственную и временную части вектора пространства-времени, четырехимпульса , и они связаны релятивистски инвариантным соотношением

$${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}$$

который говорит, что длина этого четырехвектора пропорциональна массе покоя m . Подстановка операторных эквивалентов энергии и импульса из теории Шрёдингера приводит к уравнению Клейна – Гордона , описывающему распространение волн, построенному из релятивистски инвариантных объектов:

$${\displaystyle \left(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\right)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi }$$

φплотности вероятности

$${\displaystyle \rho =\phi ^{*}\phi }$$

$${\displaystyle J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \phi ^{*})}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot J+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0~.}$$

Тот факт, что плотность положительно определена и конвектируется в соответствии с этим уравнением непрерывности, означает, что можно проинтегрировать плотность в определенной области и установить общую величину равной 1, и это условие будет поддерживаться законом сохранения . Правильная релятивистская теория с током плотности вероятности также должна обладать этой особенностью. Чтобы сохранить понятие конвекционной плотности, необходимо обобщить выражение Шредингера для плотности и тока так, чтобы производные по пространству и времени снова входили симметрично по отношению к скалярной волновой функции. Выражение Шредингера можно сохранить для тока, но плотность вероятности необходимо заменить симметрично сформированным выражением ^{[ необходимо дальнейшее объяснение ]}

$${\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{*}\partial _{t}\psi -\psi \partial _{t}\psi ^{*}\right).}$$

плотность вероятностного 4-тока

$${\displaystyle J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right).}$$

Уравнение непрерывности остается прежним. Теперь все совместимо с теорией относительности, но выражение плотности больше не является положительно определенным; начальные значения как ψ, так и ∂ _t ψ могут быть выбраны свободно, и, таким образом, плотность может стать отрицательной, что невозможно для законной плотности вероятности. Таким образом, невозможно получить простое обобщение уравнения Шредингера при наивном предположении, что волновая функция является релятивистским скаляром, а уравнение, которому она удовлетворяет, имеет второй порядок по времени.

Хотя это не является успешным релятивистским обобщением уравнения Шредингера, это уравнение возрождается в контексте квантовой теории поля , где оно известно как уравнение Клейна-Гордона и описывает бесспиновое поле частиц (например, пи-мезон или бозон Хиггса ). . Исторически сложилось так, что сам Шредингер пришел к этому уравнению раньше, чем к уравнению, носящему его имя, но вскоре отказался от него. В контексте квантовой теории поля под неопределенной плотностью понимают плотность заряда , которая может быть положительной или отрицательной, а не плотность вероятности.

Переворот Дирака

Таким образом, Дирак решил попробовать уравнение первого порядка как в пространстве, так и во времени. Он постулировал уравнение вида

$${\displaystyle E\psi =({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}+\beta m)\psi }$$

^{[7] : 205} ${\displaystyle ({\vec {\alpha }},\beta )}$ ${\displaystyle ({\vec {p}},t)}$ ${\displaystyle ({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle ({\vec {\alpha }},\beta )}$

Можно, например, формально (т. е. путем злоупотребления обозначениями ) принять релятивистское выражение для энергии

$${\displaystyle E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}~,}$$

pбесконечный ряд

Как гласит история, Дирак смотрел в камин в Кембридже, размышляя над этой проблемой, когда ему в голову пришла идея извлечь квадратный корень из волнового оператора следующим образом:

$${\displaystyle \nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)~.}$$

При умножении правой части становится очевидным, что для того, чтобы все перекрестные члены, такие как ∂ _x ∂ _y , исчезли, нужно предположить, что

$${\displaystyle AB+BA=0,~\ldots ~}$$

$${\displaystyle A^{2}=B^{2}=\dots =1~.}$$

Дирак, который как раз тогда активно занимался разработкой основ матричной механики Гейзенберга , сразу понял, что эти условия могут быть выполнены, если A , B , C и D являются матрицами , подразумевая, что волновая функция имеет несколько компонентов . Это сразу же объяснило появление двухкомпонентных волновых функций в феноменологической теории спина Паули , что до тех пор считалось загадочным даже для самого Паули. Однако для создания системы с требуемыми свойствами необходима матрица как минимум 4 × 4 — поэтому волновая функция имела четыре компонента, а не два, как в теории Паули, или один, как в голой теории Шрёдингера. Четырехкомпонентная волновая функция представляет собой новый класс математических объектов физических теорий, который впервые появляется здесь.

Учитывая факторизацию по этим матрицам, теперь можно сразу записать уравнение

$${\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\psi =\kappa \psi }$$

${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\psi ~.}$$

Взятие показывает, что все компоненты волновой функции по отдельности удовлетворяют релятивистскому соотношению энергия-импульс. Таким образом, искомое уравнение первого порядка как в пространстве, так и во времени имеет вид ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}}$

$${\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0~.}$$

Параметр

$${\displaystyle A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\,D=\beta ~,}$$

${\displaystyle D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}}$

Ковариантная форма и релятивистская инвариантность

Чтобы продемонстрировать релятивистскую инвариантность уравнения, выгодно привести его к форме, в которой производные по пространству и времени фигурируют на равных. Новые матрицы вводятся следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}D&=\gamma ^{0},\\A&=i\gamma ^{1},\quad B=i\gamma ^{2},\quad C=i\gamma ^{3},\end{aligned}}}$$

4-градиента∂ ₀ =1/с∂ _т

Уравнение Дирака

${\displaystyle (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0}$

где подразумевается суммирование по значениям дважды повторяющегося индекса µ = 0, 1, 2, 3 и ∂ _µ — 4-градиент. На практике гамма-матрицы часто записывают в виде подматриц 2 × 2, взятых из матриц Паули и единичной матрицы 2 × 2 . Явно стандартное представление имеет вид

$${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{pmatrix}}.}$$

Полная система суммируется с использованием метрики Минковского в пространстве-времени в форме

$${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$$

$${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}$$

антикоммутаторалгебры Клиффордаметрической сигнатурой (+ - - -)алгебра Диракагеометрической алгебры

Уравнение Дирака теперь можно интерпретировать как уравнение собственных значений, где масса покоя пропорциональна собственному значению оператора 4-импульса , а константой пропорциональности является скорость света:

$${\displaystyle P_{\text{op}}\psi =mc\psi \,.}$$

Используя ( произносится как «d-косая черта»), ^[8] в соответствии с обозначением косой черты Фейнмана, уравнение Дирака принимает вид: ${\displaystyle {\partial \!\!\!/}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$ ${\displaystyle {\partial \!\!\!{\big /}}}$

$${\displaystyle i\hbar {\partial \!\!\!{\big /}}\psi -mc\psi =0\,.}$$

На практике физики часто используют такие единицы измерения, как ħ = c = 1 , известные как натуральные единицы . Тогда уравнение принимает простой вид

Уравнение Дирака (натуральные единицы)

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}-m)\psi =0}$

Фундаментальная теорема гласит, что если даны два различных набора матриц, которые оба удовлетворяют соотношениям Клиффорда , то они соединяются друг с другом преобразованием подобия :

$${\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S\,.}$$

Если, кроме того, все матрицы унитарны , как и множество Дирака, то S само унитарно ;

$${\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\,.}$$

Преобразование U уникально с точностью до мультипликативного коэффициента абсолютного значения 1. Теперь представим себе, что преобразование Лоренца выполняется над пространственными и временными координатами, а также над производными операторами, которые образуют ковариантный вектор. Чтобы оператор γ ^µ ∂ _µ оставался инвариантным, гаммы должны трансформироваться между собой как контравариантный вектор относительно своего пространственно-временного индекса. Эти новые гаммы сами будут удовлетворять соотношениям Клиффорда из-за ортогональности преобразования Лоренца. По основной теореме можно заменить новое множество старым, подвергнутым унитарному преобразованию. В новой системе отсчета, учитывая, что масса покоя является релятивистским скаляром, уравнение Дирака примет вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{\prime }-m\right)\psi \left(x^{\prime },t^{\prime }\right)&=0\\U^{\dagger }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)U\psi \left(x^{\prime },t^{\prime }\right)&=0\,.\end{aligned}}}$$

Если преобразованный спинор определяется как

$${\displaystyle \psi ^{\prime }=U\psi }$$

явную релятивистскую инвариантность

$${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m\right)\psi ^{\prime }\left(x^{\prime },t^{\prime }\right)=0\,.}$$

Таким образом, выбор любого унитарного представления гаммы является окончательным при условии преобразования спинора по унитарному преобразованию, соответствующему данному преобразованию Лоренца.

Различные представления используемых матриц Дирака привлекут внимание к конкретным аспектам физического содержания волновой функции Дирака. Показанное здесь представление известно как стандартное представление – в нем две верхние компоненты волновой функции переходят в 2-спинорную волновую функцию Паули в пределе низких энергий и малых по сравнению со светом скоростей.

Приведенные выше соображения раскрывают происхождение гамм в геометрии , возвращаясь к первоначальной мотивации Грассмана; они представляют фиксированную основу единичных векторов в пространстве-времени. Точно так же продукты гамм, такие как γ _μ γ _ν , представляют собой ориентированные элементы поверхности и так далее. Имея это в виду, можно найти форму элемента единичного объема в пространстве-времени в терминах гамм следующим образом. По определению, это

$${\displaystyle V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }.}$$

Чтобы это было инвариантом, символ эпсилон должен быть тензором и, следовательно, должен содержать коэффициент √ g , где g — определитель метрического тензора . Поскольку это отрицательное значение, этот фактор является мнимым . Таким образом

$${\displaystyle V=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}.}$$

Этой матрице присвоен специальный символ γ ⁵ из-за ее важности при рассмотрении несобственных преобразований пространства-времени, то есть тех, которые меняют ориентацию базисных векторов. В стандартном представлении это

$${\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.}$$

Также будет обнаружено, что эта матрица антикоммутирует с другими четырьмя матрицами Дирака:

$${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0}$$

Он играет ведущую роль при возникновении вопросов о четности , поскольку элемент объема как направленная величина меняет знак при пространственно-временном отражении. Таким образом, извлечение положительного квадратного корня выше равносильно выбору соглашения о направленности пространства-времени.

Сравнение с родственными теориями

теория Паули

Необходимость введения полуцелого спина экспериментально восходит к результатам эксперимента Штерна-Герлаха . Пучок атомов пропускается через сильное неоднородное магнитное поле , которое затем распадается на N частей в зависимости от собственных угловых моментов атомов. Было обнаружено, что для атомов серебра пучок расщепляется надвое; поэтому основное состояние не могло быть целым , потому что даже если бы собственный угловой момент атомов был как можно меньшим, 1, пучок был бы разделен на три части, соответствующие атомам с L _z = -1, 0, +1. . Вывод состоит в том, что атомы серебра имеют чистый собственный угловой момент 1 ⁄ 2 . Паули создал теорию, которая объяснила это расщепление путем введения двухкомпонентной волновой функции и соответствующего поправочного члена в гамильтониан , представляющего полуклассическую связь этой волновой функции с приложенным магнитным полем, как это происходит в единицах СИ : (Примечание что символы, выделенные жирным шрифтом, подразумевают евклидовы векторы в трех  измерениях , тогда как четырехвектор Минковского A _μ можно определить как .) ${\displaystyle A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )}$

$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right)^{2}+e\phi ~.}$$

Здесь А и представляют собой компоненты электромагнитного четырехпотенциала в их стандартных единицах СИ, а три сигмы — это матрицы Паули . При возведении в квадрат первого слагаемого обнаруживается остаточное взаимодействие с магнитным полем, а также обычный классический гамильтониан заряженной частицы, взаимодействующей с приложенным полем в единицах СИ : ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ~.}$$

Этот гамильтониан теперь представляет собой матрицу размером 2 × 2 , поэтому основанное на нем уравнение Шредингера должно использовать двухкомпонентную волновую функцию. При введении аналогичным способом внешнего электромагнитного 4-векторного потенциала в уравнение Дирака, известного как минимальная связь , он принимает вид:

$${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }(i\hbar \partial _{\mu }-eA_{\mu })-mc\right)\psi =0~.}$$

Второе применение оператора Дирака теперь воспроизведет член Паули точно так же, как и раньше, потому что пространственные матрицы Дирака, умноженные на i , имеют те же свойства возведения в квадрат и коммутации, что и матрицы Паули. Более того, значение гиромагнитного отношения электрона, стоящее перед новым термином Паули, объясняется из первых принципов. Это было главным достижением уравнения Дирака и вселило в физиков большую веру в его общую правильность. Однако есть еще кое-что. Теорию Паули можно рассматривать как нижний энергетический предел теории Дирака следующим образом. Сначала уравнение записывается в виде связанных уравнений для 2-спиноров с восстановленными единицами СИ:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}mc^{2}-E+e\phi &c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)&mc^{2}+E-e\phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{-}&=mc^{2}\psi _{+}\\-(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}&=mc^{2}\psi _{-}\end{aligned}}}$$

Если предположить, что поле слабое, а движение электрона нерелятивистское, то полная энергия электрона примерно равна его энергии покоя , а импульс переходит к классическому значению:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E-e\phi &\approx mc^{2}\\\mathbf {p} &\approx m\mathbf {v} \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}}$$

что в порядке вещейв/с– таким образом, при типичных энергиях и скоростях нижние компоненты спинора Дирака в стандартном представлении сильно подавлены по сравнению с верхними компонентами. Подстановка этого выражения в первое уравнение дает после некоторой перестановки

$${\displaystyle \left(E-mc^{2}\right)\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right]^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}$$

Оператор слева представляет энергию частицы, уменьшенную на ее энергию покоя, которая является классической энергией, поэтому можно восстановить теорию Паули, отождествив его 2-спинор с верхними компонентами спинора Дирака в нерелятивистском приближении. Дальнейшее приближение дает уравнение Шредингера как предел теории Паули. Таким образом, уравнение Шредингера можно рассматривать как далеко нерелятивистское приближение уравнения Дирака, когда можно пренебречь спином и работать только при низких энергиях и скоростях. Это также было большим триумфом нового уравнения, поскольку оно проследило загадочное i , которое появляется в нем, и необходимость сложной волновой функции вплоть до геометрии пространства-времени через алгебру Дирака. Это также подчеркивает, почему уравнение Шредингера, хотя и внешне имеет форму уравнения диффузии , на самом деле представляет собой распространение волн.

Следует особо подчеркнуть, что такое разделение спинора Дирака на большую и малую компоненты явно зависит от низкоэнергетического приближения. Весь спинор Дирака представляет собой несократимое целое, и компоненты, которыми мы здесь пренебрегли, чтобы прийти к теории Паули, приведут к новым явлениям в релятивистском режиме – антиматерии и идее рождения и уничтожения частиц.

Теория Вейля

В безмассовом случае уравнение Дирака сводится к уравнению Вейля , которое описывает релятивистские безмассовые частицы со спином 1/2 . ^[9] ${\displaystyle m=0}$

Теория приобретает вторую симметрию: см. ниже. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

Физическая интерпретация

Идентификация наблюдаемых

Критический физический вопрос в квантовой теории заключается в следующем: каковы физически наблюдаемые величины, определяемые теорией? Согласно постулатам квантовой механики, такие величины определяются эрмитовыми операторами , действующими на гильбертовом пространстве возможных состояний системы. Собственные значения этих операторов тогда являются возможными результатами измерения соответствующей физической величины. В теории Шредингера простейшим таким объектом является общий гамильтониан, который представляет полную энергию системы. Чтобы сохранить эту интерпретацию при переходе к теории Дирака, гамильтониан необходимо принять равным

$${\displaystyle H=\gamma ^{0}\left[mc^{2}+c\gamma ^{k}\left(p_{k}-qA_{k}\right)\right]+cqA^{0}.}$$

суммированиеk = 1, 2, 3A = 0cqA ⁰

$${\displaystyle H=c{\sqrt {\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}+m^{2}c^{2}}}+qA^{0}.}$$

Таким образом, гамильтониан Дирака фундаментально отличается от своего классического аналога, и нужно очень внимательно идентифицировать то, что наблюдается в этой теории. Большая часть явно парадоксального поведения, подразумеваемого уравнением Дирака, сводится к неправильной идентификации этих наблюдаемых. ^{[ нужна цитата ]}

Теория дырок

Отрицательные E -решения уравнения проблематичны, поскольку предполагалось, что частица имеет положительную энергию. Однако с математической точки зрения у нас, похоже, нет причин отвергать решения с отрицательной энергией. Поскольку они существуют, их нельзя просто игнорировать, поскольку, как только будет включено взаимодействие между электроном и электромагнитным полем, любой электрон, помещенный в собственное состояние с положительной энергией, распадется на собственные состояния с отрицательной энергией и последовательно более низкой энергией. Реальные электроны, очевидно, не ведут себя таким образом, иначе они бы исчезли, испустив энергию в виде фотонов .

Чтобы справиться с этой проблемой, Дирак выдвинул гипотезу, известную как теория дырок , о том, что вакуум — это многочастичное квантовое состояние, в котором все собственные состояния электронов с отрицательной энергией заняты. Такое описание вакуума как «моря» электронов называется морем Дирака . Поскольку принцип исключения Паули запрещает электронам занимать одно и то же состояние, любой дополнительный электрон будет вынужден занять собственное состояние с положительной энергией, а электронам с положительной энергией будет запрещено распадаться на собственные состояния с отрицательной энергией.

Дирак далее рассуждал, что если собственные состояния с отрицательной энергией заполнены не полностью, каждое незанятое собственное состояние, называемое дыркой , будет вести себя как положительно заряженная частица. Дырка обладает положительной энергией, поскольку для создания пары частица-дырка из вакуума требуется энергия. Как отмечалось выше, Дирак первоначально думал, что дырка может быть протоном, но Герман Вейль указал, что дырка должна вести себя так, как если бы она имела ту же массу, что и электрон, тогда как протон более чем в 1800 раз тяжелее. В конечном итоге дырка была идентифицирована как позитрон , экспериментально открытый Карлом Андерсоном в 1932 году ^{. [10]}

Не совсем удовлетворительно описывать «вакуум», используя бесконечное море электронов с отрицательной энергией. Бесконечно отрицательный вклад от моря электронов с отрицательной энергией должен быть компенсирован бесконечной положительной «голой» энергией, а вклад в плотность заряда и ток, исходящий от моря электронов с отрицательной энергией, в точности компенсируется бесконечной положительной энергией. «желе » на фоне, так что результирующая плотность электрического заряда вакуума равна нулю. В квантовой теории поля преобразование Боголюбова операторов рождения и уничтожения (превращение занятого состояния электрона с отрицательной энергией в незанятое состояние позитрона с положительной энергией и незанятого состояния электрона с отрицательной энергией в занятое состояние позитрона с положительной энергией) позволяет нам обойти Морской формализм Дирака, хотя формально он ему эквивалентен.

Однако в некоторых приложениях физики конденсированного состояния основные концепции «теории дырок» справедливы. Море электронов проводимости в электрическом проводнике , называемое морем Ферми , содержит электроны с энергиями, достигающими химического потенциала системы. Незаполненное состояние в море Ферми ведет себя как положительно заряженный электрон, и хотя его тоже называют «электронной дыркой», оно отличается от позитрона. Отрицательный заряд ферми-моря уравновешивается положительно заряженной ионной решеткой материала.

В квантовой теории поля

В квантовых теориях поля, таких как квантовая электродинамика , поле Дирака подвергается процессу вторичного квантования , который разрешает некоторые парадоксальные особенности уравнения.

Дальнейшее обсуждение лоренц-ковариации уравнения Дирака.

Уравнение Дирака является лоренц-ковариантным . Это помогает пролить свет не только на уравнение Дирака, но и на спинор Майораны и спинор Элко, которые, хотя и тесно связаны, имеют тонкие и важные различия.

Понимание ковариации Лоренца упрощается, если учитывать геометрический характер процесса. ^[11] Пусть — одна неподвижная точка в пространственно-временном многообразии . Его местоположение может быть выражено в нескольких системах координат . В физической литературе они записываются как и , с пониманием того, что оба и описывают одну и ту же точку , но в разных локальных системах отсчета ( система отсчета в небольшом расширенном участке пространства-времени). Можно представить , что над ним находится волокно с разными системами координат. В геометрических терминах говорят, что пространство-время можно охарактеризовать как расслоение волокон , а точнее, расслоение фреймов . Разница между двумя точками в одном и том же волокне представляет собой комбинацию вращений и повышений Лоренца . Выбор системы координат — это (локальное) сечение этого пучка. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$

С каркасным расслоением связан второй расслоение — спинорное расслоение . Сечение спинорного пучка представляет собой не что иное, как поле частицы (в данном случае спинор Дирака). Разные точки спинорного слоя соответствуют одному и тому же физическому объекту (фермиону), но выраженному в разных системах Лоренца. Очевидно, что для получения согласованных результатов расслоение фреймов и спинорное расслоение должны быть согласованно связаны друг с другом; формально говорят, что спинорное расслоение является ассоциированным расслоением ; он связан с основным пакетом , который в данном случае является пакетом кадров. Различия между точками на волокне соответствуют симметриям системы. Спинорное расслоение имеет два различных генератора своих симметрий: полный угловой момент и собственный угловой момент . Оба соответствуют преобразованиям Лоренца, но по-разному.

Представленная здесь презентация следует за презентацией Ицыксона и Зубера. ^[12] Он почти идентичен тому, что было у Бьоркена и Дрелла. ^[13] Аналогичный вывод в общей релятивистской ситуации можно найти у Вайнберга. ^[14] Здесь мы фиксируем наше пространство-время как плоское, то есть наше пространство-время — это пространство Минковского.

При преобразовании Лоренца спинор Дирака преобразуется как ${\displaystyle x\mapsto x',}$

$${\displaystyle \psi '(x')=S\psi (x)}$$

${\displaystyle S}$

$${\displaystyle S=\exp \left({\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)}$$

${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$

$${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]~.}$$

Эту матрицу можно интерпретировать как собственный угловой момент поля Дирака. То, что он заслуживает такой интерпретации, вытекает из противопоставления его генератору преобразований Лоренца , имеющему вид ${\displaystyle J_{\mu \nu }}$

$${\displaystyle J_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\sigma _{\mu \nu }+i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })}$$

полный угловой момент

$${\displaystyle \psi ^{\prime }(x)=\exp \left({\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\psi (x)}$$

не ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\mapsto x'}$ ${\displaystyle \psi (x)\mapsto \psi '(x')}$ ${\displaystyle x'\mapsto x}$

Геометрическая интерпретация вышеизложенного заключается в том, что поле кадра является аффинным и не имеет предпочтительного происхождения. Генератор генерирует симметрии этого пространства: он обеспечивает перемаркировку фиксированной точки. Генератор генерирует движение от одной точки волокна к другой: движение из обеих , но все еще соответствующее одной и той же точке пространства-времени. Эти, возможно, тупые замечания могут быть поясняется с помощью явной алгебры. ${\displaystyle J_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle x~.}$ ${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle x\mapsto x'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle a.}$

Пусть – преобразование Лоренца. Уравнение Дирака ${\displaystyle x'=\Lambda x}$

$${\displaystyle i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi (x)-m\psi (x)=0}$$

$${\displaystyle i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi ^{\prime }(x^{\prime })-m\psi ^{\prime }(x^{\prime })=0}$$

т. д.унитарную матрицу ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{\prime }}$

$${\displaystyle \psi ^{\prime }(x^{\prime })=S(\Lambda )\psi (x)}$$

$${\displaystyle i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}S(\Lambda )\psi (x)-mS(\Lambda )\psi (x)=0}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }}$$

$${\displaystyle S(\Lambda )\gamma ^{\mu }S^{-1}(\Lambda )={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\gamma ^{\nu }}$$

${\displaystyle S(\Lambda )}$

$${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}_{\nu }+{\omega ^{\mu }}_{\nu }\ ,\ {(\Lambda ^{-1})^{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}_{\nu }-{\omega ^{\mu }}_{\nu }}$$

метрический тензор ${\displaystyle {g^{\mu }}_{\nu }}$ ${\displaystyle {g^{\mu }}_{\nu }=g^{\mu \nu '}g_{\nu '\nu }={\delta ^{\mu }}_{\nu }}$ ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }={\omega ^{\alpha }}_{\nu }g_{\alpha \mu }}$

$${\displaystyle S(\Lambda )=I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }+{\mathcal {O}}\left(\Lambda ^{2}\right)}$$

${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi '(x')&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)\psi (x)\\&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)\psi (x'+{\omega ^{\mu }}_{\nu }\,x^{\prime \,\nu })\\&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }-x_{\mu }^{\prime }\omega ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\right)\psi (x')\\&=\left(I+{\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\psi (x')\\\end{aligned}}}$$

После правильной антисимметризации получается генератор симметрий, заданный ранее. Таким образом, оба и можно назвать «генераторами преобразований Лоренца», но с тонким различием: первое соответствует перемаркировке точек на аффинном расслоении реперов , что приводит к перемещению вдоль слоя спинора на спин расслоение , а второе соответствует перемещениям по слою спинового расслоения (понимаемым как движение по фрейму расслоения, а также движение по слою спинового расслоения). Вайнберг приводит дополнительные аргументы в пользу физической интерпретации этих расслоений как полный и собственный угловой момент. ^[15] ${\displaystyle J_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle J_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle x\mapsto x'}$ ${\displaystyle \psi \mapsto \psi '}$

Другие составы

Уравнение Дирака можно сформулировать и другими способами.

Искривленное пространство-время

В этой статье разработано уравнение Дирака в плоском пространстве-времени согласно специальной теории относительности. Можно сформулировать уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени .

Алгебра физического пространства

В этой статье было разработано уравнение Дирака с использованием четырехвекторов и операторов Шредингера. Уравнение Дирака в алгебре физического пространства использует алгебру Клиффорда над действительными числами, тип геометрической алгебры.

Спаренные спиноры Вейля

Как уже говорилось выше, безмассовое уравнение Дирака сразу сводится к однородному уравнению Вейля . Используя киральное представление гамма-матриц , уравнение ненулевой массы также можно разложить на пару связанных неоднородных уравнений Вейля, действующих на первую и последнюю пары индексов исходного четырехкомпонентного спинора, т. е . где и являются каждым двухкомпонентные спиноры Вейля . Это связано с тем, что перекошенная блочная форма киральных гамма-матриц означает, что они меняют местами и и применяют матрицы Паули два на два к каждой: ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \psi _{L}}$ ${\displaystyle \psi _{R}}$ ${\displaystyle \psi _{L}}$ ${\displaystyle \psi _{R}}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu }{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma ^{\mu }\psi _{R}\\{\overline {\sigma }}^{\mu }\psi _{L}\end{pmatrix}}}$.

Итак, уравнение Дирака

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m){\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}=0}$

становится

${\displaystyle i{\begin{pmatrix}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}\\{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}\end{pmatrix}}=m{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}}$

что, в свою очередь, эквивалентно паре неоднородных уравнений Вейля для безмассовых спиноров левой и правой спиральности , где сила связи пропорциональна массе:

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}=m\psi _{L}}$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}=m\psi _{R}}$. ^{[ нужны разъяснения ]}

Это было предложено как интуитивное объяснение Zitterbewegung , поскольку эти безмассовые компоненты будут распространяться со скоростью света и двигаться в противоположных направлениях, поскольку спиральность — это проекция вращения на направление движения. ^[16] Здесь роль «массы» заключается не в том, чтобы сделать скорость меньше скорости света, а вместо этого в контроле средней скорости, с которой происходят эти изменения; в частности, развороты можно смоделировать как процесс Пуассона . ^[17] ${\displaystyle m}$

U (1) симметрия

В этом разделе используются натуральные единицы. Константа связи традиционно обозначается знаком : этот параметр также можно рассматривать как модель заряда электрона. ${\displaystyle e}$

Векторная симметрия

Уравнение и действие Дирака допускают симметрию, при которой поля преобразуются как ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle \psi ,{\bar {\psi }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&\mapsto e^{i\alpha }\psi (x),\\{\bar {\psi }}(x)&\mapsto e^{-i\alpha }{\bar {\psi }}(x).\end{aligned}}}$$

векторнаяосевойтеореме Нётер ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

$${\displaystyle J^{\mu }(x)={\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x).}$$

Оценка симметрии

Если мы «продвинем» глобальную симметрию, параметризованную константой , до локальной симметрии, параметризованной функцией , или, что то же самое, уравнение Дирака больше не будет инвариантным: существует остаточная производная от . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle e^{i\alpha }:\mathbb {R} ^{1,3}\to {\text{U}}(1),}$ ${\displaystyle \alpha (x)}$

Исправление происходит так же, как в скалярной электродинамике : частная производная преобразуется в ковариантную производную. ${\displaystyle D_{\mu }}$

$${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +ieA_{\mu }\psi ,}$$

$${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}=\partial _{\mu }{\bar {\psi }}-ieA_{\mu }{\bar {\psi }}.}$$

калибровочное полесвязь ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

Закон преобразования при калибровочных преобразованиях для тогда является обычным ${\displaystyle A_{\mu }}$

$${\displaystyle A_{\mu }(x)\mapsto A_{\mu }(x)+{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha (x)}$$

$${\displaystyle D_{\mu }\psi (x)\mapsto e^{i\alpha (x)}D_{\mu }\psi (x),}$$

$${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}(x)\mapsto e^{-i\alpha (x)}D_{\mu }{\bar {\psi }}(x).}$$

$${\displaystyle S=\int d^{4}x\,{\bar {\psi }}\,(iD\!\!\!\!{\big /}-m)\,\psi =\int d^{4}x\,{\bar {\psi }}\,(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\,\psi .}$$

$${\displaystyle S_{\text{Maxwell}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right].}$$

КЭД действие

${\displaystyle S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(iD\!\!\!\!{\big /}-m)\,\psi \right]}$

Расширение ковариантной производной позволяет записать действие во второй полезной форме:

$${\displaystyle S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(i\partial \!\!\!{\big /}-m)\,\psi -eJ^{\mu }A_{\mu }\right]}$$

Осевая симметрия

Безмассовые фермионы Дирака, то есть поля, удовлетворяющие уравнению Дирака с , допускают вторую, неэквивалентную симметрию. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

В этом легче всего убедиться, записав четырехкомпонентный фермион Дирака как пару двухкомпонентных векторных полей: ${\displaystyle \psi (x)}$

$${\displaystyle \psi (x)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\end{pmatrix}},}$$

киральное представление ${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$

$${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\\i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\ &0\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$ ${\displaystyle (I_{2},\sigma ^{i})}$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }}$ ${\displaystyle (I_{2},-\sigma ^{i})}$

Тогда действие Дирака принимает вид

$${\displaystyle S=\int d^{4}x\,\psi _{1}^{\dagger }(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu })\psi _{1}+\psi _{2}^{\dagger }(i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu })\psi _{2}.}$$

спиноров Вейля

Прежняя векторная симметрия все еще присутствует, когда и вращаются одинаково. В такой форме действия проявляется вторая неэквивалентная симметрия: ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(x)&\mapsto e^{i\beta }\psi _{1}(x),\\\psi _{2}(x)&\mapsto e^{-i\beta }\psi _{2}(x).\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \psi (x)\mapsto \exp(i\beta \gamma ^{5})\psi (x)}$$

${\displaystyle \exp }$

Это не единственная возможная симметрия, но она традиционна. Любая «линейная комбинация» векторной и осевой симметрии также является симметрией. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

Классически осевая симметрия допускает хорошо сформулированную калибровочную теорию. Но на квантовом уровне существует аномалия , то есть препятствие для измерения.

Расширение цветовой симметрии

Мы можем расширить это обсуждение от абелевой симметрии до общей неабелевой симметрии относительно калибровочной группы — группы цветовых симметрий теории. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle G}$

Для конкретности зафиксируем специальную унитарную группу матриц, действующих на . ${\displaystyle G={\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

До этого раздела его можно было рассматривать как спинорное поле в пространстве Минковского, другими словами, как функцию , а ее компоненты в помечены спиновыми индексами, условно греческими индексами, взятыми из начала алфавита . ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{1,3}\mapsto \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }$

Переходя к калибровочной теории, неформально приобретает часть, преобразующую как , и они обозначаются цветовыми индексами, условно латинскими индексами . Всего имеет компоненты, заданные в индексах . «Спинор» обозначает только то, как поле трансформируется при преобразованиях пространства-времени. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ ${\displaystyle i,j,k,\cdots }$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle 4N}$ ${\displaystyle \psi ^{i,\alpha }(x)}$

Формально оценивается в тензорном произведении, т. е. является функцией ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes \mathbb {C} ^{N}.}$

Калибрование происходит аналогично абелеву случаю, с некоторыми отличиями. При калибровочном преобразовании спинорные поля преобразуются как ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),}$

$${\displaystyle \psi (x)\mapsto U(x)\psi (x)}$$

$${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)\mapsto {\bar {\psi }}(x)U^{\dagger }(x).}$$

${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$

$${\displaystyle A_{\mu }(x)\mapsto U(x)A_{\mu }(x)U(x)^{-1}+{\frac {1}{g}}(\partial _{\mu }U(x))U(x)^{-1},}$$

$${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +igA_{\mu }\psi ,}$$

$${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}=\partial _{\mu }{\bar {\psi }}-ig{\bar {\psi }}A_{\mu }^{\dagger }}$$

$${\displaystyle D_{\mu }\psi (x)\mapsto U(x)D_{\mu }\psi (x),}$$

$${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}(x)\mapsto (D_{\mu }{\bar {\psi }}(x))U(x)^{\dagger }.}$$

Запись калибровочно-инвариантного действия происходит точно так же , как и в случае замены лагранжиана Максвелла на лагранжиан Янга–Миллса. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

$${\displaystyle S_{\text{Y-M}}=\int d^{4}x\,-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })}$$

$${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }-ig\left[A_{\mu },A_{\nu }\right]}$$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

Тогда действие

Действие КХД

${\displaystyle S_{\text{QCD}}=\int d^{4}x\,-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+{\bar {\psi }}\,(iD\!\!\!\!{\big /}-m)\,\psi }$

Физические приложения

Для физических приложений этот случай описывает кварковый сектор Стандартной модели , моделирующей сильные взаимодействия . Кварки моделируются как спиноры Дирака; калибровочное поле — это глюонное поле. Случай описывает часть электрослабого сектора Стандартной модели. Лептоны, такие как электроны и нейтрино, являются спинорами Дирака; калибровочное поле — это калибровочный бозон. ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle W}$

Обобщения

Это выражение можно обобщить на произвольную группу Ли со связью и представлением , где цветная часть оценивается в . Формально поле Дирака является функцией ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle (\rho ,G,V)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes V.}$

Затем преобразуется при калибровочном преобразовании как ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{1,3}\to G}$

$${\displaystyle \psi (x)\mapsto \rho (g(x))\psi (x)}$$

$${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +\rho (A_{\mu })\psi }$$

алгебры Ли ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\text{L}}(G)}$ ${\displaystyle G}$

Эту теорию можно обобщить на искривленное пространство-время, но в калибровочной теории общего пространства-времени (или, в более общем смысле, многообразия) возникают тонкости, которые в плоском пространстве-времени можно игнорировать. В конечном итоге это связано с сжимаемостью плоского пространства-времени, которая позволяет нам рассматривать калибровочное поле и калибровочные преобразования, как они определены глобально на . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$

Смотрите также

Рекомендации

Цитаты

1. П.В. Аткинс (1974). Кванта: Справочник концепций . Издательство Оксфордского университета. п. 52. ИСБН 978-0-19-855493-6.
2. Т.Эй, П.Уолтерс (2009). Новая квантовая вселенная . Издательство Кембриджского университета. п. 228. ИСБН 978-0-521-56457-1.
3. Зичичи, Антонино (2 марта 2000 г.). «Дирак, Эйнштейн и физика». Мир физики . Проверено 22 октября 2023 г.
4. Гизела Дирак-Варенбург. «Поль Дирак». Дирак.ч . Проверено 12 июля 2013 г.
5. Дирак, Поль AM (1982) [1958]. Принципы квантовой механики . Международная серия монографий по физике (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 255. ИСБН 978-0-19-852011-5.
6. Коллас, Питер; Кляйн, Дэвид (2019). Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени: Руководство для расчетов. Спрингер. п. 7. ISBN 978-3-030-14825-6.Выдержка со страницы 7
7. Дак, Ян; Сударшан, ЭКГ (1998). Паули и теорема спиновой статистики. МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. дои : 10.1142/3457. ISBN 978-981-02-3114-9.
8. Пендлтон, Брайан (2012–2013). Квантовая теория (PDF) . раздел 4.3 «Уравнение Дирака». Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
9. Олссон, Томми (22 сентября 2011 г.). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики к вводной квантовой теории поля. Издательство Кембриджского университета. п. 86. ИСБН 978-1-139-50432-4.
10. Пенроуз, Роджер (2004). Дорога к реальности . Джонатан Кейп. п. 625. ИСБН 0-224-04447-8.
11. Юрген Йост, (2002) «Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)» Springer Universitext. (См. главу 1 о спиновых структурах и главу 3 о соединениях на спиновых структурах)
12. Клод Ицыксон и Жан-Бернар Зубер, (1980) «Квантовая теория поля», McGraw-Hill (см. главу 2)
13. Джеймс Д. Бьоркен, Сидни Д. Дрелл (1964) «Релятивистская квантовая механика», McGraw-Hill. (См. главу 2)
14. Стивен Вайнберг, (1972) «Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности», Wiley & Sons (см. главу 12.5, «Тетрадный формализм», стр. 367 и далее) .
15. Вайнберг, «Гравитация», цит. (См. главу 2.9 «Вращение», стр. 46–47.)
16. Пенроуз, Роджер (2004). Дорога к реальности (шестое издание). Альфред А. Кнопф. стр. 628–632. ISBN 0-224-04447-8.
17. Гаво, Б.; Джейкобсон, Т.; Кац, М.; Шульман, Л.С. (30 июля 1984 г.). «Релятивистское расширение аналогии между квантовой механикой и броуновским движением». Письма о физических отзывах . 53 (5): 419–422. doi : 10.1103/PhysRevLett.53.419.

Избранные статьи

• Андерсон, Карл (1933). «Положительный электрон». Физический обзор . 43 (6): 491. Бибкод : 1933PhRv...43..491A. дои : 10.1103/PhysRev.43.491 .
• Арминджон, М.; Ф. Райфлер (2013). «Эквивалентные формы уравнений Дирака в искривленном пространстве-времени и обобщенные соотношения де Бройля». Бразильский физический журнал . 43 (1–2): 64–77. arXiv : 1103.3201 . Бибкод : 2013BrJPh..43...64A. дои : 10.1007/s13538-012-0111-0. S2CID  38235437.
• Дирак, ПАМ (1928). «Квантовая теория электрона» (PDF) . Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 117 (778): 610–624. Бибкод : 1928RSPSA.117..610D. дои : 10.1098/rspa.1928.0023 . JSTOR  94981. Архивировано (PDF) из оригинала 2 января 2015 года.
• Дирак, ПАМ (1930). «Теория электронов и протонов». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 126 (801): 360–365. Бибкод : 1930RSPSA.126..360D. дои : 10.1098/rspa.1930.0013 . JSTOR  95359.
• Фриш, Р.; Стерн, О. (1933). «Über die Magneticische Ablenkung von Wasserstoffmolekülen und das Magnetic Moment des Protons. I». Zeitschrift für Physik . 85 (1–2): 4. Бибкод : 1933ZPhy...85....4F. дои : 10.1007/BF01330773. S2CID  120793548.

Учебники

• Бьоркен, доктор юридических наук; Дрелл, С. (1964). Релятивистская квантовая механика . Нью-Йорк, МакГроу-Хилл.
• Хальцен, Фрэнсис ; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс в современную физику элементарных частиц . Джон Уайли и сыновья. ISBN 9780471887416.
• Гриффитс, диджей (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.). Вайли-ВЧ. ISBN 978-3-527-40601-2.
• Рэй, Аластер, И.М.; Джим Наполитано (2015). Квантовая механика (6-е изд.). Рутледж. ISBN 978-1482299182.
• Шифф, Л.И. (1968). Квантовая механика (3-е изд.). МакГроу-Хилл.
• Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Пленум.
• Таллер, Б. (1992). Уравнение Дирака . Тексты и монографии по физике. Спрингер.

Внешние ссылки

• История позитрона. Лекция Дирака в 1975 году.
• Уравнение Дирака на MathPages
• Уравнение Дирака для частицы со спином 1/2.