Биспинор

Математическое описание фермионов

В физике , и особенно в квантовой теории поля , биспинор — это математическая конструкция , которая используется для описания некоторых фундаментальных частиц природы , включая кварки и электроны . Это конкретный вариант спинора , специально сконструированный так, чтобы он соответствовал требованиям специальной теории относительности . Биспиноры преобразуются определенным «спинориальным» образом под действием группы Лоренца , которая описывает симметрии пространства-времени Минковского . Они встречаются в релятивистских решениях волновой функции со спином 1/2 уравнения Дирака .

Биспиноры называются так потому, что они состоят из двух более простых компонентных спиноров, спиноров Вейля . Каждый из двух компонентных спиноров преобразуется по-разному под действием двух различных комплексно-сопряженных представлений группы Лоренца со спином 1/2 . Это спаривание имеет фундаментальное значение, поскольку оно позволяет изображенной частице иметь массу , нести заряд и представлять поток заряда как ток и, возможно, что наиболее важно, переносить угловой момент . Точнее, масса является инвариантом Казимира группы Лоренца (собственное состояние энергии), тогда как комбинация векторов несет импульс и ток, будучи ковариантной под действием группы Лоренца. Угловой момент переносится вектором Пойнтинга , соответствующим образом построенным для спинового поля. ^[1]

Биспинор — это более или менее «то же самое», что и спинор Дирака . Используемое здесь соглашение заключается в том, что в статье о спиноре Дирака представлены плоские волновые решения уравнения Дирака с использованием соглашения Дирака для гамма-матриц . То есть спинор Дирака является биспинором в соглашении Дирака. Напротив, статья ниже концентрируется в первую очередь на Вейле, или киральном представлении, менее сосредоточена на уравнении Дирака и больше сосредоточена на геометрической структуре, включая геометрию группы Лоренца . Таким образом, многое из сказанного ниже можно применить к уравнению Майораны .

Определение

Биспиноры — это элементы 4-мерного комплексного векторного пространства ( 1/2 , 0) ⊕ ( 0 , 1/2 ) представления группы Лоренца . ^[2]

В базисе Вейля биспинор

${\displaystyle \psi =\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{array}}\right)}$

состоит из двух ( двухкомпонентных) спиноров Вейля и которые преобразуются соответственно под ( 1/2 , 0) и (0, 1/2 ) представлениями группы ( группа Лоренца без преобразований четности ). При преобразовании четности спиноры Вейля переходят друг в друга. ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (1,3)}$

Биспинор Дирака соединяется с биспинором Вейля унитарным преобразованием в базис Дирака :

${\displaystyle \psi \rightarrow {1 \over {\sqrt {2}}}\left[{\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}}\right]\psi ={1 \over {\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {R}}+\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}-\psi _{\rm {L}}\end{array}}\right).}$

Базис Дирака является наиболее широко используемым в литературе.

Выражения для преобразований Лоренца биспиноров

Биспинорное поле преобразуется по правилу ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi ^{a}(x)\to {\psi ^{\prime }}^{a}\left(x^{\prime }\right)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}\left(\Lambda ^{-1}x^{\prime }\right)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}(x)}$

где – преобразование Лоренца . Здесь координаты физических точек преобразуются по , а матрица является элементом спинорного представления (для спина 1/2 ) группы Лоренца. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x^{\prime }=\Lambda x}$ ${\displaystyle S}$

В базисе Вейля явные матрицы преобразования для повышения и вращения следующие: ^[3] ${\displaystyle \Lambda _{\rm {boost}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{\rm {rot}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S[\Lambda _{\rm {boost}}]&=\left({\begin{array}{cc}e^{+\chi \cdot \sigma /2}&0\\0&e^{-\chi \cdot \sigma /2}\end{array}}\right)\\S[\Lambda _{\rm {rot}}]&=\left({\begin{array}{cc}e^{+i\phi \cdot \sigma /2}&0\\0&e^{+i\phi \cdot \sigma /2}\end{array}}\right)\end{aligned}}}$

Вот параметр повышения и представляет собой вращение вокруг оси. — матрицы Паули . Экспонента - это экспоненциальное отображение , в данном случае матричная экспонента , определяемая путем помещения матрицы в обычный степенной ряд для экспоненциальной функции. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \phi ^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$

Характеристики

Билинейную форму биспиноров можно свести к пяти неприводимым (по группе Лоренца) объектам:

1. скаляр , ; ${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$
2. псевдоскаляр , ; ${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{5}\psi }$
3. вектор , ; ${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$
4. псевдовектор , ; ${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi }$
5. антисимметричный тензор , , ${\displaystyle {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)\psi }$

где и – гамма-матрицы . Эти пять величин связаны между собой тождествами Фирца . Их значения используются в классификации спинорных полей Лунесто для различных типов спиноров, из которых биспинор является лишь одним из них; остальные — это флагшток (частным случаем которого является спинор Майорана ), флаг-диполь и спинор Вейля . Флагшток, флаг-диполь и спиноры Вейля имеют нулевую массу и псевдоскалярные поля; флагшток дополнительно имеет нулевое псевдовекторное поле, тогда как спиноры Вейля имеют нулевой антисимметричный тензор (нулевое «поле углового момента»). ${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{5}\right\}}$

Из них можно построить подходящий лагранжиан для релятивистского поля со спином 1/2 , который имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {L}}={i \over 2}\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)-m{\bar {\psi }}\psi \;.}$

Уравнение Дирака можно вывести из этого лагранжиана с помощью уравнения Эйлера-Лагранжа .

Вывод биспинорного представления

Введение

В этом плане описывается один тип биспиноров как элементы определенного пространства представления ( 1/2 , 0) ⊕ (0, 1/2 ) представления группы Лоренца. Это пространство представления связано, но не идентично пространству представления ( 1/2 , 0) ⊕ (0, 1/2 ) , содержащемуся в алгебре Клиффорда над пространством-временем Минковского , как описано в статье Спиноры . Язык и терминология используются как в теории представлений группы Лоренца . Единственное свойство алгебр Клиффорда, существенное для изложения, — это определяющее свойство, приведенное ниже в разделе D1 . Базисные элементы формулы (3,1) обозначены M ^µν .

Представление алгебры Ли так (3,1) группы Лоренца O(3,1) возникнет среди матриц, которые будут выбраны в качестве базиса (в качестве векторного пространства) комплексной алгебры Клиффорда в пространстве-времени. Затем эти матрицы 4×4 возводятся в степень, давая представление SO(3,1) ⁺ . Это представление, которое оказывается представлением ( 1/2 , 0) ⊕ (0, 1/2 ) , будет действовать на произвольном 4 - мерном комплексном векторном пространстве, которое будет просто считаться C ⁴ , а его элементы будут биспинорами.

Для справки: коммутационные соотношения ( 3,1) имеют вид

с метрикой пространства-времени η = Diag(−1, 1, 1, 1) .

Гамма-матрицы

Пусть γ ^µ обозначает набор из четырех 4-мерных гамма-матриц, называемых здесь матрицами Дирака . Матрицы Дирака удовлетворяют

где { , } — антикоммутатор , I ₄ — единичная матрица 4×4 , а η ^µν — метрика пространства-времени с сигнатурой (+,−,−,−). Это определяющее условие для порождающего набора алгебры Клиффорда . Дальнейшие базисные элементы σ ^µν алгебры Клиффорда имеют вид

Только шесть матриц σ ^µν линейно независимы. Это следует непосредственно из их определения, поскольку σ ^µν = − σ ^νμ . Они действуют на подпространстве V _γ пространство γ µ ^в пассивном смысле согласно

В (C2) второе равенство следует из свойства (D1) алгебры Клиффорда.

Вложение алгебры Ли so(3,1) в Cl 4 (C)

Теперь определим действие so (3,1) на σ ^µν и линейное подпространство V _σ ⊂ Cl ₄ ( C ), которое они охватывают в Cl ₄ ( C ) ≈ M ⁿ _C , заданное формулой

Последнее равенство в (C4) , которое следует из (C2) и свойства (D1) гамма-матриц, показывает, что σ ^µν представляют собой представление so (3,1) , поскольку коммутационные соотношения в (C4) в точности те из них ( 3,1) . Действие π(M ^µν ) можно либо рассматривать как шестимерную матрицу Σ ^µν, умножающую базисные векторы σ ^µν , поскольку пространство в M _n ( C ) , натянутое на σ ^µν, является шестимерным, либо рассматривать его как действие как действие коммутацией на σ ^ρσ . Далее π ( M ^µν ) = σ ^µν

γ ^µ и σ ^µν являются (непересекающимися) подмножествами базисных элементов Cl ₄ ( C ), порожденных четырехмерными матрицами Дирака γ ^µ в четырех измерениях пространства-времени. Таким образом , алгебра Ли so (3,1) вложена в Cl ₄ ( C ) посредством π как вещественное подпространство Cl ₄ ( C ), натянутое на σ ^µν . Полное описание остальных базисных элементов, отличных от γ ^µ и σ ^µν алгебры Клиффорда, см. в статье «Алгебра Дирака» .

Биспиноры представлены

Теперь введем любое 4-мерное комплексное векторное пространство U , в котором γ ^µ действуют путем умножения матриц. Здесь U = C ⁴ подойдет. Пусть Λ = e ^{ω _µν M µν} — преобразование Лоренца и определим действие группы Лоренца на U как

${\displaystyle u\rightarrow S(\Lambda )u=e^{i\pi (\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu })}u;\quad u^{\alpha }\rightarrow [e^{\omega _{\mu \nu }\sigma ^{\mu \nu }}]^{\alpha }{}_{\beta }u^{\beta }.}$

Поскольку σ ^µν согласно (C4) представляют собой представление so (3,1) , индуцированное отображение

согласно общей теории либо является представлением, либо проективным представлением SO (3,1) ⁺ . Это окажется проективное представление. Элементы U , наделенные правилом преобразования, заданным S , называются биспинорами или просто спинорами .

Выбор матриц Дирака

Осталось выбрать набор матриц Дирака γ ^µ , чтобы получить представление спина S . Одним из таких вариантов, подходящим для ультрарелятивистского предела , является

где σi _— матрицы Паули . В этом представлении генераторов алгебры Клиффорда σ ^µν становятся

Это представление явно не является неприводимым, поскольку все матрицы блочно-диагональные . Но из-за неприводимости матриц Паули представление не может быть сокращено дальше. Поскольку это 4-мерное представление, единственная возможность состоит в том, что это представление ( 1 / 2 ,0) ⊕ (0, 1 / 2 ) , то есть биспинорное представление. Теперь, используя рецепт возведения в степень представления алгебры Ли, чтобы получить представление SO(3,1) ⁺ ,

получено проективное двузначное представление. Здесь φ — вектор параметров вращения с 0 ≤ φ ⁱ ≤ 2 π , а χ — вектор параметров повышения . С учетом использованных здесь соглашений можно написать

для биспинорного поля. Здесь верхняя компонента соответствует правому спинору Вейля . Чтобы включить инверсию пространственной четности в этот формализм, нужно установить

как представитель P = Diag(1, −1, −1, −1) . Видно, что представление неприводимо, если включить инверсию пространственной четности.

Пример

Пусть X = 2 πM ¹² , так что X порождает поворот вокруг оси z на угол 2 π . Тогда Λ = e ^iX = I ∈ SO(3,1) ⁺ , но e ^{iπ ( X )} = − I ∈ GL( U ) . Здесь I обозначает идентификационный элемент. Если вместо этого выбрано X = 0 , то по-прежнему Λ = e ^iX = I ∈ SO(3,1) ⁺ , но теперь e ^{iπ ( X )} = I ∈ GL( U ) .

Это иллюстрирует двузначную природу спинового представления. Идентичность в SO(3,1) ⁺ отображается либо в − I ∈ GL( U ) , либо в I ∈ GL( U ) в зависимости от выбора элемента алгебры Ли для ее представления. В первом случае можно предположить, что поворот на угол 2 π отрицает биспинор и что для поворота биспинора обратно в себя требуется поворот на 4 π . На самом деле происходит то, что тождество в SO(3,1) ⁺ отображается в − I в GL( U ) с неудачным выбором X .

Невозможно непрерывно выбирать X для всех g ∈ SO(3,1) ⁺ так, чтобы S было непрерывным представлением. Предположим, что S определен вдоль петли в SO(3,1) такой, что X ( t ) = 2 πtM ¹² , 0 ⩽ t ⩽ 1 . Это замкнутый цикл в SO(3,1) , т.е. повороты в диапазоне от 0 до 2 π вокруг оси z при экспоненциальном отображении, но это только «половина» цикла в GL( U ) , заканчивающийся на — I . Кроме того, значение I ∈ SO(3,1) неоднозначно, поскольку t = 0 и t = 2 π дают разные значения для I ∈ SO(3,1) .

Алгебра Дирака

Представление S на биспинорах будет индуцировать представление SO(3,1) ⁺ на End( U ) , множестве линейных операторов на U . Это пространство соответствует самой алгебре Клиффорда, так что все линейные операторы на U являются элементами последней. Это представление и то, как оно разлагается в прямую сумму неприводимых SO(3,1) ⁺ представлений, описано в статье об алгебре Дирака . Одним из следствий является разложение билинейных форм на U × U . Это разложение подсказывает, как соединить любое биспинорное поле с другими полями в лагранжиане, чтобы получить скаляры Лоренца .

Биспиноры и алгебра Дирака

Матрицы Дирака представляют собой набор из четырех матриц 4×4 , образующих алгебру Дирака , и используются для переплетения направления вращения с локальной системой отсчета (локальной системой координат пространства-времени), а также для определения заряда ( C-симметрия ). , операторы четности и обращения времени .

Конвенции

Существует несколько вариантов подписи и представления , которые широко используются в физической литературе. Матрицы Дирака обычно записываются как где от 0 до 3. В этих обозначениях 0 соответствует времени, а от 1 до 3 соответствуют x , y и z . ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$

Сигнатуру + - - - иногда называют метрикой западного побережья , а - + + + - метрикой восточного побережья . В настоящее время более широко используется подпись + - - - , и в нашем примере будет использоваться именно эта подпись. Чтобы перейти от одного примера к другому, умножьте все на . ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle i}$

После выбора подписи существует множество способов построения представления в матрицах 4×4, и многие из них широко используются. Чтобы сделать этот пример максимально общим, мы не будем указывать представление до последнего шага. Тогда мы заменим в «киральном» представлении или представлении Вейля .

Построение спинора Дирака с заданным направлением спина и зарядом.

Сначала мы выбираем направление вращения нашего электрона или позитрона. Как и в примере с алгеброй Паули, рассмотренном выше, направление вращения определяется единичным вектором в трех измерениях (a, b, c). Следуя соглашению Пескина и Шредера, оператор спина для вращения в направлении (a, b, c) определяется как скалярное произведение (a, b, c) с вектором

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(i\gamma ^{2}\gamma ^{3},\;\;i\gamma ^{3}\gamma ^{1},\;\;i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)&=-\left(\gamma ^{1},\;\gamma ^{2},\;\gamma ^{3}\right)i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\\sigma _{(a,b,c)}&=ia\gamma ^{2}\gamma ^{3}+ib\gamma ^{3}\gamma ^{1}+ic\gamma ^{1}\gamma ^{2}\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что приведенное выше является корнем из единицы , то есть оно приводит в квадрат к 1. Следовательно, мы можем сделать из него оператор проектирования , который проецирует подалгебру алгебры Дирака, спин которой ориентирован в (a, b, в) направление:

${\displaystyle P_{(a,b,c)}={\frac {1}{2}}\left(1+\sigma _{(a,b,c)}\right)}$

Теперь нам нужно выбрать заряд: +1 (позитрон) или -1 (электрон). Следуя соглашениям Пескина и Шредера, оператор заряда равен , то есть электронные состояния будут принимать собственное значение -1 по отношению к этому оператору, а позитронные состояния будут принимать собственное значение +1. ${\displaystyle Q=-\gamma ^{0}}$

Обратите внимание, что это также квадратный корень из единицы. Кроме того, ездит с . Они образуют полный набор коммутирующих операторов алгебры Дирака . Продолжая наш пример, мы ищем изображение электрона со спином в направлении ( a , b , c ) . Превратившись в оператор проектирования для заряда = −1, мы имеем ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \sigma _{(a,b,c)}}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle P_{-Q}={\frac {1}{2}}\left(1-Q\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)}$

Таким образом, оператор проекции искомого нами спинора является произведением двух найденных нами операторов проекции:

${\displaystyle P_{(a,b,c)}\;P_{-Q}}$

Приведенный выше оператор проекции, примененный к любому спинору, даст ту часть спинора, которая соответствует искомому электронному состоянию. Таким образом, мы можем применить его к спинору со значением 1 в одной из его компонент и 0 в остальных, что дает столбец матрицы. Продолжая пример, положим ( a , b , c ) = (0, 0, 1) и имеем

${\displaystyle P_{(0,0,1)}={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma _{1}\gamma _{2}\right)}$

и поэтому наш желаемый оператор проекции:

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)\cdot {\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{4}}\left(1+\gamma ^{0}+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}+i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)}$

Гамма-матрицы 4×4, используемые в представлении Вейля , имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{0}&={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\\gamma _{k}&={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

для k = 1, 2, 3 и где – обычные матрицы Паули размера 2×2 . Замена их на P дает ${\displaystyle \sigma ^{i}}$

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\\1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Наш ответ — любой ненулевой столбец приведенной выше матрицы. Деление на два — это просто нормализация. Первый и третий столбцы дают одинаковый результат:

${\displaystyle \left|e^{-},\,+{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

В более общем смысле, для электронов и позитронов со спином, ориентированным в направлении ( a , b , c ), оператор проекции равен

${\displaystyle {\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+c&a-ib&\pm (1+c)&\pm (a-ib)\\a+ib&1-c&\pm (a+ib)&\pm (1-c)\\\pm (1+c)&\pm (a-ib)&1+c&a-ib\\\pm (a+ib)&\pm (1-c)&a+ib&1-c\end{bmatrix}}}$

где верхние знаки относятся к электрону, а нижние знаки относятся к позитрону. Соответствующим спинором можно считать любой ненулевой столбец. Поскольку разные столбцы кратны одному и тому же спинору. Представление полученного спинора в базисе Дирака можно получить, используя правило, приведенное в статье о биспиноре. ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}$

Смотрите также

• физический портал

• Спинор Дирака
• Spin(3,1) , двойное покрытие SO (3,1) спиновой группой.
• Уравнение Рариты – Швингера

Примечания

1. Ханс К. Оганян (1986) «Что такое вращение?», Американский журнал физики . 54 , страница 500. doi: 10.1119/1.14580
2. Кабан и Рембилински 2005, с. 2
3. Дэвид Тонг, Лекции по квантовой теории поля (2012), Лекция 4
4. Вайнберг 2002, уравнение 5.4.5.
5. Вайнберг 2002, уравнение 5.4.6.
6. Вайнберг 2002, уравнение 5.4.7.
7. Вайнберг 2002, Уравнения (5.4.17)
8. Вайнберг 2002, уравнения (5.4.19) и (5.4.20).
9. Вайнберг 2002, уравнение (5.4.13)

Рекомендации

• Кабан, Павел; Рембилински, Якуб (5 июля 2005 г.). «Лоренц-ковариантная приведенная матрица спиновой плотности и корреляции Эйнштейна-Подольского-Розена-Бома». Физический обзор А. 72 (1): 012103. arXiv : quant-ph/0507056v1 . Бибкод : 2005PhRvA..72a2103C. doi :10.1103/physreva.72.012103. S2CID  119105796.
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, том I , ISBN 0-521-55001-7.